Warum fasst eine Pyramide ein Drittel? Und der Kegel?

Zwei Bilder: ① Ein Würfel besteht aus drei gleichen Pyramiden · ② Cavalieri – gleiche Schnittflächen in jeder Höhe, also gleiches Volumen

① Der Würfel aus drei Pyramiden

Alle drei Pyramiden haben ihre Spitze in derselben Würfelecke. Ihre Grundflächen sind die drei Würfelseiten, die diese Ecke nicht berühren. Ziehe den Regler und drehe den Würfel mit der Maus.

1 Kantenlänge a: Würfel V = a³ = a² · a = G · h.

2 Zerlege ihn: orange, blau und grün sind drei Pyramiden. Jede hat die Grundfläche G = a² (eine Würfelseite) und die Höhe h = a (die Kante zur Spitze).

3 Die drei Stücke sind deckungsgleich (Drehung um die Raumdiagonale vertauscht sie) – also gleich groß.

4 Drei gleiche Pyramiden füllen den Würfel genau:

3 · VPyramide = a³ = G · h
VPyramide = ⅓ · G · h

Zum Basteln: Drei dieser Pyramiden aus Papier falten (Netz: Quadrat + 4 rechtwinklige Dreiecke) und zu einem Würfel zusammenstecken.

② Von der Pyramide zum Kegel – das Prinzip von Cavalieri

Pyramide und Kegel mit gleicher Grundfläche G und gleicher Höhe h. Schneide beide in derselben Höhe waagerecht durch (Regler): Die Schnittflächen sind immer gleich groß.

1 Gleiche Grundfläche: Quadrat mit Seite a = 6 cm und Kreis mit Radius r, so dass π·r² = 36 cm² (r ≈ 3,39 cm).

2 Auf halber Höhe ist jede Schnittfigur auf die Hälfte der Länge geschrumpft – also auf ¼ der Fläche. Auf ⅓ der Höhe: 1/9. Allgemein: Faktor f in der Länge, Faktor f² in der Fläche.

Pyramide (Quadrat)Kegel (Kreis)
Schnittfläche

3 Beide Körper bestehen aus unendlich vielen dünnen Scheiben – in jeder Höhe gleich große. Gleiche Scheiben, gleiche Höhe → gleiches Volumen.

VKegel = VPyramide = ⅓ · G · h
und der Zylinder (V = G · h) fasst genau 3 Kegel.
Zum Spüren: der Münzstapel. Zwei Stapel aus gleich vielen gleichen Münzen – einer gerade, einer schief geschoben – haben dasselbe Volumen: gleiche Scheiben, gleiche Höhe. Genauso ist ein schiefer Kegel oder eine schiefe Pyramide nicht anders im Volumen als eine gerade.