So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann zählst, ziehst und spielst du ab. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Achte darauf, welche Zahlen immer wieder auftauchen.
Farben: Auswahl / gezählte Figur · Teil a · Teil b · gerade gezählter Weg · bleibt gleich
Station 1Vielecke aus Punkten auf dem Kreis
Auf einem Kreis liegen 6 Punkte. Du wählst 3 davon und verbindest sie zu einem Dreieck. Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
gezählt–ändert sich
Anzahlen für k = 1, 2, 3, …–die Zeile wächst
alle Auswahlen zusammen–bleibt bei 2ⁿ − 1
Die Zählungen bilden eine Zeile des Pascal-Dreiecks
Bei 6 Punkten findest du 6 Punkte, 15 Strecken, 20 Dreiecke, 15 Vierecke, 6 Fünfecke und 1 Sechseck: 6 · 15 · 20 · 15 · 6 · 1Schreibst du vorne noch eine 1 dazu (die leere Auswahl), steht da die Zeile 6 des Pascal-Dreiecks. Jede Zahl ist eine Anzahl „k aus n“, also (n über k).
Warum ist die Summe 2ⁿ − 1? Jeder Punkt ist entweder dabei oder nicht: 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ Möglichkeiten. Nur die Auswahl „gar kein Punkt“ ist kein Vieleck. Beim 18-Eck sind das 2¹⁸ − 1 = 262.143 Auswahlen, davon allein 153 Strecken.
Station 2Wege durch die Stadt
Du gehst von A zur Kreuzung E und nimmst immer einen kürzesten Weg: nur nach rechts oder nach unten. E liegt 4 Blöcke rechts und 4 Blöcke unten. Wie viele verschiedene kürzeste Wege gibt es?
Reihe 0/10
abgefahrene Wege nach E–ändert sich
Zahl an der Kreuzung E–noch nicht ausgefüllt
Regel an jeder Kreuzungvon oben + von linksbleibt gleich
Summe der beiden Vorgänger
In jede Kreuzung kommst du nur von oben oder von links. Also gilt: Wege hierher = Wege zum oberen Nachbarn + Wege zum linken NachbarnAm Rand gibt es nur einen Weg (immer geradeaus), dort steht 1. Kippst du das Gitter, stehen die Zahlen Reihe für Reihe genau wie im Pascal-Dreieck.
Ein Weg mit r Schritten nach rechts und u Schritten nach unten hat r + u Schritte. Du wählst nur aus, welche davon nach rechts gehen: Anzahl = (r + u über r) z. B. (8 über 4) = 70.
Station 3Der Würfel (a + b)³ zerfällt
Ein Würfel hat die Kante a + b. Du schneidest ihn in allen drei Richtungen an der Stelle a durch. Wie viele Teile entstehen – und wie viele verschiedene Sorten?
Schritt 0/3
a³–1 Würfel
3 · a²b–3 Platten
3 · ab²–3 Stangen
b³–1 Würfel
zusammen (a + b)³–bleibt gleich
1 · 3 · 3 · 1 – wieder eine Zeile des Dreiecks
(a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³Beim Quadrat (a + b)² sind es 1 · 2 · 1 Teile: (a + b)² = a² + 2ab + b². Allgemein stehen die Beizahlen von (a + b)ⁿ in der Zeile n des Pascal-Dreiecks: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Warum? Beim Ausmultiplizieren von (a + b)(a + b)(a + b) nimmst du aus jeder Klammer a oder b. Für a²b wählst du, aus welcher der 3 Klammern das b kommt: (3 über 1) = 3 Möglichkeiten. Diese Regel heißt binomischer Lehrsatz.
Station 4Muster im Dreieck
Im Pascal-Dreieck ist jede Zahl die Summe der beiden darüber. Was entsteht, wenn du in 32 Zeilen alle ungeraden Zahlen einfärbst?
Zeilen–
Muster–
Eine Regel – viele Muster
Summenregel: (n über k) + (n über k + 1) = (n + 1 über k + 1)Ungerade färben: Ungerade + ungerade = gerade. Dadurch entstehen immer wieder leere, auf dem Kopf stehende Dreiecke. Nach 2, 4, 8, 16, 32 Zeilen wiederholt sich das ganze Bild dreimal – das Sierpinski-Dreieck.
Flache Diagonalen: Die Summen sind 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – die Fibonacci-Zahlen. Jede flache Diagonale nimmt die Zahlen der beiden vorigen Diagonalen auf.
Zeilensummen: 1, 2, 4, 8, … = 2ⁿ. Jede Zahl wird beim Bilden der nächsten Zeile zweimal benutzt, also verdoppelt sich die Summe.
Yang Hui: Das Dreieck war schon da belegt
China, ca. 1261 (Yang Hui) · gedruckt mit Bild ca. 1303 (Zhu Shijie) · Pascal: Abhandlung ca. 1654
Der chinesische Rechenmeister Yang Hui schrieb um 1261 ein Rechenbuch, in dem das Zahlendreieck schon steht. Er selbst schrieb es einem noch älteren Gelehrten zu, Jia Xian, der damit etwa 200 Jahre früher Wurzeln aus großen Zahlen zog. Auch in Persien und bei Stifel in Deutschland war das Dreieck bekannt. Blaise Pascal schrieb erst um 1654 eine gründliche Abhandlung darüber. Die Pointe: In China heißt es bis heute „Yang-Hui-Dreieck“ – bei uns trägt es den Namen dessen, der es am gründlichsten erklärt hat.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du Wege zählst, Gruppen auswählst oder (a + b)⁵ ausmultiplizierst, benutzt du dieselbe Tabelle wie Rechenmeister vor 800 Jahren.
Station 5Vorsicht beim Raten: Gebiete im Kreis
Punkte auf einem Kreis werden alle miteinander verbunden. Mit 1, 2, 3, 4, 5 Punkten zerfällt der Kreis in 1, 2, 4, 8, 16 Gebiete. Wie viele Gebiete sind es bei 6 Punkten?
Sehne 0/10
Sehnen–ändert sich
Kreuzungspunkte–ändert sich
Gebiete–1 + Sehnen + Kreuzungen
Verdopplungs-Vermutung–
Jede Sehne +1, jede Kreuzung +1
Eine neue Sehne zerschneidet ein Gebiet – und mit jeder Kreuzung, durch die sie geht, noch eins. Je 4 Punkte liefern genau eine Kreuzung (die beiden „Diagonalen“ des Vierecks). Also: Gebiete = 1 + (n über 2) + (n über 4)n = 6: 1 + 15 + 15 = 31, nicht 32! n = 7: 1 + 21 + 35 = 57.
Warum klappt das Verdoppeln zuerst? Die Formel ist genau die Summe der ersten fünf Zahlen aus Zeile n − 1 des Pascal-Dreiecks. Bis n = 5 ist das die ganze Zeile, also 2ⁿ⁻¹. Ab n = 6 hat die Zeile mehr als fünf Zahlen – die Verdopplung bricht ab. Ein Muster aus fünf Beispielen ist noch kein Beweis.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Das Pascal-Dreieck
BauregelAm Rand steht 1. Jede andere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen darüber.
Zeile nenthält (n über 0), (n über 1), …, (n über n)
Zeile 5: 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1
Zeile 5: 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1
n über k(n über k) = n · (n − 1) · … (k Faktoren) : k!
(6 über 2) = 6 · 5 : 2 = 15
(6 über 2) = 6 · 5 : 2 = 15
Gitterweger nach rechts, u nach unten:
(r + u über r) Wege
(r + u über r) Wege
Binom(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
So arbeitest du: Hier musst du selbst erkennen, welches Zählproblem in der Aufgabe steckt. Mach eine Skizze oder probiere es mit kleinen Zahlen aus.
Werkzeuge für Experten
Binomischer Lehrsatz(a + b)ⁿ = Summe aller (n über k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Zeilensumme(n über 0) + (n über 1) + … + (n über n) = 2ⁿ
Durch einen Punkt PWege A → P → E = (Wege A → P) · (Wege P → E)
Symmetrie(n über k) = (n über n − k)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Zeilen oben kennst du vielleicht. Was passiert mit der leeren Zeile?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jede Zahl ist die Summe der beiden schräg darüber. Fülle zuerst die leere Zeile aus – oder nutze die Symmetrie und die Summe der letzten Zeile.Hilfe 3 – Lösung
Die leere Zeile lautet 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1. Über x stehen die beiden 10er, also x = 10 + 10 = 20.Probe mit der Zeilensumme: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶ ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Woher kommen die Zahlen 1, 1, 1, 2 an den ersten Kreuzungen? Was bedeuten die beiden Pfeile – und das rote Kreuz?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Zahl an einer Kreuzung zählt die Wege von der Ecke oben links dorthin (nur nach rechts oder unten). Sie ist die Summe aus „von oben“ und „von links“. Über die gesperrte Straße kommt nichts.Hilfe 3 – Lösung
Kreuzungszahlen Zeile für Zeile:1 · 1 · 1 · 1 · 1
1 · 2 · 3 · 4 · 5
1 · 3 · 3 · 7 · 12 (hier kommt von oben nichts, also nur 3 von links)
1 · 4 · 7 · 14 · 26
Also x = 26. Ohne Sperre wären es (7 über 3) = 35 – die 9 Wege durch die gesperrte Straße (3 · 3) fallen weg.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wie entsteht ein Stein in einer Zahlenmauer aus den Steinen darunter? Wie oft steckt jeder untere Stein im obersten Stein?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rechne mit x weiter: zweite Reihe 2 + x, 2x, 2x, x + 2. Oder schneller: Der unterste Stein Nummer k zählt so oft mit, wie es Wege von ihm nach oben gibt – das sind die Zahlen 1 · 4 · 6 · 4 · 1.Hilfe 3 – Lösung
Oben steht 1 · 2 + 4 · x + 6 · x + 4 · x + 1 · 2 = 4 + 14x.4 + 14x = 60, also 14x = 56 und x = 4.
Probe: 2 4 4 4 2 → 6 8 8 6 → 14 16 14 → 30 30 → 60 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.