So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst auf eine Vermutung fest. Dann probierst du es aus: Schritt für Schritt, mit Reglern oder Knöpfen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Jede Person, jede Farbe und jeder Buchstabe behält auf dem Bild seine Farbe. Dunkelgelb sind Rechenschritte.
Station 1Die Sitzordnung
Valentin, Nadine, Jonas und Melanie kommen in einen Raum mit genau vier Stühlen. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es?
Platz 0/4
Personen–bleibt gleich
Äste bis jetzt–ändert sich
Rechnung–wächst mit jedem Platz
Und mit der ganzen Klasse? 37 Schülerinnen und Schüler, 37 Plätze
Stellen der Zahl–ändert sich
Jede Sekunde eine neue Sitzordnung: Dauer–
Produktregel und Fakultät
Für Platz 1 gibt es n Möglichkeiten. An jedem dieser Äste wachsen n − 1 neue, dann n − 2 … So multiplizieren sich die Möglichkeiten:n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1 = n! (lies: „n Fakultät“)
4! = 24 · 5! = 120 · 10! = 3 628 800 · 37! hat schon 44 Stellen.
Allgemein heißt das die Produktregel: Hat Stufe 1 a Möglichkeiten und gibt es danach jeweils b, dann c …, so gibt es zusammen a · b · c … Möglichkeiten.
Gottfried Wilhelm Leibniz: Ein Student will alles kombinieren belegt
Leipzig, ca. 1666 · Leibniz lebte 1646 – 1716
Mit nicht einmal 20 Jahren schrieb Leibniz eine ganze Abhandlung über die „Kunst des Kombinierens“. Er zählte darin, auf wie viele Arten man Dinge anordnen und auswählen kann – genau die Bäume und Produkte dieser Seite. Sein Traum war viel größer: Er wollte alle Gedanken aus wenigen Grundbegriffen zusammensetzen wie Wörter aus Buchstaben. Dann, so hoffte er, könnte man einen Streit beenden, indem man sagt: „Rechnen wir nach!“ Die Pointe: Der Traum ging nicht auf, aber Leibniz arbeitete später das Rechnen mit nur 0 und 1 aus – das Zweiersystem, in dem heute alle Computer rechnen.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du einen Baum zeichnest und die Äste multiplizierst, machst du genau das, was Leibniz als Student ordnen wollte.
Station 2Möglichkeiten als Rechteck
Im Schrank liegen 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Mützen. Wie viele verschiedene Outfits kannst du anziehen?
Zeilen–ändert sich
Spalten–ändert sich
Schichten–ändert sich
Möglichkeiten–ändert sich
Multiplizieren heißt: Rechteck füllen
Jede Zeile ist ein T-Shirt, jede Spalte eine Hose. Jedes Kästchen ist genau ein Outfit – also gibt es Zeilen · Spalten davon. Jede Mütze legt eine weitere Schicht darauf: 4 · 3 · 2 = 24. Addieren wäre falsch: 4 + 3 + 2 zählt nur die Kleidungsstücke, nicht die Outfits.Ziehst du zweimal aus demselben Stapel mit n Karten, ist das Gitter n · n groß. Legst du die erste Karte nicht zurück, fällt die Diagonale weg: n · n − n = n · (n − 1).
Station 3Das wievielte Wort?
Aus den Buchstaben A, E, N, O, Z kannst du 5! = 120 „Wörter“ bilden. Sortiert wie im Lexikon beginnt die Liste mit AENOZ, AENZO, AEONZ … An welcher Stelle steht OZEAN?
Deine Schätzung:
Schritt 0/5
Blockgröße–ändert sich
übersprungen–Wörter
Rechnung–
Ganze Blöcke überspringen
Alle Wörter mit demselben Anfangsbuchstaben bilden einen Block. Hinter dem ersten Buchstaben lassen sich die übrigen 4 auf 4! = 24 Arten anordnen. Hinter zwei festen Buchstaben bleiben 3! = 6, dann 2! = 2, dann 1.OZEAN: 3 · 24 + 3 · 6 + 1 · 2 + 0 · 1 = 92 Wörter davor → Platz 93
So zählst du, ohne die Liste aufzuschreiben: An jeder Stelle fragst du, wie viele kleinere Buchstaben noch frei sind.
Station 4Wenn Perlen gleich aussehen
Fünf Perlen werden aufgefädelt: eine orange (A), eine blaue (B) und drei violette (C, C, C). Wie viele verschiedene Reihen gibt es? Fünf verschiedene Perlen ergäben 5! = 120.
Schritt 0/3
Reihen mit Nummern120bleibt gleich
Reihen pro Gruppe–bleibt gleich
verschiedene Reihen auf dem Bild–ändert sich
Durch die Vertauschungen der Gleichen teilen
Gib den gleichen Perlen zuerst Nummern: C₁, C₂, C₃. Dann sind alle 5 verschieden, und es gibt 5! = 120 Reihen. Die 3 Nummern lassen sich auf 3! = 6 Arten vertauschen – ohne Nummern sehen diese 6 Reihen gleich aus:5! : 3! = 120 : 6 = 20
Bei zwei Sorten gleicher Perlen teilst du durch beide: B B C C C gibt 5! : (2! · 3!) = 120 : 12 = 10.
Station 5Der Pfannkuchen-Schneider
Ein riesiger Pfannkuchen wird mit geraden Schnitten zerteilt, ohne die Stücke zu verschieben. 0 Schnitte: 1 Stück. 1 Schnitt: 2 Stücke. 2 Schnitte: höchstens 4. Und mit jedem weiteren Schnitt – verdoppelt sich das immer?
Tipp vor dem nächsten Schnitt – wie viele Stücke werden es höchstens?
Schnitte0ändert sich
alte Schnitte, die der neue kreuzt–ändert sich
Stücke1ändert sich
Was kommt beim nächsten Schnitt dazu?
Der n-te Schnitt kreuzt höchstens die n − 1 alten Schnitte. Dadurch zerfällt er in n Teilstücke. Jedes Teilstück teilt ein altes Stück in zwei – es kommen also genau n Stücke dazu:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22 … Stücke = 1 + (1 + 2 + … + n)
Die Verdopplung 1, 2, 4, 8 stimmt nur bis 2 Schnitte. Ein Muster aus drei Fällen ist noch kein Gesetz – erst die Frage „Was kommt genau dazu?“ erklärt es.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Rechnung mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Alle Aufgaben hier gehen ohne Taschenrechner.
Zählen mit dem Baum
ProduktregelStufe 1: a Möglichkeiten, danach jeweils b, dann c …
zusammen: a · b · c · …
zusammen: a · b · c · …
Alle anordnenn Dinge auf n Plätze:
n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1
n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1
Mit Wiederholungk Stellen, jede mit z Möglichkeiten:
z · z · … · z = zk
z · z · … · z = zk
Fakultäten3! = 6 · 4! = 24 · 5! = 120
6! = 720 · 7! = 5040
6! = 720 · 7! = 5040
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Anordnen mit Besonderheiten
Nur k von n Plätzenn · (n − 1) · … (k Faktoren)
z. B. 3 von 10: 10 · 9 · 8 = 720
z. B. 3 von 10: 10 · 9 · 8 = 720
Gleiche Elementen! geteilt durch die Vertauschungen der Gleichen:
ANNA: 4! : (2! · 2!) = 6
ANNA: 4! : (2! · 2!) = 6
ZusammenklebenWer nebeneinander sitzen muss, wird zu einem Block – und der Block kann innen noch getauscht werden.
Lexikon-PlatzAn jeder Stelle: (Anzahl kleinerer freier Buchstaben) · (Rest)! – alles addieren, dann + 1.
So arbeitest du: Hier musst du zuerst überlegen, was du eigentlich zählst. Zeichne einen kleinen Baum oder ein Kästchen-Schema, bevor du rechnest.
Werkzeuge für Experten
Schwierigste Stelle zuerstFang mit der Stelle an, die die meisten Bedingungen hat (z. B. „nicht 0 vorne“).
Runder TischDrehungen zählen nicht: einen Platz festhalten → (n − 1)!
Ja/Nein-Entscheidungenk unabhängige Ja/Nein-Fragen: 2k Ergebnisse
Teiler zählenN = 2a · 3b · 5c hat (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) Teiler
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Das kleine Zeichen neben dem x verrät, was gezählt wird.
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Wer von A nach D will, muss durch B und durch C. Wie viele Entscheidungen triffst du unterwegs?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zu jedem der 3 Wege nach B passt jeder der 4 Wege nach C – und danach jeder der 2 Wege nach D. Denk an einen Baum mit drei Stufen.Hilfe 3 – Lösung
x = 3 · 4 · 2 = 24 Wege.Addieren (3 + 4 + 2 = 9) zählt nur die Straßen, nicht die Wege.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Pfeile geben die Richtung vor. Über welche Orte kannst du überhaupt nach D kommen? Schreib jede Route als Buchstabenfolge auf.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Es gibt drei Routen: A–B–D, A–C–D und A–B–C–D. Zähle jede Route mit der Produktregel. Danach überlege: Malnehmen oder Addieren?Hilfe 3 – Lösung
A–B–D: 2 · 3 = 6A–C–D: 3 · 2 = 6
A–B–C–D: 2 · 1 · 2 = 4
Die Routen schließen sich gegenseitig aus, also wird addiert: x = 6 + 6 + 4 = 16.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Je zwei Schnitte kreuzen sich innen, nie drei in einem Punkt. Stell dir vor, die Schnitte kommen einer nach dem anderen dazu.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der neue Schnitt kreuzt alle alten. Bei k alten Schnitten zerfällt er in k + 1 Teilstücke – und jedes Teilstück teilt ein altes Stück in zwei.Hilfe 3 – Lösung
Schnitt 1 bringt +1, Schnitt 2 +2, … Schnitt 6 +6:x = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22.
Probe auf anderem Weg: 1 Stück am Anfang + 6 Schnitte + 15 Kreuzungen (je zwei der 6 Schnitte) = 22.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.