So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann lässt du den Zufall arbeiten: Kugeln fallen, Äste wachsen, Würfel rollen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: rot und blau sind die Kugelfarben · orange ist der gerade verfolgte Pfad · violett sind Ergebnisse und Summen · grün ist die berechnete Wahrscheinlichkeit
Station 1Das Nagelbrett
Kugeln fallen durch Reihen von Nägeln. An jedem Nagel springen sie zufällig nach links oder rechts. In welchen Fächern landen am Ende die meisten Kugeln?
Kugeln gefallen0ändert sich
Fach mit den meisten Kugeln–ändert sich
Wege durch das Brett–hängt nur von n ab
Mittleres Fach: gemessen · Rechnung–wird immer ähnlicher
Viele Wege führen in die Mitte
Jede Kugel macht n Entscheidungen links/rechts. Bei n = 8 gibt es 2 · 2 · … · 2 = 2⁸ = 256 Wege durch das Brett, und bei p = 0,5 ist jeder Weg gleich wahrscheinlich.In ein Randfach führt nur ein Weg (immer links). In das mittlere Fach führen 70 Wege (4-mal links, 4-mal rechts in beliebiger Reihenfolge). Schalte „Wege zählen“ ein: Jede Zahl ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber – das ist das Pascal-Dreieck.
P(mittleres Fach) = 70256 ≈ 27,3 %
Genau so rechnet man bei einer Weinbergschnecke, die 8-mal zufällig nach Norden oder Osten kriecht: 70 von 256 Wegen enden am mittleren Ziel.
Ist p nicht 0,5, sind die Wege nicht mehr gleich wahrscheinlich. Wie man dann rechnet, zeigt Station 2.
Francis Galton: Ein Brett voller Nägel belegt
England, 1822 – 1911 · Nagelbrett ca. 1874
Galton war Naturforscher und ein Halbcousin von Charles Darwin. Er wollte verstehen, warum sich bei vielen Messungen – etwa Körpergrößen – die meisten Werte in der Mitte drängen. Dafür baute er ein Brett mit Nagelreihen, durch das Schrotkugeln rieselten: Jede einzelne Kugel springt zufällig, und trotzdem entsteht unten jedes Mal dieselbe Glockenform. 1906 sammelte er auf einer Viehschau rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen – der mittlere Tipp lag weniger als ein Prozent neben dem wahren Gewicht. Weniger rühmlich: Galton begründete auch die Eugenik, die Idee, Menschen zu „verbessern“, die später zu schwerem Unrecht führte.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du oben 1000 Kugeln fallen lässt, wiederholst du Galtons Versuch – und siehst seine Glocke.
Station 2Der Baum wächst aus der Urne
Du ziehst zweimal eine Kugel aus der Urne. Sind zwei gleiche Farben wahrscheinlicher, wenn du die erste Kugel zurücklegst – oder wenn du sie behältst?
Schritt 0/4
P(rot, rot)–ändert sich
P(blau, blau)–ändert sich
P(gleiche Farbe)–ändert sich
Summe aller 4 Pfade1bleibt immer 1
Die beiden Pfadregeln
1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.P(rot, rot) = 35 · 24 = 620 = 310 (ohne Zurücklegen, 3 rote und 2 blaue)
2. Pfadregel (Summenregel): Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
P(gleiche Farbe) = P(rot, rot) + P(blau, blau) = 310 + 110 = 25
Ohne Zurücklegen fehlt beim zweiten Zug genau eine Kugel der gezogenen Farbe. Deshalb werden gleiche Farben seltener, gemischte häufiger. Und immer gilt: Alle Pfade zusammen ergeben 1.
Station 31000 Würfe in Sekunden
Eine Sechs kommt mit der Wahrscheinlichkeit 16. Du würfelst immer weiter. Was passiert mit dem Anteil der Sechsen?
Würfe0ändert sich
Sechsen0ändert sich
Anteil der Sechsen–pendelt sich ein
Sechsen minus Würfe : 6–gleicht sich nicht aus
Wahrscheinlichkeit16 ≈ 0,167bleibt gleich
Das Gesetz der großen Zahlen
Die relative Häufigkeit ist der Anteil: relative Häufigkeit = Anzahl der SechsenAnzahl der WürfeBei wenigen Würfen springt sie wild. Je mehr Würfe, desto enger liegt sie bei der Wahrscheinlichkeit 16 – in jedem Lauf. Deshalb kann man Wahrscheinlichkeiten durch viele Versuche schätzen.
Aber Vorsicht: Der Zufall „gleicht nichts aus“. Die Zahl der Sechsen weicht bei 10 000 Würfen meist mehr von 10 000 : 6 ab als bei 100 Würfen von 100 : 6 – nur der Anteil weicht weniger ab. Der Würfel hat kein Gedächtnis.
Station 4Die Wette des Chevalier
Ein Spieler im Frankreich des 17. Jahrhunderts bot zwei Wetten an. Wette A: In 4 Würfen kommt mindestens eine Sechs. Wette B: In 24 Würfen mit zwei Würfeln kommt mindestens eine Doppelsechs. Er dachte: 4 : 6 = 24 : 36, also sind beide gleich gut. Stimmt das?
Spiele0ändert sich
Wette A gewonnen–Anteil
Wette B gewonnen–Anteil
Rechnungerst aufdeckenGegenereignis
Rechnen mit dem Gegenereignis
Die Idee „4 · 16“ ist falsch: Bei 6 Würfen käme 6 · 16 = 1 heraus – die Sechs wäre sicher. Das stimmt offensichtlich nicht.„Mindestens eine Sechs“ hat sehr viele Pfade. Das Gegenteil hat nur einen: „keine einzige Sechs“.
P(mindestens eine Sechs) = 1 − P(keine Sechs) = 1 − (56)⁴ = 1 − 6251296 ≈ 0,518
P(mindestens eine Doppelsechs) = 1 − (3536)²⁴ ≈ 0,491
Wette A gewinnt auf Dauer, Wette B verliert knapp. Erst mit 25 Doppelwürfen wird B günstig: 1 − (3536)²⁵ ≈ 0,506. Den kleinen Unterschied sieht man erst nach Tausenden von Spielen – das Gesetz der großen Zahlen aus Station 3.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Alle Aufgaben hier gehen ohne Taschenrechner.
Wahrscheinlichkeiten in mehreren Stufen
Gleich wahrscheinliche ErgebnisseP(E) = günstige Ergebnissealle Ergebnisse
1. PfadregelEntlang eines Pfades multiplizieren:
P(rot, rot) = 35 · 24
P(rot, rot) = 35 · 24
2. PfadregelPfade eines Ereignisses addieren:
P(gleiche Farbe) = P(rr) + P(bb)
P(gleiche Farbe) = P(rr) + P(bb)
Mit / ohne ZurücklegenMit: Die Urne bleibt gleich.
Ohne: Beim zweiten Zug fehlt eine Kugel – Zähler und Nenner ändern sich.
Ohne: Beim zweiten Zug fehlt eine Kugel – Zähler und Nenner ändern sich.
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Mehrstufig rechnen
GegenereignisP(mindestens einmal) = 1 − P(keinmal)
Pfade zählenFühren k gleich wahrscheinliche Pfade zum Ereignis: Wahrscheinlichkeit eines Pfades mal k.
Galton-Brett (p = 0,5)P(Fach k) = Wege ins Fach k2ⁿ, Wege aus dem Pascal-Dreieck
Erwartete AnzahlAnzahl der Versuche · Wahrscheinlichkeit
So arbeitest du: Hier musst du selbst einen Baum planen, Pfade zählen oder ein Urteil begründen. Zeichne zuerst einen (Teil-)Baum.
Werkzeuge für Experten
n gleiche StufenPfad mit k Treffern (Wahrscheinlichkeit p) und n − k Nieten:
pk · (1 − p)n − k
pk · (1 − p)n − k
Anzahl solcher PfadeZahl im Pascal-Dreieck, Zeile n, Stelle k
Mindestens einmal in n Versuchen1 − (1 − p)ⁿ
Ist das noch Zufall?Frag: Wie wahrscheinlich wäre dieses Ergebnis, wenn nur der Zufall spielt? Ist es sehr klein, zweifelst du an der Zufallsannahme.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der orange Weg führt vom Anfang bis zum Kästchen. Wie entsteht die Zahl im Kästchen aus den Zahlen am Weg?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Am Ende eines Pfades steht das Produkt der Äste: 0,4 · x = 0,1. Welche Zahl musst du mit 0,4 malnehmen, um 0,1 zu bekommen?Hilfe 3 – Lösung
0,4 · x = 0,1, also x = 0,1 : 0,4 = 0,25 (= 14).Probe: 0,4 · 0,25 = 0,1 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wie viele Nagelreihen hat das Brett? Auf wie vielen Wegen kommt eine Kugel ganz nach links – und auf wie vielen in die Mitte?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Bei 4 Reihen führen 1, 4, 6, 4, 1 Wege in die fünf Fächer. Die Kugeln verteilen sich (ungefähr) im selben Verhältnis wie die Wege.Hilfe 3 – Lösung
Ins Randfach führt 1 Weg, ins mittlere Fach 6 Wege. Das mittlere Fach erwartet also 6-mal so viele Kugeln: x = 6 · 10 = 60.Probe: Insgesamt sind es 16 Wege, also 16 · 10 = 160 Kugeln. Davon 616 · 160 = 60 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? In der Urne liegen 2 rote und x blaue Kugeln. Was sagt der durchgestrichene Pfeil zurück in die Urne? Wie viele Kugeln liegen insgesamt drin – ausgedrückt mit x?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Nenne die Gesamtzahl n = 2 + x. Ohne Zurücklegen ist P(rot, rot) = 2n · 1n − 1. Für welches n ergibt das 115? Probiere n = 4, 5, 6 …Hilfe 3 – Lösung
2n · 1n − 1 = 2n · (n − 1) = 115, also n · (n − 1) = 30 = 6 · 5. Damit n = 6 Kugeln, davon 2 rot: x = 4 blaue.Probe: 26 · 15 = 230 = 115 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.