So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ordnen, ziehen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Die Daten sind Messungen, wie ihr sie selbst machen könnt: Schrittlängen einer Klasse und eine Strecke, die beim Feldmessen mehrmals gemessen wird. In Station 1 kannst du auch eigene Werte eintippen.
Farben: Median · unteres Quartil Q1, Mittelwert · oberes Quartil Q3 · Ausreißer, Täuschung
Station 1Ordnung ins Durcheinander
15 Jugendliche einer Klasse sind je 10 Schritte gegangen und haben ihre Schrittlänge ausgerechnet. Die Zettel liegen wild durcheinander. Wie lang ist ein typischer Schritt in dieser Klasse? Schätze, bevor du ordnest.
4 bis 30 Werte. Deine Werte werden auch in Station 3 benutzt.
Reihenfolge–ändert sich
Anzahl n–bleibt gleich
kleinster · größter Wert–bleiben gleich
Spannweite–bleibt gleich
Mitte der Rangliste?erst ordnen
Erst ordnen, dann sehen
Die Zettel in ihrer zufälligen Reihenfolge heißen Urliste. Geordnet von klein nach groß heißen sie Rangliste. Beim Ordnen geht kein Wert verloren – aber plötzlich siehst du den kleinsten und den größten Wert und die Mitte.Spannweite = größter Wert − kleinster Wert
Die Punktreihe zeigt, wo sich die Werte häufen und wo Lücken oder Ausreißer sind. Im Stängel-Blatt-Diagramm stehen links die Zehner (Stängel) und rechts die Einer (Blätter): 7 | 3 bedeutet 73. Es zeigt die Form wie eine liegende Säulengrafik und behält trotzdem jeden einzelnen Wert.
Station 2Mittelwert gegen Median
Beim Feldmessen messen neun Gruppen dieselbe Strecke mit dem Maßband. Eine Gruppe hat sich beim Aufschreiben vertippt: Aus 49,7 m wird 59,7 m. Was passiert mit dem Mittelwert und mit dem Wert in der Mitte der Rangliste?
Zieh den roten Punkt nach links oder rechts.
Median (Mitte der Rangliste)–bleibt gleich
Mittelwert (Summe : Anzahl)–ändert sich
roter Messwert–
Der Median ist robust, der Mittelwert nicht
Mittelwert x̄ = Summe aller Werte : Anzahl nDer Mittelwert ist der Schwerpunkt: Setzt du die Wippe dort auf, ist sie im Gleichgewicht. Rutscht ein Wert um d weiter, wandert der Mittelwert um d : n mit – bei 10 m Tippfehler und 9 Werten um 10 : 9 ≈ 1,1 m.
Der Median ist der Wert in der Mitte der Rangliste. Bei gerader Anzahl ist er der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Ihm ist egal, wie weit ein Ausreißer weg ist – nur, auf welcher Seite er liegt.
Beim Feldmessen heißt das: Ausreißer zuerst prüfen (Tippfehler? Maßband verrutscht?). Der Median ist ein guter Schutz gegen einzelne grobe Fehler.
Station 3Die Kiste entsteht
Der Median teilt die Rangliste in zwei Hälften. Was passiert, wenn du jede Hälfte noch einmal halbierst? Spiel Schritt für Schritt ab.
Schritt 1/6
Unsere Regeln auf dieser Seite: Median: Rangliste bilden; bei ungerader Anzahl der mittlere Wert, bei gerader Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Quartile: Teile die Rangliste in eine untere und eine obere Hälfte – bei ungerader Anzahl ohne den Median. Das untere Quartil Q1 ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil Q3 der Median der oberen Hälfte. (Manche Bücher und Taschenrechner benutzen leicht andere Regeln; die Quartile weichen dann manchmal etwas ab.)
Minimum · Maximum–
Q1 · Median · Q3–
links · in · rechts der Kiste–Werte zählen
Fünf Zahlen, ein Bild: der Boxplot
Der Boxplot (Kastenschaubild) zeigt fünf Kennzahlen: Minimum · Q1 · Median · Q3 · MaximumDie Kiste reicht von Q1 bis Q3: Darin liegt die mittlere Hälfte der Werte. Links und rechts davon liegt jeweils etwa ein Viertel, die „Antennen“ reichen bis zum kleinsten und größten Wert.
Quartilsabstand = Q3 − Q1 (die Breite der Kiste) · Spannweite = Maximum − Minimum
John Tukey: eine Kiste für Bleistift und Papier belegt
USA, ca. 1915 – 2000 · Boxplot ab ca. 1970, im Buch 1977
Tukey war Mathematiker an der Universität Princeton und arbeitete auch für ein großes Telefonlabor. Von ihm stammt ein Wort, das du jeden Tag hörst: „Bit“, die kleinste Einheit für Information im Computer. Trotzdem dachte er sich den Boxplot so aus, dass man ihn ohne Computer zeichnen kann: Rangliste, fünf Zahlen abzählen, eine Kiste, zwei Striche. Auch das Stängel-Blatt-Diagramm aus Station 1 hat er bekannt gemacht. Die Pointe: Der Mann, der dem Computer das Wort „Bit“ schenkte, wollte, dass jeder Daten mit dem Bleistift erforschen kann.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du eure Schrittlängen ordnest und eine Kiste zeichnest, arbeitest du genau so, wie Tukey es gedacht hat.
Station 4Klasse 10a gegen Klasse 10b
Auch die 10b hat ihre Schrittlängen gemessen. Den allerlängsten Schritt hat jemand aus der 10b. Welche Klasse macht typischerweise die längeren Schritte?
10a: Median · Mittelwert–bleibt gleich
10b: Median · Mittelwert–ändert sich
10a: Quartilsabstand · Spannweite–bleibt gleich
10b: Quartilsabstand · Spannweite–ändert sich
Lage und Streuung
Zum Vergleichen brauchst du zwei Fragen: Wo liegt die Mitte? (Lage: Median, Mittelwert) und Wie weit streuen die Werte? (Streuung).Spannweite = Max − Min reagiert auf einen einzigen Ausreißer. Quartilsabstand = Q3 − Q1 misst nur die mittlere Hälfte – er bleibt ruhig.
Die 10a hat den größeren Median, die 10b nur den einen Riesenschritt. Ein einzelner Rekord sagt wenig über eine ganze Gruppe.
Für Experten: Die mittlere Abweichung ist der Mittelwert der Abstände aller Werte vom Mittelwert. Sie nutzt jeden Wert und ist ein feineres Streumaß.
Station 5Fahnder: Grafiken, die täuschen
Die Schülerzeitung titelt: „Radfahren boomt – mehr als dreimal so viele Radler!“ Die Grafik scheint das zu zeigen. Stimmt die Schlagzeile?
Radler 2024 → 2025240 → 264bleibt gleich
echter Zuwachs+ 10 %bleibt gleich
rechte Säule wirkt–ändert sich
Dieselbe Umfrage als 3D-Torte: Wie kommt ihr zur Schule? Welches Stück ist größer – das vordere (zu Fuß) oder das hintere (Bus)?
echte Anteile Fuß · Bus20 % · 30 %bleiben gleich
sichtbare Fläche Fuß · Bus–ändert sich
Fahnder-Regeln für Grafiken
1. Wo beginnt die Achse? Beginnt sie nicht bei 0, vergleichst du nur die Spitzen der Säulen. Aus 240 → 264 (+10 %) wird optisch „mehr als dreimal so hoch“: (264 − 230) : (240 − 230) = 3,4. Ehrlich: 264 : 240 = 1,1.2. Flächen und 3D verzerren. Bei einer gekippten Torte bekommt das vordere Stück noch eine Seitenwand dazu, das hintere wird gestaucht. Das Auge vergleicht Flächen – nicht Winkel.
3. Zahlen schlagen Bilder. Rechne mit den Zahlen, nicht mit dem Eindruck. Ein ehrliches Kreisdiagramm ist flach, ein ehrliches Säulendiagramm beginnt bei 0 (oder zeigt den Achsenbruch deutlich).
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Daten ordnen und die Mitte finden
RanglisteAlle Werte von klein nach groß – keinen vergessen!
Spannweite = Max − Min
Spannweite = Max − Min
Mittelwertx̄ = Summe aller Werte : Anzahl n
Mediann ungerade: der mittlere Wert, also der (n + 1) : 2-te.
n gerade: Mittelwert der beiden mittleren Werte.
n gerade: Mittelwert der beiden mittleren Werte.
KreisdiagrammWinkel = Anteil · 360°
ein Teil von n bekommt 360° : n
ein Teil von n bekommt 360° : n
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Quartile, Boxplot, Fahnder
Quartile (Regel dieser Seite)Rangliste halbieren – bei ungeradem n ohne den Median.
Q1 = Median der unteren Hälfte
Q3 = Median der oberen Hälfte
Q1 = Median der unteren Hälfte
Q3 = Median der oberen Hälfte
BoxplotMin · Q1 · Median · Q3 · Max
In der Kiste liegt die mittlere Hälfte der Werte.
In der Kiste liegt die mittlere Hälfte der Werte.
StreuungSpannweite = Max − Min
Quartilsabstand = Q3 − Q1
Quartilsabstand = Q3 − Q1
FahnderBeginnt die Achse bei 0? Echter Faktor = neuer Wert : alter Wert. Zuwachs in % = Zuwachs : alter Wert · 100 %
So arbeitest du: Hier musst du rückwärts denken, Kennzahlen kombinieren oder eine Grafik entlarven. Schreib zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist.
Werkzeuge für Experten
Summe aus MittelwertSumme = n · x̄
Gesamtmittelwertx̄ = (n₁ · x̄₁ + n₂ · x̄₂) : (n₁ + n₂)
Mittlere AbweichungMittelwert der Abstände |xᵢ − x̄|
Bilder vergrößernLänge und Breite · k → Fläche · k², Rauminhalt · k³
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? In welche Richtung werden die Zahlen größer? Und wo steht der grüne Strich – auf einer Karte oder zwischen zwei Karten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Karten sind geordnet, der grüne Strich ist der Median. Bei sechs Karten liegt er genau zwischen der 3. und der 4. Karte – er ist der Mittelwert dieser beiden.Hilfe 3 – Lösung
(x + 10) : 2 = 8, also x + 10 = 16 und x = 6.Probe: 5 ≤ 6 ≤ 10 – die Reihenfolge stimmt ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir das kleine Winkelzeichen in der Mitte? Welcher Teil des ganzen Kreises ist das blaue Stück – und was heißt das für die Gesamtzahl?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das blaue Stück hat einen rechten Winkel, es ist ein Viertel des Kreises. Also sind 12 ein Viertel von allen: Insgesamt sind es 4 · 12.Hilfe 3 – Lösung
Gesamt: 4 · 12 = 48. Dann x = 48 − 12 − 8 = 28.Probe: 8 von 48 sind 60°, 28 von 48 sind 210°, und 90° + 60° + 210° = 360° ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x̄ = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die fünf leeren Kreise? Und welche der fünf Zahlen unter dem Boxplot sind selbst Messwerte – welche sind aus zwei Werten gebildet?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Es sind fünf Werte. Min, Median und Max sind Messwerte. Nach unserer Regel ist Q1 der Mittelwert des 1. und 2. Werts, Q3 der Mittelwert des 4. und 5. Werts. Rechne die fehlenden Werte rückwärts aus.Hilfe 3 – Lösung
(2 + b) : 2 = 3 → b = 4 · (d + 16) : 2 = 12 → d = 8.Die Werte: 2, 4, 5, 8, 16. Summe 35, also x̄ = 35 : 5 = 7.
Schöner Nebenbefund: Summe = 2 · Q1 + Median + 2 · Q3 = 6 + 5 + 24 = 35 – Min und Max braucht man dafür gar nicht. Und der Mittelwert (7) liegt rechts vom Median (5), weil die 16 ihn zieht.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.