So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann ziehst du an den Punkten, schiebst die Regler oder spielst ab. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
In dieser Geometrie wird nicht gemessen. Es zählt nur, welche Punkte auf welchen Geraden liegen – und das bleibt beim Projizieren erhalten.
In dieser Geometrie wird nicht gemessen. Es zählt nur, welche Punkte auf welchen Geraden liegen – und das bleibt beim Projizieren erhalten.
Farben: Dreieck 1 violett · Dreieck 2 blau · Seitenpaare orange, grün, blau · Achse und Kurvenpunkte rot · Ziehpunkte sind dicke Kreise.
Station 1Zentriert und liniert
Zwei Dreiecke, ihre Ecken paarweise verbunden: A mit A′, B mit B′, C mit C′. Verlängere auch die Seiten paarweise (AB mit A′B′ usw.) – sie schneiden sich in drei Punkten U, V, W. Was passiert mit U, V, W, wenn die drei Verbindungsgeraden durch einen gemeinsamen Punkt gehen?
Zieh an den sechs Ecken. Liegen die Verbindungsgeraden fast in einem Punkt, rastet die Ecke ein.
Verbindungsgeraden AA′, BB′, CC′–
Schnittpunkte U, V, W der Seitenpaare–
Zusammenhang–
Satz von Desargues
Gehen die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch einen Punkt Z, heißen die Dreiecke zentriert; Z ist das Zentrum.Liegen die Schnittpunkte entsprechender Seiten auf einer Geraden z, heißen sie liniert; z ist die Achse.
zentriert ⇔ liniert
Zwei Dreiecke sind also immer beides oder keins von beidem. Die beiden Fehldreiecke in der Grafik schrumpfen deshalb gemeinsam auf null.
Sind zwei Seiten parallel, liegt ihr Schnittpunkt im Unendlichen (Pfeil am Bildrand). Auch dann gilt der Satz: Die Achse läuft dann parallel zu diesen Seiten.
Station 210 Punkte, 10 Geraden
Die fertige Figur aus Station 1 hat 10 Punkte (Z, A, B, C, A′, B′, C′, U, V, W) und 10 Geraden. Z ist das Zentrum. Wie viele der 10 Punkte könnten ebenso gut das Zentrum sein?
Schritt 0/5
Ist die Figur fertig, tippe einen beliebigen Punkt an: Er wird zum Zentrum.
Punkte · Geraden10 · 10bleibt gleich
durch jeden Punkt · auf jeder Geraden3 Geraden · 3 Punktebleibt gleich
Gewähltes Zentrum–
Die Desargues-Figur ist vollkommen gleichberechtigt
Durch jeden der 10 Punkte gehen genau 3 Geraden, auf jeder der 10 Geraden liegen genau 3 Punkte. Keiner ist bevorzugt:Jeder Punkt kann Zentrum sein – die drei Geraden durch ihn tragen die Ecken zweier Dreiecke, und die drei übrigen Punkte (die mit dem Zentrum auf keiner Geraden liegen) bilden die Achse.
Das ergibt 10 Möglichkeiten. Umgekehrt kann auch jede Gerade die Achse sein.
Station 3Der Beweis kommt aus dem Raum
Eine Pyramide mit Spitze Z steht auf dem Dreieck ABC. Eine schräge Ebene schneidet sie im Dreieck A′B′C′. Wo schneiden sich zwei schräg zueinander liegende Ebenen?
Zieh auf der Grafik, um die Figur zu drehen.
Schnitt der beiden Ebeneneine Gerade s
U, V, Wliegen auf sbei jeder Neigung
Blick–
Im Raum ist der Satz fast selbstverständlich
AB und A′B′ liegen in derselben Seitenfläche ZAB der Pyramide – also schneiden sie sich in einem Punkt U.U liegt auf AB, also in der Grundebene. U liegt auf A′B′, also in der schrägen Ebene. Damit liegt U auf der Schnittgeraden s der beiden Ebenen. Für V und W gilt dasselbe.
Von oben gesehen (oder als Schatten auf Papier) wird daraus genau die ebene Figur aus Station 1. Der ebene Satz ist der Schatten eines räumlichen.
Ist die schräge Ebene waagerecht, sind die Ebenen parallel: Die Achse s rückt ins Unendliche, und die Dreiecke haben parallele Seiten.
Station 4Kegelschnitt ohne Kegel
Ein Strahl dreht sich um A und trifft die Gerade a in X. Von S aus wird X auf die Gerade b geworfen: Das gibt X′. Der Strahl von B durch X′ schneidet den Strahl von A im Punkt P. Welche Spur hinterlässt P, wenn der Strahl von A einmal herumläuft?
Fest auf der KurveA, B, C, D, Eegal, wie du ziehst
Art der Kurve–
Punkte im Unendlichen–
Steiners Erzeugung der Kegelschnitte
Die Strahlen um A und die Strahlen um B sind einander projektiv zugeordnet: über die Punktreihe a, das Zentrum S und die Punktreihe b. Die Schnittpunkte zugeordneter Strahlen bilden einen Kegelschnitt (Ellipse, Parabel oder Hyperbel).Er geht immer durch fünf feste Punkte: A, B, C = a ∩ SB, D = a ∩ b und E = b ∩ SA. Fünf Punkte legen einen Kegelschnitt fest.
Liegen A, B, S auf einer Geraden, ist die Zuordnung nur perspektiv: Die Kurve zerfällt in zwei Geraden.
Umgekehrt gedacht (dual): Tausche Punkt und Gerade. Ein Punkt X läuft auf einer Geraden s; AX trifft a, BX trifft b. Die Verbindungsgerade dieser beiden Treffpunkte ist eine Tangente. Alle Tangenten zusammen hüllen wieder einen Kegelschnitt ein. Er berührt fünf feste Geraden: a, b, d = AB und die Geraden c, e von B bzw. A zu den Punkten, in denen s die Geraden a bzw. b trifft. Gehen a, b, s durch einen Punkt, zerfällt die Hüllkurve: Alle Geraden laufen dann durch einen Punkt.
Jakob Steiner hat diese Erzeugung um 1832 beschrieben – ganz ohne Kegel und ohne Rechnung.
Desargues und der Punkt im Unendlichen belegt
Girard Desargues · 1591 – 1661 · Lyon und Paris · Kegelschnitt-Schrift ca. 1639
Desargues war Ingenieur und Baumeister. Er dachte über Steinschnitt, Sonnenuhren und Perspektive nach – und behandelte parallele Geraden so, als träfen sie sich in einem Punkt im Unendlichen. Seine Schrift über Kegelschnitte ließ er in nur etwa 50 Exemplaren drucken, voller selbst erfundener Wörter aus dem Pflanzenreich wie „Stamm“ und „Zweig“. Kaum jemand verstand sie – nur den 16-jährigen Blaise Pascal steckte sie an. Die Pointe: Danach galt die Schrift fast 200 Jahre als verschollen. Erst um 1845 tauchte eine Abschrift auf, ein gedrucktes Original sogar erst 1951.
Was das mit dir zu tun hat: Jedes Mal, wenn in Station 1 ein Schnittpunkt als Pfeil aus dem Bild flieht und die Achse trotzdem aufleuchtet, denkst du wie Desargues: Auch ein Punkt im Unendlichen zählt mit.
So arbeitest du: Hier konstruierst und begründest du. Mach immer zuerst eine Skizze (Karopapier hilft). Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Werkzeuge für Experten
Satz von DesarguesZwei Dreiecke sind zentriert (AA′, BB′, CC′ durch Z) genau dann, wenn sie liniert sind (AB ∩ A′B′, BC ∩ B′C′, CA ∩ C′A′ auf der Achse z).
Gerade durch zwei Punktem = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
y = m·(x − x₁) + y₁
senkrecht: x = x₁
y = m·(x − x₁) + y₁
senkrecht: x = x₁
Schnittpunkt zweier Geradenm₁x + c₁ = m₂x + c₂
x = (c₂ − c₁) : (m₁ − m₂)
x = (c₂ − c₁) : (m₁ − m₂)
Parallele Seiten (Achse im Unendlichen)A′ = Z + k·(A − Z)
Z = (A′ − k·A) : (1 − k)
Z = (A′ − k·A) : (1 − k)
SteinerP = AX ∩ BX′ mit X auf a, X′ = SX ∩ b.
Feste Punkte: A, B, C = a ∩ SB, D = a ∩ b, E = b ∩ SA
Feste Punkte: A, B, C = a ∩ SB, D = a ∩ b, E = b ∩ SA
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
%%
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die kleinen Pfeilspitzen auf den Seiten? Und die gestrichelten Linien, die alle aus einem Punkt kommen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Seiten sind paarweise parallel, die Ecken liegen auf Strahlen aus einem Punkt. Das große Dreieck ist also eine Vergrößerung des kleinen vom Strahlpunkt aus. Um welchen Faktor wächst der Abstand vom Strahlpunkt?Hilfe 3 – Lösung
Auf dem Strahl: 4 bis zur kleinen Ecke, 4 + 6 = 10 bis zur großen. Faktor 10 : 4 = 2,5.Jede Seite wächst mit: x = 2,5 · 6 = 15.
Projektiv gesehen: Die Achse der beiden Dreiecke liegt im Unendlichen.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
%%
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die drei gestrichelten Linien treffen sich in einem Punkt. Zwei Seitenpaare treffen sich auf der dicken Linie. Wo muss sich dann das dritte Paar treffen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Dreiecke sind zentriert, also auch liniert: Das dritte Seitenpaar trifft sich ebenfalls auf der dicken Linie. Du brauchst nur eine der beiden auslaufenden Seiten. Lies ihre Steigung an den Kästchen ab und verlängere sie bis zur dicken Linie.Hilfe 3 – Lösung
Die linke Ecke des großen Dreiecks liegt 2 Kästchen über der dicken Linie. Die Seite zur nächsten Ecke steigt auf 6 Kästchen nach rechts um 2 Kästchen, also 1 Kästchen hoch je 3 nach rechts.Rückwärts bis zur Linie: 2 Kästchen tiefer heißt 6 Kästchen nach links. Diese Ecke liegt 10 Kästchen links vom linken roten Punkt (die Strecke 8 zwischen den roten Punkten zeigt dir die Kästchen-Einheit).
x = 10 + 6 = 16. Probe mit der Seite des kleinen Dreiecks: Sie steigt 2 auf 3, liegt 6 hoch, 7 Kästchen links vom roten Punkt – 9 Kästchen weiter links trifft sie die Linie: 7 + 9 = 16 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
%%
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Nur die drei Punkte auf der Grundlinie haben Zahlen. Die Spitze und die Linien darüber sind ohne Maß – kann x überhaupt davon abhängen, wo genau die Spitze sitzt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Grenzfall-Probe Wenn x nicht von der Spitze abhängt, darfst du sie so weit nach oben schieben, wie du willst – bis ins Unendliche. Dann werden die drei Linien aus der Spitze senkrecht. Zeichne die Figur so auf Karopapier neu.Hilfe 3 – Lösung
Lege die Grundlinie auf die x-Achse: linker Punkt bei 0, mittlerer bei 2, rechter bei 6. Spitze im Unendlichen: senkrechte Linien bei x = 0, 2, 6.Auf der mittleren Senkrechten wähle den Punkt (2|2). Die Gerade von (0|0) durch (2|2) trifft die rechte Senkrechte in (6|6). Die Gerade von (6|0) durch (2|2) trifft die linke Senkrechte in (0|3).
Die rote Gerade verbindet (0|3) und (6|6): Steigung 3 : 6 = ½. Sie trifft die x-Achse bei 0 − 3 : ½ = −6.
Also x = 6 – genau so groß wie der rechte Abschnitt 2 + 4. Diese Lage heißt harmonisch.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.