So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst auf eine Vermutung fest. Dann probierst du es aus: Schritt für Schritt, mit Reglern oder Knöpfen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Erinnerung aus F1: n Dinge lassen sich auf n! = n · (n − 1) · … · 1 Arten anordnen. Dunkelgelb sind Rechenschritte.
Station 1Von der Reihenfolge zur Auswahl
Aus 6 Leuten (A bis F) soll ein Team aus 3 Personen gebildet werden. Wer nacheinander zieht, bekommt 6 · 5 · 4 = 120 Ziehungen. Wie viele verschiedene Teams sind das wirklich?
Schritt 0/3
Ziehungen mit Reihenfolge–bleibt gleich
Reihenfolgen pro Team (k!)–bleibt gleich
Kärtchen auf dem Bild–ändert sich
Auswahl = Anordnungen : k!
Jedes Team aus k Personen taucht unter den geordneten Ziehungen genau k!-mal auf – einmal für jede Reihenfolge. Teilt man durch k!, bleibt jedes Team einmal übrig:(n über k) = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) : k!
Man liest „n über k“ und schreibt es als Klammer mit n oben und k unten. Beispiel: (6 über 3) = 6 · 5 · 4 : (3 · 2 · 1) = 120 : 6 = 20
Übrigens: (6 über 2) = (6 über 4) = 15 und allgemein (n über k) = (n über n − k) – wer ein Team auswählt, wählt gleichzeitig aus, wer draußen bleibt.
Station 2Handschläge: das Gitter falten
Auf einer Party geben sich alle Gäste einmal die Hand. Bei 8 Gästen streckt jeder 7-mal die Hand aus. Sind das 8 · 7 = 56 Handschläge?
Schritt 0/3
Felder im Gitter–ändert sich
Rechnung–ändert sich
Handschläge (Linien im Kreis)–bleibt gleich
Jedes Paar wurde doppelt gezählt
Im Gitter steht Zeile A, Spalte B für „A reicht B die Hand“. Die Diagonale (A mit A) fällt weg. Aber „A mit B“ und „B mit A“ ist derselbe Handschlag – beim Falten an der Diagonale liegen sie aufeinander:Handschläge = n · (n − 1) : 2 = (n über 2) bei 8 Gästen: 8 · 7 : 2 = 28.
Dieselbe Zahl zählt Spiele „jeder gegen jeden“, Verbindungsstrecken zwischen n Punkten und alle Paare aus einer Gruppe.
Station 3Lotto 6 aus 49
Beim Lotto kreuzt du 6 der Zahlen 1 bis 49 an. Die Reihenfolge ist egal. Wie viele verschiedene Tipps gibt es?
Kreuz 6 Zahlen an (oder nimm einen Zufallstipp) und starte die Ziehung.
Ziehungen bisher0ändert sich
beste Trefferzahl–ändert sich
mögliche Tipps?bleibt gleich
13 983 816 Tipps
Nacheinander gezogen gäbe es 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 Möglichkeiten. Jeder Tipp kommt darin 6! = 720-mal vor:(49 über 6) = 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 : 720 = 10 068 347 520 : 720 = 13 983 816
So groß ist das: Ein Reiskorn wiegt etwa 0,02 g. 13 983 816 Körner wiegen rund 280 kg – das sind 28 Säcke mit je 10 kg. Ein Sechser ist, als würdest du mit verbundenen Augen ein bestimmtes Korn aus diesen 28 Säcken ziehen. Wer zweimal pro Woche einen Tipp abgibt, bräuchte für alle Tipps etwa 134 000 Jahre.
Genau r Richtige: r der 6 Gewinnzahlen und 6 − r der 43 anderen: (6 über r) · (43 über 6 − r)
| Richtige | Tipps | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 6 | 1 | 1 : 13 983 816 |
| 5 | 6 · 43 = 258 | ca. 1 : 54 200 |
| 4 | 15 · 903 = 13 545 | ca. 1 : 1032 |
| 3 | 20 · 12 341 = 246 820 | ca. 1 : 57 |
Lotto: Zuerst wettete man auf Politiker überliefert
Genua, ca. 16. Jahrhundert · Deutschland: erste Ziehung „6 aus 49“ am 9. Oktober 1955
In der Republik Genua wurde ein Teil der Ratsmitglieder ausgelost: Zweimal im Jahr zog man fünf Namen aus einer Liste von rund 90 Kandidaten. Die Leute begannen, darauf zu wetten, wer gezogen wird. Später ersetzte man die Namen durch Zahlen von 1 bis 90 – und das Zahlenlotto war geboren. In Deutschland läuft „6 aus 49“ seit 1955. Die Pointe: Das bekannteste Glücksspiel der Welt begann als Wette auf eine Wahl.
Was das mit dir zu tun hat: Mit „n über k“ kannst du selbst nachrechnen, wie klein deine Chance ist – bevor du deinen Einsatz bezahlst.
Station 4Handschläge am runden Tisch
Am runden Tisch sitzen Paare. Alle geben gleichzeitig einem Gegenüber über den Tisch die Hand – ohne dass sich Arme kreuzen. Mit 1 Paar gibt es 1 Möglichkeit, mit 2 Paaren 2. Und mit 3 Paaren, mit 4 Paaren?
Klicke nacheinander zwei Personen an – sie geben sich die Hand. Finde möglichst viele Lösungen ohne Kreuzung!
Personen am Tisch–bleibt gleich
deine Lösungen0ändert sich
alle Lösungen?ändert sich
1, 2, 5, 14, 42 … – die Catalan-Zahlen
Person 1 gibt jemandem die Hand. Diese Linie teilt den Tisch in zwei Hälften, die unabhängig weiter zählen – auf jeder Seite muss eine gerade Zahl von Personen sitzen. Bei 3 Paaren: 1 · 2 + 1 · 1 + 2 · 1 = 5, bei 4 Paaren: 5 + 2 + 2 + 5 = 14.Überraschend: Die Zahlen stecken in „n über k“. Nimm die mittleren Zahlen 1, 2, 6, 20, 70, 252 aus (2n über n) und teile durch 1, 2, 3, 4, 5, 6:
Lösungen bei n Paaren = (2n über n) : (n + 1) z. B. 9 Paare: 48 620 : 10 = 4862.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Rechnung mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Auswählen ohne Reihenfolge
n über k(n über k) = n · (n − 1) · … (k Faktoren) : k!
(7 über 3) = 7 · 6 · 5 : 6 = 35
(7 über 3) = 7 · 6 · 5 : 6 = 35
Paare(n über 2) = n · (n − 1) : 2
Handschläge, Spiele „jeder gegen jeden“
Handschläge, Spiele „jeder gegen jeden“
Mit oder ohne Reihenfolge?Verschiedene Rollen (Gold, Silber …): mit Reihenfolge.
Gleichwertige Plätze (Team): ohne → durch k! teilen.
Gleichwertige Plätze (Team): ohne → durch k! teilen.
Symmetrie(n über k) = (n über n − k)
(10 über 8) = (10 über 2) = 45
(10 über 8) = (10 über 2) = 45
So arbeitest du: Hier kombinierst du mehrere Auswahlen. Überlege immer zuerst: Aus welcher Gruppe wählst du wie viele aus?
Werkzeuge für Experten
Zwei Gruppenj aus Gruppe 1 und k aus Gruppe 2:
(n₁ über j) · (n₂ über k)
(n₁ über j) · (n₂ über k)
WahrscheinlichkeitP = günstige Auswahlen : alle Auswahlen (gekürzt)
Mindestens einsalle Auswahlen − Auswahlen mit keinem
Lotto, genau r Richtige(6 über r) · (43 über 6 − r) : (49 über 6)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Das kleine Zeichen neben dem x verrät, was gezählt wird.
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Jede Strecke gehört zu genau zwei Punkten. Statt Strecken zu zählen – kannst du Punktepaare zählen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Von jedem der 7 Punkte gehen 6 Strecken aus. 7 · 6 zählt aber jede Strecke doppelt – einmal von jedem Ende aus.Hilfe 3 – Lösung
x = 7 · 6 : 2 = 21.Das ist dasselbe wie „2 aus 7 auswählen“: (7 über 2) = 21.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Jedes Dreieck hat seine Spitze oben. Woraus besteht so ein Dreieck – aus welchen Linien?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Ein Dreieck entsteht, wenn du zwei der Linien von der Spitze auswählst und eine der waagerechten Linien. Wie viele Paare von Spitzen-Linien gibt es?Hilfe 3 – Lösung
Linien von der Spitze: 5, davon 2 auswählen: 5 · 4 : 2 = 10.Waagerechte Linien: 2.
x = 10 · 2 = 20.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Drei Punkte geben fast immer ein Dreieck – wann nicht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Wähle zuerst irgendwelche 3 der 9 Punkte aus. Dann zieh die Auswahlen ab, bei denen alle 3 Punkte auf derselben Linie liegen.Hilfe 3 – Lösung
Alle Auswahlen: 9 · 8 · 7 : 6 = 84.Drei Punkte oben auf einer Linie: 4 · 3 · 2 : 6 = 4. Drei Punkte unten: 5 · 4 · 3 : 6 = 10.
x = 84 − 4 − 10 = 70.
Probe auf anderem Weg: 2 oben + 1 unten: 6 · 5 = 30, 1 oben + 2 unten: 4 · 10 = 40, zusammen 70.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.