So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Breite x, Radius r · Höhe h · Länge, Mantel · Flächen · Tangente (gestrichelt) · Zuwachs, Rest
Station 136 m Zaun an der Hauswand
Du hast 36 m Zaun für ein rechteckiges Gehege. Die Hauswand ist die vierte Seite. Welches Rechteck umschließt die größte Fläche?
Zaun x + (36 − 2x) + x36 mbleibt gleich
Länge an der Wand–ändert sich
Fläche A–ändert sich
Steigung der Tangente–ändert sich
Oben ist die Tangente waagrecht
Die Fläche hängt nur von der Tiefe x ab: A(x) = x · (36 − 2x)Das ist eine Parabel mit den Nullstellen 0 und 18. Zu jedem Rechteck gibt es einen Zwilling mit gleicher Fläche: x und 18 − x. Nur genau in der Mitte fallen die Zwillinge zusammen – dort liegt das Maximum: x = 9 m, Länge 18 m, A = 162 m². Das beste Gehege ist doppelt so lang wie tief.
Am höchsten Punkt ist die Tangente waagrecht (Steigung 0). Links davon steigt die Kurve, rechts fällt sie.
Station 2Die Dose mit 450 cm³
Eine Dose soll 450 cm³ fassen und aus möglichst wenig Blech bestehen (Boden, Deckel, Mantel). Welche Form braucht am wenigsten Blech?
Volumen π · r² · h450 cm³bleibt gleich
Höhe h = 450 : (π · r²)–ändert sich
Blech O–ändert sich
Höhe : Durchmesser–ändert sich
Die beste Dose ist so hoch wie breit
Mit h = 450 : (π r²) wird der Mantel 2π r · h = 900 : r. Das ganze Blech:O(r) = 2π r² + 900 : r
Deckel und Boden (violett) wachsen mit r, der Mantel (blau) schrumpft. Ihre Summe ist am kleinsten bei r ≈ 4,15 cm. Dann ist h ≈ 8,31 cm – genau h = 2r: Die Dose ist so hoch wie breit. Blech: etwa 325 cm².
Echte Dosen sind meist schlanker. Falze, Ränder, Stapeln und die Hand, die sie greifen soll, zählen auch mit.
Station 3Beweis ohne Ableitung
Die Kurve sagt: Bei r ≈ 4,15 cm ist das Minimum. Aber ist es wirklich das kleinste – oder sieht es nur so aus? Wir weichen um ein Stück h ab und rechnen nach.
Schritt 0/5
Mindestteil 6π rm²≈ 325,08 cm²bleibt gleich
Rest–nie negativ
Blech O(rm + h)–ändert sich
Mindestteil plus nicht-negativer Rest
Für den Radius rm mit rm³ = 225 : π gilt 900 = 4π rm³. Damit lässt sich das Blech jeder anderen Dose zerlegen:O(rm + h) = 6π rm² + 2π h² · (3rm + h) : (rm + h)
Der rote Rest ist nie negativ: h² ist nie negativ, und beide Klammern sind positiv, solange der Radius rm + h positiv ist. Null wird er nur bei h = 0. Also ist rm ≈ 4,15 cm sicher die sparsamste Dose – bewiesen ohne Zeichnung und ohne Ableitung.
Station 4Wenn der Zuwachs null wird
Zurück zum Zaun: Mach die Tiefe x Schritt für Schritt größer. Woran erkennst du an den Zuwächsen, wo das Maximum liegt?
Schrittweite e:
Oben: Fläche A(x). Unten: Zuwachs pro Meter, also (A(x + e) − A(x)) : e.
Schrittweite e–wählbar
Zuwachs wird negativ–ab hier fällt die Fläche
Zuwachs pro Meter für e → 036 − 4xnull bei x = 9
Fermats Trick
Rechne den Zuwachs allgemein aus: A(x + e) − A(x) = e · (36 − 4x − 2e)Pro Meter ist das 36 − 4x − 2e. Wird e zur werdenden Null, bleibt 36 − 4x – die Steigung der Tangente. Solange sie positiv ist, wächst die Fläche, danach schrumpft sie. Am Maximum ist sie null:
36 − 4x = 0 → x = 9
So hat Pierre de Fermat um 1636 Höchstwerte gesucht – noch bevor es das Wort „Ableitung“ gab.
Station 5Die größte Schachtel
Aus einem quadratischen Karton (30 cm × 30 cm) schneidest du an den Ecken vier Quadrate aus und faltest die Ränder hoch. Wie groß müssen die Eckquadrate sein, damit möglichst viel hineinpasst?
Karton30 cm × 30 cmbleibt gleich
Boden (30 − 2x)²–wird kleiner
Höhe x–wird größer
Volumen V–ändert sich
Boden gegen Höhe
V(x) = x · (30 − 2x)²Große Ecken geben eine hohe Schachtel mit kleinem Boden, kleine Ecken einen großen Boden ohne Höhe. Das Beste liegt dazwischen: bei x = 5 cm mit Boden 20 cm × 20 cm und V = 2000 cm³ – genau 2 Liter.
Für jeden quadratischen Karton mit Seite a gilt: x = a : 6. Probe: Bei x = 4 und x = 6 sind es nur 1936 und 1944 cm³.
Dido und die Ochsenhaut Legende
Königin Dido · Gründung Karthagos (heute Tunesien) der Sage nach ca. 814 v. Chr.
Dido floh aus der Stadt Tyros und landete mit ihren Leuten an der Küste Nordafrikas. Der König dort spottete: Sie bekomme so viel Land, wie sie mit einer Ochsenhaut umspannen könne. Dido schnitt die Haut in hauchdünne Streifen, knotete sie zu einem langen Band und legte es im Halbkreis an die Küste – das Meer war ihre Hauswand. Darauf entstand Karthago. Die Pointe: Viel später bewiesen Mathematiker, dass der Halbkreis an einer Geraden bei fester Bandlänge wirklich die größte Fläche umschließt.
Was das mit dir zu tun hat: An Station 1 löst du Didos Aufgabe – nur mit geradem Zaun statt mit einem biegsamen Band.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Größte und kleinste Werte finden
Zielgröße aufstellenWas soll groß oder klein werden? Schreib es mit einer Variablen: A(x) = …
Parabel mit NullstellenA(x) = x · (L − 2x) hat die Nullstellen 0 und L : 2.
Der Scheitel liegt genau in der Mitte.
Der Scheitel liegt genau in der Mitte.
ZwillingeZwei Stellen mit gleichem Wert – das Maximum liegt in der Mitte dazwischen.
ZylinderV = π r² h
O = 2π r² + 2π r h
O = 2π r² + 2π r h
So arbeitest du: Stell die Zielgröße mit einer Variablen auf. Finde das Maximum mit einer Tabelle, mit Nullstellen und Mitte oder mit Fermats Trick – und prüfe am Ende, ob es wirklich das Beste ist.
Werkzeuge für Experten
Fermats Trickf(x + e) − f(x) ausrechnen, durch e teilen, e → 0.
Am Höchst- oder Tiefstwert: Ergebnis = 0.
Am Höchst- oder Tiefstwert: Ergebnis = 0.
Steigungen (bisher)a · x² → 2a · x
b · x → b
x³ → 3x²
b · x → b
x³ → 3x²
Nachweis ohne Ableitungf(xm + e) = f(xm) ± (etwas, das nie negativ ist)
Kubikwurzelr³ = k → r = ∛k
(Taste x1/3 oder ∛)
(Taste x1/3 oder ∛)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die beiden gestrichelten Linien sind gleich hoch (gleiche Striche). Was weißt du über die Form eines Parabelbogens?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Ein Parabelbogen ist spiegelsymmetrisch. Zwei gleich hohe Punkte liegen spiegelbildlich zur Achse durch den höchsten Punkt.Hilfe 3 – Lösung
Der höchste Punkt liegt genau in der Mitte zwischen 3 und 11: x = (3 + 11) : 2 = 7.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die obere rechte Ecke des Rechtecks liegt auf der schrägen Seite. Wie hoch darf das Rechteck also sein, wenn es x breit ist?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Auf der schrägen Seite sinkt die Höhe pro 12 Schritte nach rechts um 8, also pro Schritt um 8 : 12. Bei der Breite x ist das Rechteck 8 − 8x : 12 hoch. Probier x = 3, 6, 9 – oder such die Nullstellen der Fläche.Hilfe 3 – Lösung
A(x) = x · (8 − 2x : 3). Nullstellen: x = 0 und x = 12. In der Mitte liegt das Maximum: x = 6, Höhe 4, A = 24.Probe: x = 3 gibt 3 · 6 = 18, x = 9 gibt 9 · 2 = 18 – beide kleiner.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die gestrichelte Linie wird zum Boden, die Ränder werden zu Wänden. Wie hoch wird die Schachtel – und wie breit ist ihr Boden?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Schachtel ist x hoch, der Boden ist ein Quadrat mit der Seite 12 − 2x. Also V = x · (12 − 2x)². Probier ganze Zahlen von 1 bis 5.Hilfe 3 – Lösung
x = 1: 1 · 10² = 100 · x = 2: 2 · 8² = 128 · x = 3: 3 · 6² = 108 · x = 4: 4 · 4² = 64.Am größten bei x = 2. (Genau: Das Maximum liegt bei einem Sechstel der Kartonseite.)
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.