So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: schieben, ziehen, abspielen, würfeln. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Startwert · gleicher Zuwachs (linear) · Zuwachs vom Zuwachs · Messwerte · Faktor q
Station 1Anna, Ben und die Zinsen
Anna und Ben legen je 1000 € zu 5 % Zinsen im Jahr an. Anna lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen, Ben lässt sie auf dem Konto stehen. Nach wie vielen Jahren hat Ben sein Geld verdoppelt?
Startkapital · Zinsen vom Startkapital · Zins auf Zins | je Jahr links Anna, rechts Ben
Faktor je Jahr q–bleibt gleich
Anna (einfacher Zins)–wächst um gleiche Beträge
Ben (Zinseszins)–wächst immer schneller
davon Zins auf Zins–ändert sich
Ben hat verdoppelt–
Gleicher Betrag oder gleicher Faktor?
Anna bekommt jedes Jahr denselben Betrag dazu: Kn = K0 + n · Z – das ist lineares Wachstum.Ben bekommt jedes Jahr 5 % von seinem aktuellen Guthaben. Sein Guthaben wird also jedes Jahr mit demselben Faktor q = 1 + 5/100 = 1,05 multipliziert: Kn = K0 · qn – das ist exponentielles Wachstum. Die Zinsen der Vorjahre bringen selbst wieder Zinsen (rot).
Verdoppeln heißt 1,05n = 2. Hier ist der Exponent gesucht – genau dafür gibt es den Logarithmus: n = log 2 : log 1,05 ≈ 14,2. Ben hat also im 15. Jahr verdoppelt, Anna erst nach 20 Jahren.
Faustregel (72er-Regel): Verdopplungszeit ≈ 72 : Zinssatz, also 72 : 5 ≈ 14,4 Jahre.
Station 2Mit dem Barometer auf den Berg
Auf Meereshöhe beträgt der Luftdruck etwa 1013 hPa. Je 80 m, die du höher steigst, sinkt er um 1 %. Der Mount Everest ist 8849 m hoch – das sind gut 110 Schritte zu 80 m. Wie viel Luftdruck ist auf dem Gipfel noch übrig?
Du kannst die Bergsteigerin auch direkt am Hang nach oben ziehen.
Höhe–ändert sich
Schritte zu 80 m–= Exponent
Faktor je Schritt0,99bleibt gleich
Luftdruck–
lineares Modell–zum Vergleich
Immer 1 % vom Rest – nie null
Bei jedem Schritt von 80 m wird der Druck mit 0,99 multipliziert: p(h) = 1013 hPa · 0,99h : 80Es fällt immer 1 % vom aktuellen Wert weg. Weil der Rest kleiner wird, werden auch die Verluste in hPa kleiner. Darum erreicht der Druck nie null – anders als beim linearen Modell, das schon bei 8000 m „0 hPa“ meldet.
Auf dem Everest: 1013 · 0,99110,6 ≈ 333 hPa, also etwa ein Drittel. Gemessen werden dort etwa 330 bis 340 hPa – das Modell ist erstaunlich gut.
Halber Luftdruck: 0,99n = 0,5 gilt für n ≈ 69 Schritte, also in etwa 5500 m Höhe. Ab dort halbiert er sich alle weiteren 5500 m.
Station 3Würfel-Zerfall: die Halbwertszeit
120 Würfel werden geworfen. Jeder Würfel, der eine Sechs zeigt, fliegt raus. Mit den übrigen wird wieder geworfen. Nach wie vielen Würfen ist ungefähr die Hälfte der Würfel weg?
Startwert: 2026
Wurf0ändert sich
noch im Spiel120ändert sich
diesmal raus–ändert sich
Chance rauszufliegen1/6bleibt gleich
Halbierungen nach Wurf–gemessen
Immer derselbe Anteil – die Halbwertszeit
Jeder Würfel hat bei jedem Wurf dieselbe Chance 1/6 rauszufliegen – egal, wie lange er schon dabei ist. Darum fliegt immer ungefähr derselbe Anteil raus, nicht dieselbe Anzahl. Übrig bleiben im Mittel 5/6: N(k) ≈ 120 · (5/6)kDie Hälfte ist weg, wenn (5/6)k = 1/2, also nach k ≈ 3,8 Würfen. Und dann wieder nach 3,8 Würfen von 60 auf 30, von 30 auf 15 … Diese feste Zeitspanne heißt Halbwertszeit. Bei den Münzen ist sie genau 1 Wurf.
Atomkerne verhalten sich genauso: Ein Kohlenstoff-14-Kern „würfelt“ ständig. Nach etwa 5730 Jahren ist die Hälfte zerfallen – damit bestimmt man das Alter von Knochen und Holz.
Station 4Linear oder exponentiell? Modelle auf dem Prüfstand
Hier sind vier echte Messreihen. Welche wächst linear, welche exponentiell – und welche passt in keine der beiden Schubladen? Wähle eine Messreihe und leg dich fest.
Differenzen–
Quotienten–
größte Abweichung linear–Modell vs. Messung
größte Abweichung exponentiell–Modell vs. Messung
Differenzen oder Quotienten – und dann kritisch bleiben
Gleiche Differenzen (in gleichen Zeitschritten kommt dasselbe dazu oder weg) → lineares Modell f(x) = m · x + b.Gleiche Quotienten (in gleichen Zeitschritten wird mit demselben Faktor multipliziert) → exponentielles Modell f(x) = a · qx.
Ein Modell ist eine Brille, keine Wahrheit. Frag immer: Bis wohin stimmt es? Die Kerze ist irgendwann abgebrannt. Der Teich ist irgendwann voll. Das Gerücht wächst erst wie verdoppelt, aber die Schule hat nur 500 Schülerinnen und Schüler – dann muss das Wachstum bremsen. Und der Tee wird nicht kälter als das Zimmer: Exponentiell fällt nur sein Abstand zur Raumtemperatur.
Babylon: Wann hat sich das Silber verdoppelt? belegt
Altbabylonische Tontafel · ca. 1800 v. Chr. · Mesopotamien (heute Irak) · heute im Louvre, Paris
Auf einer kleinen Tontafel steht eine Aufgabe, wie sie auch in deinem Heft stehen könnte: Silber wird zu 20 % Zins im Jahr verliehen, die Zinsen werden mitverzinst. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? Logarithmen gab es noch über 3000 Jahre lang nicht. Der Schreiber wusste aber: Nach 3 Jahren ist es das 1,728-Fache, nach 4 Jahren das 2,0736-Fache. Wahrscheinlich hat er zwischen diesen beiden Werten geradlinig eingeschaltet – sein Ergebnis im Sechzigersystem bedeutet etwa 3,787 Jahre. Die Pointe: Genau sind es 3,802 Jahre. Er lag nur rund fünf Tage daneben.
Was das mit dir zu tun hat: Du stellst an Station 1 dieselbe Frage nach dem Exponenten. Und an Station 3 steckt sogar dieselbe Zahl: Die Halbwertszeit der Würfel ist auch 3,8 Würfe – denn 6/5 = 1,2.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Wachstum in Prozent – der Faktor q
Zunahme um p %q = 1 + p/100
+ 8 % → q = 1,08
+ 8 % → q = 1,08
Abnahme um p %q = 1 − p/100
− 15 % → q = 0,85
− 15 % → q = 0,85
Exponentielles WachstumWert nach n Schritten:
K0 · qn
K0 · qn
Verdoppeln / Halbierenq = 2: nach k Verdopplungszeiten 2k-fach
q = ½: nach k Halbwertszeiten (½)k
q = ½: nach k Halbwertszeiten (½)k
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Exponentialfunktion f(x) = a · qx
Startwert aa = f(0): der Wert zu Beginn
(Schnittpunkt mit der y-Achse)
(Schnittpunkt mit der y-Achse)
Faktor q aus zwei Wertenf(x + n) : f(x) = qn
q = ⁿ√(Quotient)
q = ⁿ√(Quotient)
Startwert rückwärtsK0 = Kn : qn
Prozent zurückq = 0,96 → Abnahme um 4 %
q = 1,035 → Zunahme um 3,5 %
q = 1,035 → Zunahme um 3,5 %
So arbeitest du: Hier ist oft der Exponent gesucht – dann hilft der Logarithmus (oder geschicktes Probieren). Und: Prüfe jedes Modell, ob es zur Wirklichkeit passt.
Wenn der Exponent gesucht ist
Exponentialgleichungqn = c | log
n = log c : log q
n = log c : log q
Verdopplungszeitn = log 2 : log q
Faustregel: ≈ 72 : p
Faustregel: ≈ 72 : p
Halbwertszeit TN(t) = N0 · (½)t : T
Immer öfter verzinsen(1 + 1/n)n → e ≈ 2,718
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Alle drei Bögen tragen dasselbe Zeichen. Was passiert also auf dem Weg vom ersten zum dritten Balken – und wie oft?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Vom ersten zum dritten Balken wird zweimal mit derselben Zahl q multipliziert: 4 · q · q = 36. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 9?Hilfe 3 – Lösung
q · q = 36 : 4 = 9, also q = 3. Die Balken sind 4, 12, 36 – und x = 36 · 3 = 108.Falle nicht auf „immer + 16“ herein: Das wären gleiche Differenzen, aber die Bögen sagen „mal“.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Kurve wird immer steiler – sie wächst nicht um gleiche Beträge. Wie viele gleich lange Schritte nach rechts liegen zwischen den beiden roten Punkten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Von 1 nach 3 sind es zwei Schritte mit demselben Faktor: 12 · q · q = 48. Von 1 zurück nach 0 ist es ein Schritt rückwärts – also teilen statt malnehmen.Hilfe 3 – Lösung
q² = 48 : 12 = 4, also q = 2. Ein Schritt zurück: x = 12 : 2 = 6.Die Kurve gehört zu y = 6 · 2x. Probe: 6 · 2³ = 48 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Jedes Quadrat hat seine Ecken genau auf den Seitenmitten des nächstgrößeren. Vergleiche zwei Quadrate, die gleich ausgerichtet sind.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Schau auf das große Quadrat und das nächste gerade Quadrat darin: Dessen Ecken liegen in der Mitte zwischen Rand und Mittelpunkt. Seine Seite ist also genau halb so lang. Wie viele solcher Doppelschritte führen bis zum roten Quadrat?Hilfe 3 – Lösung
Zwei Schritte halbieren die Seite: 16 → 8 → 4 → 2. Das sind drei Doppelschritte, also x = 2.Jeder einzelne Schritt halbiert die Fläche: 256 → 128 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 = 2². Die Seite schrumpft je Schritt mit dem Faktor 1/√2.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.