So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest. Dann spielst du ab, ziehst Regler und schaust auf die Kacheln: grün bleibt gleich, rot ändert sich. Achte auf Zahlen, die immer kleiner werden – „werdende Nullen“ – und darauf, was trotzdem fest bleibt.
Farben: Achilles / Verfolger · Schildkröte · Teilstücke einer Summe · Rest, der noch fehlt
Station 1Achilles jagt die Schildkröte
Achilles läuft 10 m pro Sekunde, die Schildkröte 1 m pro Sekunde. Sie hat 100 m Vorsprung. Immer wenn Achilles dort ankommt, wo die Schildkröte eben war, ist sie schon ein Stück weiter. Holt Achilles sie überhaupt ein?
Etappe 0
Etappe–wird immer kürzer
Achilles' Weg bisher–wächst
Vorsprung der Schildkröte–werdende Null
Treffpunkt–bleibt fest
Unendlich viele Etappen – aber eine endliche Summe
Die Etappen von Achilles sind 100 m, 10 m, 1 m, 0,1 m, … – jede ein Zehntel der vorigen: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 111,111… m = 11119 mDie Zeiten dazu: 10 s + 1 s + 0,1 s + … = 11,111… s. Nach diesen 11,1 Sekunden ist Achilles vorbei. Zenons Etappen beschreiben also nur die Zeit bis zum Überholen – in immer feinerer Zeitlupe.
Allgemein: Ist jede Etappe das q-Fache der vorigen (0 < q < 1), dann gilt a + a·q + a·q² + … = a : (1 − q) hier: 100 : (1 − 0,1) = 100 : 0,9 = 111,1…
Im Diagramm siehst du es auch: Die Treppe hat unendlich viele Stufen, passt aber ganz in das Dreieck vor dem Schnittpunkt der beiden Geraden. Mit der Lupe sieht jedes Stück der Treppe gleich aus.
Zenon von Elea: Ein Beweis gegen die Bewegung überliefert
Elea in Süditalien, ca. 490 – ca. 430 v. Chr. · bekannt vor allem durch Aristoteles, ca. 350 v. Chr.
Zenon wollte zeigen, dass Bewegung nur Schein ist. Sein berühmtestes Beispiel: Der schnelle Achilles kann eine Schildkröte nie einholen – er muss ja immer erst dorthin, wo sie gerade war. Zenons eigene Schriften sind verloren; wir kennen seine Rätsel vor allem, weil Aristoteles sie aufschrieb, um sie zu widerlegen. Die Pointe: Ein Gedankenspiel, das Bewegung unmöglich machen sollte, wurde zur Eingangstür der Analysis – der Mathematik, mit der man heute Bewegung berechnet.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du eine unendliche Summe als eine Zahl aufschreibst, beantwortest du Zenons Frage – mit einem Bruch.
Station 2Halbieren und Vierteln
Du legst in ein Quadrat erst die Hälfte, dann ein Viertel, dann ein Achtel … immer die Hälfte vom Rest. Läuft das Quadrat irgendwann über?
Stück 0
Summe–wächst
Rest bis zur Grenze–werdende Null
Grenze–bleibt fest
Was übrig bleibt, wird beliebig klein
Nach n Stücken fehlt genau noch das letzte Stück: ½ + ¼ + … + (½)ⁿ = 1 − (½)ⁿDer Rest (½)ⁿ wird kleiner als jede noch so kleine Zahl, die du dir ausdenkst – aber nie negativ. Deshalb sagt man: Die unendliche Summe ist 1.
Vierteln: Jede Stufe legt drei gleich große Quadrate hin – violett, orange, blau. Weil alle drei Farben gleich viel bekommen und zusammen das ganze Quadrat füllen, bekommt jede Farbe ein Drittel: ¼ + ¹⁄₁₆ + ¹⁄₆₄ + … = ⅓ Probe: ¼ : (1 − ¼) = ¼ : ¾ = ⅓.
Station 3Eine Parabel mit Dreiecken füllen
In ein Parabelstück passt zuerst ein großes Dreieck (Fläche 1). In die Lücken kommen immer kleinere Dreiecke. Wie groß ist die ganze Parabelfläche – verglichen mit dem ersten Dreieck?
Stufe 0/6
neue Dreiecke–doppelt so viele
Fläche dieser Stufe–ein Viertel der vorigen
Summe bisher–wächst
Parabelfläche⁴⁄₃ ≈ 1,3333bleibt fest
Archimedes' Trick: 1 + ¼ + ¹⁄₁₆ + … = ⁴⁄₃
Jede Stufe hat doppelt so viele Dreiecke, aber jedes ist nur ein Achtel so groß – zusammen also ein Viertel der vorigen Stufe: 1 + ¼ + ¹⁄₁₆ + ¹⁄₆₄ + … = 1 + ⅓ = ⁴⁄₃(Den Teil ¼ + ¹⁄₁₆ + … = ⅓ kennst du aus Station 2.) Die Parabelfläche ist also genau ⁴⁄₃ des ersten Dreiecks – ohne Formel für krumme Flächen, nur mit Dreiecken und einer unendlichen Summe.
Station 4Der Kegel im Stufenturm
Ein Kegel steht in einem Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Welchen Anteil des Zylinders füllt der Kegel?
Turm außen (Anteil)–wird kleiner
Turm innen (Anteil)–wird größer
Unterschied–genau 1 : n
Kegel⅓ ≈ 0,3333immer dazwischen
Einschachteln: Der Kegel ist ⅓ des Zylinders
Der Kegel steckt immer zwischen dem inneren und dem äußeren Turm. Der Unterschied der beiden Türme ist genau die unterste Scheibe, also 1 : n des Zylinders – eine werdende Null.Beide Türme rücken immer näher an dieselbe Zahl heran: 0,3333… Für den Kegel bleibt nur diese eine Zahl übrig: VKegel = ⅓ · G · h
Der Turm wird nie zum Kegel – er hat immer Stufen. Trotzdem ist das Ergebnis sicher, weil es von beiden Seiten eingeklemmt wird.
Station 5Hier klappt es nicht mehr: der Klotzturm
Gleiche Klötze werden so gestapelt, dass jeder ein Stück über den darunter hinausragt – gerade so, dass nichts kippt. Kann der oberste Klotz ganz über die Tischkante hinausragen?
1 Klotz
Klötze–ändert sich
neues Stück Überhang–wird immer kleiner
Überhang insgesamt–in Klotzlängen
für 2 / 3 Klotzlängen31 / 227 Klötzewächst ohne Grenze
Kleiner werdende Stücke – trotzdem keine Grenze
Der k-te Klotz von oben ragt um ½ · 1/k Klotzlänge über den nächsten hinaus. Mit n Klötzen ist der Überhang ½ · (1 + ½ + ⅓ + ¼ + … + 1/n)Ab 4 Klötzen ist er größer als 1: Der oberste Klotz schwebt ganz über dem Boden neben dem Tisch.
Die Stücke 1/k werden immer kleiner – und trotzdem wächst die Summe über jede Grenze. Fasse zusammen: ⅓ + ¼ > ½ · ⅕ + ⅙ + ⅐ + ⅛ > ½ · … Immer wieder kommt mindestens ½ dazu. Kleine Stücke allein reichen nicht – bei Achilles schrumpften sie jedes Mal um denselben Faktor, hier nicht.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Der Taschenrechner ist erlaubt, wo es dransteht – die Idee kommt aber ohne ihn aus.
Unendliche geometrische Summe
Gleicher Faktor qa + a·q + a·q² + a·q³ + …
jedes Glied ist das q-Fache des vorigen
jedes Glied ist das q-Fache des vorigen
Summe (0 < q < 1)s = a : (1 − q)
z. B. 100 + 10 + 1 + … = 100 : 0,9 = 111,1…
z. B. 100 + 10 + 1 + … = 100 : 0,9 = 111,1…
Rest nach n Gliederns − (a + … + a·qⁿ⁻¹) = s · qⁿ
Periode0,777… = 7 : 9 · 0,3636… = 36 : 99
So arbeitest du: Hier musst du selbst erkennen, wo eine unendliche Summe steckt – oder wo man sie geschickt umgehen kann. Mach immer zuerst eine Skizze.
Werkzeuge für Experten
Summea + a·q + a·q² + … = a : (1 − q) (für −1 < q < 1)
Wie viele Glieder?Rest s · qⁿ < Grenze → qⁿ < Grenze : s
durch Probieren oder mit dem Logarithmus
durch Probieren oder mit dem Logarithmus
ArchimedesParabelstück = ⁴⁄₃ · eingesetztes Dreieck
Harmonisch1 + ½ + ⅓ + ¼ + … wächst über jede Grenze
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wie hängen die beiden beschrifteten Stücke zusammen? Geht es danach genauso weiter?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jedes Stück ist ein Drittel des vorigen: 12, 4, 4/3, 4/9, … Das ist eine unendliche Summe mit dem Faktor ⅓.Hilfe 3 – Lösung
x = 12 + 4 + 4/3 + … = 12 : (1 − ⅓) = 12 : ⅔ = 18.Kontrolle: Nach 12 fehlen noch 6 – und 4 ist schon zwei Drittel davon.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wie lang sind alle waagrechten Stücke zusammen – und alle senkrechten? Was hat die gestrichelte Linie damit zu tun?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Waagrecht: 12 + 6 + 3 + … , senkrecht: 9 + 4,5 + … . Beide sind unendliche Summen mit Faktor ½. Die gestrichelte Linie ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit diesen beiden Summen als Katheten.Hilfe 3 – Lösung
Waagrecht: 12 : (1 − ½) = 24. Senkrecht: 9 : (1 − ½) = 18.x² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900, also x = 30 (Tripel 3-4-5, mal 6).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die rote Zickzacklinie hat unendlich viele Stücke, zusammen x. Welche Dreiecke entstehen zwischen den roten Stücken – und sind sie dem großen Dreieck ähnlich?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das erste Stück ist die Höhe auf die Hypotenuse: 6 · 8 : 10 = 4,8. Alle kleinen Dreiecke sind dem großen ähnlich; jedes neue rote Stück ist das 8/10-Fache des vorigen.Hilfe 3 – Lösung
Stücke: 4,8 + 3,84 + 3,072 + … mit Faktor 0,8.x = 4,8 : (1 − 0,8) = 4,8 : 0,2 = 24.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.