So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Faden r₁ zum Brennpunkt F₁ · Faden r₂ zum Brennpunkt F₂ · große Halbachse a · kleine Halbachse b · Abstand Mitte–Brennpunkt c · Fläche violett
Station 1Der Schatten am Polartag
Nördlich des Polarkreises geht die Sonne im Sommer nicht unter. Ein Stab steht senkrecht im Boden. Welche Bahn zeichnet die Spitze seines Schattens in 24 Stunden?
Datum: 21. Juni (die Sonne steht am höchsten). 90° ist der Nordpol, bei ungefähr 66,6° liegt der Polarkreis.
Stab1 m hochbleibt gleich
Uhrzeit–ändert sich
Sonnenhöhe–ändert sich
Schattenlänge–ändert sich
Ein Kegel aus Sonnenstrahlen
Die Bahn ist ein Oval mit zwei Symmetrieachsen: eine Ellipse. Mittags ist der Schatten am kürzesten (er zeigt nach Norden), um Mitternacht am längsten (er zeigt nach Süden). Der Stab steht nicht in der Mitte der Ellipse.Warum? Alle Sonnenstrahlen, die im Lauf des Tages die Stabspitze streifen, bilden einen Kegel mit der Stabspitze als Spitze. Der flache Boden schneidet diesen Kegel schräg an. Die Schnittkurve heißt deshalb Kegelschnitt.
Am Nordpol (90°) steht der Boden genau quer zur Kegelachse: Dann ist die Bahn ein Kreis. Je weiter du nach Süden gehst, desto schräger der Schnitt und desto länglicher die Ellipse.
Station 2Zwei Nägel und eine Schnur
So zeichnen Gärtner ein ovales Beet: zwei Pflöcke, eine Schnur, ein Stift, der die Schnur straff hält. Was passiert, wenn die beiden Nägel immer näher zusammenrücken, bis sie aufeinander stehen?
Zieh die Nägel F₁, F₂ und den Stift P (orange).
Faden r₁ (rot)–ändert sich
Faden r₂ (grün-blau)–ändert sich
r₁ + r₂–bleibt gleich
Abstand der Nägel–einstellbar
Die Gärtner-Regel
Eine Ellipse besteht aus allen Punkten P, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten gleich ist: r₁ + r₂ = 2aDie beiden Nägel heißen Brennpunkte F₁ und F₂. a ist die halbe Länge (große Halbachse), b die halbe Breite (kleine Halbachse), c der Abstand von der Mitte zu einem Brennpunkt.
Steht der Stift ganz oben, sind beide Fäden gleich lang, also je a. Mit b und c entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: b² + c² = a²
Grenzfälle: Nägel aufeinander (c = 0) → Kreis mit Radius a. Nägel so weit auseinander, dass die Schnur straff ist (c = a) → nur noch eine Strecke.
Station 3Falten am Leitkreis
Ein Papierkreis, innen ein Punkt F₁. Du faltest das Papier so, dass ein Randpunkt K genau auf F₁ fällt – und das immer wieder mit anderen Randpunkten. Was zeigen die vielen Faltlinien?
Zieh K am Kreis entlang und verschieb F₁. Die rote Linie ist die Falte, wenn K auf F₁ gelegt wird.
Strecke PF₁–ändert sich
Strecke PK–immer gleich PF₁
PF₁ + PF₂–bleibt gleich
Falten0gezeichnet
Die Falten hüllen eine Ellipse ein
Die Falte ist die Mittelsenkrechte von F₁K: Jeder Punkt auf ihr ist von F₁ und K gleich weit entfernt. Sie schneidet den Radius F₂K im Punkt P. Also gilt PF₁ = PK und PF₁ + PF₂ = PK + PF₂ = F₂K = RadiusP liegt auf der Ellipse mit den Brennpunkten F₁, F₂ und 2a = Radius des Kreises. Der Kreis heißt Leitkreis.
Jeder andere Punkt Q der Falte liegt außerhalb: QF₁ + QF₂ = QK + QF₂ ist länger als der direkte Weg KF₂. Die Falte berührt die Ellipse also nur in P – sie ist eine Tangente. Viele Tangenten zusammen lassen die Kurve „erscheinen“: Sie ist ihre Hüllkurve.
Probier es mit Backpapier aus: Kreis ausschneiden, Punkt markieren, 30-mal falten.
Station 4Fast ein Kreis: Planetenbahnen
Die Erde läuft auf einer Ellipse um die Sonne, die Sonne sitzt in einem Brennpunkt. Würdest du auf einer maßstäblichen Zeichnung sehen, dass die Erdbahn kein Kreis ist?
e = c : a–Maß für „unrund“
b : a–Breite im Vergleich zur Länge
Sonne neben der Mitte (c)–gerundet
nächster / fernster Abstand–gerundet
Unrund heißt: Die Sonne sitzt nicht in der Mitte
Die Zahl e = c : a sagt, wie weit der Brennpunkt im Verhältnis zur halben Länge aus der Mitte gerückt ist. Bei einem Kreis ist e = 0.Bei der Erde ist e ≈ 0,017. Die Breite b ist nur etwa 21.000 km kleiner als a ≈ 149,6 Mio. km – das sieht niemand. Aber die Sonne sitzt 2,5 Mio. km neben der Mitte: Anfang Januar ist die Erde der Sonne 5 Mio. km näher als Anfang Juli.
Mit „gleiche Zeiten markieren“ siehst du noch etwas: Nahe der Sonne läuft der Körper schneller. Die Strecke Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen (zweites keplersches Gesetz).
Dandelin und die zwei Kugeln belegt
Germinal Pierre Dandelin · 1794 – 1847 · Belgien · Entdeckung ca. 1822
Dass ein schräger Schnitt durch einen Kegel eine Ellipse ergibt, wusste man schon in der Antike. Aber was haben die beiden Brennpunkte mit dem Kegel zu tun? Fast 2000 Jahre lang fehlte dafür ein anschaulicher Grund. 1822 legte der junge Dandelin in Gedanken zwei Kugeln in den Kegel: eine über und eine unter die Schnittebene, so dass jede den Kegelmantel ringsum und die Ebene in genau einem Punkt berührt. Die Pointe: Diese beiden Berührpunkte sind genau die Brennpunkte – und die Gärtner-Regel r₁ + r₂ = 2a folgt daraus fast ohne Rechnung.
Was das mit dir zu tun hat: Die Schatten-Ellipse aus Station 1 ist so ein schräger Kegelschnitt. Auch in ihrem Kegel aus Sonnenstrahlen könntest du zwei solche Kugeln unterbringen.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Die Ellipse – Gärtner-Regel und Halbachsen
Gärtner-RegelFür jeden Punkt P: r₁ + r₂ = 2a
2a ist auch die ganze Länge der Ellipse.
2a ist auch die ganze Länge der Ellipse.
Halbachsena = halbe Länge · b = halbe Breite · c = Mitte bis Brennpunkt
Dreieck am Nebenscheitelb² + c² = a²
c = √(a² − b²)
c = √(a² − b²)
Schnur des Gärtnersan beiden Nägeln festgeknotet: 2a
geschlossene Schlinge um beide Nägel: 2a + 2c
geschlossene Schlinge um beide Nägel: 2a + 2c
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Gleichung, Fläche, Exzentrizität
Gleichung (Mitte im Ursprung)x²a² + y²b² = 1 · Brennpunkte F(±c | 0)
Ergebnis < 1: innen, > 1: außen
Ergebnis < 1: innen, > 1: außen
Gestauchter KreisJede Höhe des Kreises (Radius a) wird mit b : a malgenommen.
FlächeA = π · a · b
(Kreisfläche π · a² mal b : a)
(Kreisfläche π · a² mal b : a)
Bahn um die Sonnenächster Abstand a − c · fernster a + c
e = c : a (Kreis: e = 0)
e = c : a (Kreis: e = 0)
So arbeitest du: Hier musst du selbst eine Gleichung aufstellen oder zwei Wege verbinden. Mach immer zuerst eine Skizze und trag alle Strecken ein.
Werkzeuge für Experten
Fäden aus Koordinatenr₁ = √((x + c)² + y²)
r₂ = √((x − c)² + y²)
r₂ = √((x − c)² + y²)
Punkt über dem Brennpunkt(2a − h)² = h² + (2c)²
→ h² fällt weg
→ h² fällt weg
SchattenStab h, Sonnenhöhe α:
Schattenlänge s = h : tan α
Schattenlänge s = h : tan α
Fläche rückwärtsA = π · a · b → b = A : (π · a)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die 20 gehört zur ganzen Länge – die 7 und das x sind zwei Fäden von einem Punkt zu den beiden Brennpunkten. Was ist mit den Fäden, wenn der Punkt ganz außen sitzt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Für jeden Punkt der Ellipse sind die beiden Fäden zusammen gleich lang. Sitzt der Punkt ganz rechts außen, ist diese Summe genau die ganze Länge.Hilfe 3 – Lösung
7 + x = 20, also x = 13.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die senkrechte Strecke 6 steht genau in der Mitte zwischen F₁ und F₂. Welche Strecke auf der Achse kennst du dadurch auch?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Von der Mitte bis F₂ ist es die Hälfte von 16. Die rote Strecke x ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten 6 und 8.Hilfe 3 – Lösung
16 : 2 = 8. x² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also x = 10.Übrigens: x ist auch die halbe Länge der Ellipse, denn vom obersten Punkt aus sind beide Fäden gleich lang.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Am roten Punkt hängen zwei Fäden – einer ist eingezeichnet. Wo verläuft der andere, und welches Dreieck entsteht mit ihm?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Verbinde den roten Punkt mit F₁. Dieser Faden ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten 5 und 12. Und beide Fäden zusammen sind so lang wie die ganze Ellipse.Hilfe 3 – Lösung
Der zweite Faden: √(5² + 12²) = √169 = 13 (Tripel 5-12-13).Beide Fäden zusammen: 5 + 13 = 18, also x = 18.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.