So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest. Dann schaust du zu, wie 1000 Menschen sortiert, gezählt und umsortiert werden. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Die Stationen 1 bis 3 benutzen dieselben Zahlen – änderst du einen Regler, ändern sich alle drei.
Farben: krank · gesund · Test positiv (oranger Ring) · Summen
Station 11000 Menschen und ein Test
Eine Krankheit hat 2 % der Menschen. Ein Test erkennt 90 % der Kranken. Bei Gesunden schlägt er in 5 % der Fälle fälschlich an. Lena wird positiv getestet. Wie wahrscheinlich ist sie wirklich krank?
Schritt 0/4
Menschen1000bleibt gleich
krank–ändert sich mit dem Regler
positiv getestet–krank + gesund
unter den Positiven wirklich krank–das ist Lenas Chance
Wenige Kranke, viele Fehlalarme
Von 1000 Menschen sind 20 krank, 18 davon werden erkannt. Von den 980 Gesunden bekommen 5 %, also 49, ebenfalls ein positives Ergebnis. Unter den 67 Positiven sind nur 18 wirklich krank:P(krank | positiv) = 1818 + 49 = 1867 ≈ 27 %
Der senkrechte Strich heißt „unter der Bedingung“: Man schaut nur noch auf die Positiven. Das nennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Die Pointe: 5 % von sehr vielen Gesunden sind mehr als 90 % von wenigen Kranken. Je seltener die Krankheit, desto mehr Fehlalarme unter den Positiven – stell den ersten Regler auf 1 % und vergleiche.
Station 2Vom Baum in die Tafel
Links stehen die Zahlen aus Station 1 als Baum. Im Baum gibt es einen Knoten „krank“ – aber keinen Knoten „positiv“. Wo steckt die Zahl aller Positiven?
Schritt 0/3
4 Blätter = 4 innere Felder–dieselben Zahlen
positiv insgesamt–Spaltensumme
Angeklickt–Klick auf ein Feld oder einen Knoten
Vierfeldertafel
Zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen (krank/gesund, positiv/negativ) ergeben vier Felder. Rechts und unten stehen die Summen.| positiv | negativ | Summe | |
|---|---|---|---|
| krank | 18 | 2 | 20 |
| gesund | 49 | 931 | 980 |
| Summe | 67 | 933 | 1000 |
Jede Zeile und jede Spalte geht auf. Darum kann man aus drei passenden Zahlen und der Gesamtzahl die ganze Tafel ausfüllen.
Station 3Den Baum umdrehen
Der Test erkennt 90 % der Kranken: P(positiv | krank) = 90 %. Ist dann auch P(krank | positiv) = 90 %?
Die 4 Blätter–bleiben gleich
P(positiv | krank)–Bedingung: krank
P(krank | positiv)–Bedingung: positiv
Die Bedingung steht hinter dem Strich
P(positiv | krank): Man schaut nur auf die Kranken und fragt, wie viele positiv sind: 1820 = 90 %.P(krank | positiv): Man schaut nur auf die Positiven und fragt, wie viele krank sind: 1867 ≈ 27 %.
Der Zähler ist derselbe (das Blatt 18), aber der Nenner wechselt. Beim Umdrehen bleiben die vier Blätter gleich, nur die Äste werden neu berechnet:
P(krank | positiv) = krank und positivalle Positiven
Wer die beiden Richtungen verwechselt, irrt sich gewaltig – das passiert sogar Fachleuten.
Thomas Bayes: Ein Pfarrer dreht den Schluss um belegt
England, ca. 1701 – 1761 · veröffentlicht 1763
Bayes war Pfarrer in Tunbridge Wells südöstlich von London und rechnete in seiner freien Zeit. Er fragte nicht nur: „Wie wahrscheinlich ist ein Ergebnis, wenn ich die Ursache kenne?“, sondern umgekehrt: „Was verrät mir ein Ergebnis über die Ursache?“ – genau das Baum-Umdrehen aus dieser Station. Veröffentlicht hat er seine Arbeit nie: Sein Freund Richard Price fand sie nach Bayes’ Tod in seinen Papieren und reichte sie 1763 bei der Royal Society in London ein. Die Pointe: Heute rechnen Spamfilter, Ärztinnen und Suchmaschinen mit der „Regel von Bayes“ – benannt nach einem Mann, der sie selbst nie gedruckt sah.
Was das mit dir zu tun hat: Immer wenn du von „positiv getestet“ auf „wirklich krank“ schließt, drehst du einen Baum um – mit Bayes’ Idee.
Station 4Hängt das zusammen?
200 Jugendliche wurden gefragt: Hast du heute gefrühstückt? Bist du in der ersten Stunde müde? Woran erkennst du, dass Frühstück und Müdigkeit nichts miteinander zu tun haben?
P(müde | Frühstück)–linke Säule
P(müde | kein Frühstück)–rechte Säule
P(müde) insgesamt–gestrichelte Linie
unabhängig?–
Unabhängigkeit
Zwei Merkmale heißen unabhängig, wenn das eine nichts am Anteil des anderen ändert:P(müde | Frühstück) = P(müde | kein Frühstück) = P(müde)
Im Quadrat sieht man das sofort: Die Grenze zwischen „müde“ und „wach“ ist eine gerade Linie. Gleichwertig gilt dann für jedes Feld: P(A und B) = P(A) · P(B).
Vorsicht: Sind die Merkmale abhängig, heißt das noch nicht, dass das eine das andere verursacht. Vielleicht gehen die Müden einfach später ins Bett und frühstücken deshalb seltener.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Tafel, Baum und bedingte Wahrscheinlichkeit
VierfeldertafelInnen die vier Felder, rechts und unten die Summen. Jede Zeile und jede Spalte geht auf.
HäufigkeitsbaumAn den Knoten stehen Anzahlen. Anzahl am Ast = Anzahl darüber · Anteil.
Bedingte WahrscheinlichkeitP(B | A) = Anzahl „A und B“Anzahl „A“
Die Bedingung A steht hinter dem Strich und gibt den Nenner.
Die Bedingung A steht hinter dem Strich und gibt den Nenner.
Richtung beachtenP(B | A) und P(A | B) haben denselben Zähler, aber verschiedene Nenner.
So arbeitest du: Hier musst du selbst rückwärts rechnen, zwei Tests hintereinander verfolgen oder Unabhängigkeit begründen. Am sichersten rechnest du mit Anzahlen (z. B. 10 000 Personen) statt mit Prozenten.
Werkzeuge für Experten
Mit Anzahlen rechnenWähle eine große Gesamtzahl, sodass alle Felder ganze Zahlen werden.
Baum umdrehen (Bayes)P(A | B) = P(A) · P(B | A)P(B)
UnabhängigkeitP(B | A) = P(B | nicht A)
⇔ P(A und B) = P(A) · P(B)
⇔ P(A und B) = P(A) · P(B)
Zweiter TestDie Positiven des ersten Tests sind die neue Gesamtgruppe.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die dicken Linien und die getönten Felder, ohne dass es dasteht? Welche Felder ergeben zusammen das Feld ganz rechts unten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rechts stehen Zeilensummen, unten Spaltensummen. Die erste Zeilensumme fehlt – du bekommst sie aus 100 und 40. Danach fehlt in der ersten Zeile nur noch x.Hilfe 3 – Lösung
Erste Zeilensumme: 100 − 40 = 60. Dann 12 + x = 60, also x = 48.Probe: In Zeile 2 steht links 40 − 25 = 15. Spaltensummen 12 + 15 = 27 und 48 + 25 = 73, zusammen 27 + 73 = 100 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Am oberen Ast steht 1/4. Was steht – ohne dass es dasteht – am unteren Ast? Wie viele der 800 gehen nach unten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die beiden Äste eines Knotens ergeben zusammen 1. Unten geht es also mit 3/4 weiter: 3/4 von 800. Davon nimmt der orange Ast 1/5.Hilfe 3 – Lösung
Unterer Ast: 1 − 1/4 = 3/4, also 3/4 · 800 = 600. Davon 1/5: x = 120.Kurz: 800 · 34 · 15 = 120.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Links verzweigt der Baum erst nach rot und grün, dann nach „+“. Rechts ist die Reihenfolge vertauscht. Welche Pfade des linken Baums enden alle bei „+“?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Denk dir 100 Personen. Wie viele landen links auf dem Pfad rot-„+“, wie viele auf grün-„+“? Rechts ist x der Anteil von rot unter allen „+“.Hilfe 3 – Lösung
Bei 100 Personen: rot und „+“: 100 · 0,1 · 0,9 = 9. Grün und „+“: 100 · 0,9 · 0,1 = 9. Unter den 18 „+“ sind 9 rot: x = 918 = 0,5.Obwohl der Test 90 % der Roten erkennt, ist ein „+“ nur zu 50 % rot.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.