So arbeitest du: Ellipse, Parabel und Hyperbel kennst du schon einzeln: mit Faden, Leitlinie und Kreisen gezeichnet. Hier geht es um die Frage, ob sie zusammengehören. Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus und deckst erst danach auf, was dahintersteckt.
Farben: Brennpunkt F · Abstand zum Brennpunkt · Abstand zur Leitlinie · Kurve · bleibt gleich
Station 1Die Taschenlampe an der Wand
Eine Taschenlampe leuchtet auf eine Wand. Gerade gehalten macht sie einen runden Fleck. Jetzt kippst du sie langsam nach oben. Was wird aus dem Lichtfleck?
Neigung der Lampe–ändert sich
halbe Öffnung des Kegels–bleibt beim Kippen gleich
oberer Randstrahl gegen die Waagrechte–
Form des Lichtflecks–ändert sich
Ein Kegel, eine Ebene – vier Formen
Das Licht bildet einen Kegel, die Wand schneidet ihn. Je nach Neigung entsteht ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Deshalb heißen alle vier Kegelschnitte.Die Grenze ist leicht zu merken: Läuft der oberste Randstrahl genau parallel zur Wand (Neigung + halbe Öffnung = 90°), wird der Fleck zur Parabel. Davor bleibt er geschlossen (Ellipse). Danach trifft der Randstrahl die Wand nie mehr, und der Fleck reißt auf: ein Ast einer Hyperbel. Den zweiten Ast würde ein Kegel werfen, der nach hinten leuchtet.
Eine einzige Zahl sagt, welche Form entsteht: e = sin(Neigung) : cos(halbe Öffnung) – e < 1 Ellipse, e = 1 Parabel, e > 1 Hyperbel. Was diese Zahl in der Zeichnung bedeutet, zeigt Station 2.
Station 2Ein Punkt, eine Gerade, ein Verhältnis
Bei der Parabel ist jeder Punkt P gleich weit vom Brennpunkt F und von der Leitlinie entfernt: PF : PN = 1. Was ist, wenn P vom Brennpunkt halb so weit entfernt sein soll – oder doppelt so weit? Was passiert mit der Kurve, wenn das Verhältnis größer als 1 wird?
Zieh den Punkt P auf der Kurve.
Abstand zum Brennpunkt PF–ändert sich mit P
Abstand zur Leitlinie PN–ändert sich mit P
PF : PN–bleibt für alle P gleich
Kurve–
Die Exzentrizität e
Alle Punkte P, für die das Verhältnis gleich bleibt, bilden einen Kegelschnitt: PF : PN = e bzw. PF = e · PNDie Zahl e heißt Exzentrizität („Abweichung von der Mitte“). 0 < e < 1: Ellipse · e = 1: Parabel · e > 1: Hyperbel.
Beim Hochschieben von e wird die Ellipse immer länger. Bei e = 1 ist ihr hinteres Ende „im Unendlichen verschwunden“ – das ist die Parabel. Für e > 1 kommt es von der anderen Seite der Leitlinie als zweiter Ast zurück.
Und der Kreis? Er gehört mit e = 0 dazu. Hält man die Leitlinie fest, schrumpft er auf den Punkt F. Hält man die Breite durch F fest, rückt die Leitlinie ins Unendliche, und es bleibt ein echter Kreis um F.
Pappos: Der Sammler, der die Leitlinie rettete belegt
Pappos von Alexandria · ca. 290 – 350 n. Chr. · Ägypten
Pappos lebte, als die große Zeit der griechischen Mathematik schon vorbei war. Er schrieb eine riesige „Sammlung“: Erklärungen, Beweise und Ergänzungen zu Büchern, die damals noch existierten. In dieser Sammlung steht der älteste erhaltene Beweis dafür, dass PF : PN = e immer einen Kegelschnitt ergibt – für Ellipse, Parabel und Hyperbel zugleich. Die Bücher, auf die er sich bezog, sind heute verloren. Die Pointe: Vieles, was du über die Mathematik der Griechen weißt, kennst du nur, weil Pappos es abgeschrieben, geordnet und bewiesen hat.
Was das mit dir zu tun hat: An Station 2 hast du mit einem Regler genau das ausprobiert, was Pappos vor rund 1700 Jahren bewiesen hat.
Station 3Der Leitkreis wird gerade – und biegt sich zurück
K wandert auf einem Kreis, dem Leitkreis. Zu jedem K zeichnest du die Mittelsenkrechte von FK. Die vielen Geraden umhüllen eine Kurve. Jetzt biegst du den Leitkreis immer flacher – bis er eine Gerade ist – und dann andersherum. Was passiert mit der eingehüllten Kurve?
Zieh den Punkt K auf dem Leitkreis.
Leitkreis–ändert sich
Lage von F–
eingehüllte Kurve–
Abstände des Berührpunkts P–bleibt gleich, wenn K wandert
Der zweite Brennpunkt reist durchs Unendliche
Der Mittelpunkt M des Leitkreises ist der zweite Brennpunkt. Für den Berührpunkt P gilt PF = PK. Deshalb:F innen: PF + PM = R → Ellipse (bei M = F ein Kreis) · F außen: |PM − PF| = R → Hyperbel
Dazwischen ist der Leitkreis unendlich groß, also eine Gerade, und M liegt „im Unendlichen“. Dann heißt PF = PK: gleicher Abstand von F und der Leitlinie → Parabel.
Die Parabel ist also keine Ausnahme, sondern der Übergang: eine Ellipse, deren zweiter Brennpunkt unendlich weit weg ist – und zugleich eine Hyperbel, deren zweiter Brennpunkt von der anderen Seite zurückkommt.
Station 4Das Spiegel-Labor
In F blitzt eine Lampe auf. Das Licht wird vom Spiegel zurückgeworfen. Bei welcher Spiegelform kommt alles Licht gleichzeitig an einem Punkt an?
Spiegel–ändert sich
Weg des Lichts–
Lichtfront nach dem Spiegel–siehst du beim Blitz
Gleich lange Wege
Ellipse: Jeder Weg F → Spiegel → F′ ist gleich lang (PF + PF′ = 2a). Darum kommt alles Licht – oder aller Schall – gleichzeitig im zweiten Brennpunkt an. So funktionieren Flüstergewölbe und Geräte, die Nierensteine mit Stoßwellen zertrümmern.Parabel: Der zweite Brennpunkt ist unendlich weit weg. Die Strahlen laufen parallel, die Lichtfront wird gerade: Scheinwerfer, Taschenlampe – und umgekehrt die Satellitenschüssel, die paralleles Licht in F sammelt.
Hyperbel: Das Licht läuft auseinander, als käme es aus dem zweiten Brennpunkt F′ hinter dem Spiegel (PF′ − PF = 2a). Die Lichtfront ist ein Kreis um F′.
Das Cassegrain-Teleskop kombiniert beides: Ein Parabolspiegel sammelt das Sternenlicht in seinem Brennpunkt. Kurz davor lenkt ein kleiner Hyperbelspiegel – mit demselben Brennpunkt – das Licht durch ein Loch zum zweiten Brennpunkt hinter dem großen Spiegel.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Brennpunkt, Leitlinie und Exzentrizität
GrundgesetzPF = e · PN
0 < e < 1 Ellipse · e = 1 Parabel · e > 1 Hyperbel · e = 0 Kreis
0 < e < 1 Ellipse · e = 1 Parabel · e > 1 Hyperbel · e = 0 Kreis
Scheitel auf der AchseF und Leitlinie haben den Abstand d. Für den Scheitel S zwischen beiden:
FS = e · (d − FS)
FS = e · (d − FS)
Ellipse mit a, b, cc² = a² − b² · e = c : a
Brennpunkte im Abstand c vom Mittelpunkt
Brennpunkte im Abstand c vom Mittelpunkt
Parabel mit Scheitel im UrsprungBrennpunkt F(0 | f), Leitlinie y = −f
y = x² : (4f)
y = x² : (4f)
So arbeitest du: Hier musst du selbst Gleichungen aufstellen und verschiedene Beschreibungen derselben Kurve verbinden. Mach immer zuerst eine Skizze mit F, Leitlinie und Scheiteln.
Werkzeuge für Experten
Ellipse (e < 1)c = e·a · b² = a² − c²
Leitlinie im Abstand a : e vom Mittelpunkt
d = a : e − c
Leitlinie im Abstand a : e vom Mittelpunkt
d = a : e − c
Hyperbel (e > 1)c = e·a · b² = c² − a²
Leitlinie im Abstand a : e vom Mittelpunkt
d = c − a : e
Leitlinie im Abstand a : e vom Mittelpunkt
d = c − a : e
Bahngleichung (Polarform)r = p : (1 + e · cos φ)
φ = 0° im nächsten Punkt (Perihel), p = Abstand bei φ = 90°
φ = 0° im nächsten Punkt (Perihel), p = Abstand bei φ = 90°
SpiegelEllipse: PF + PF′ = 2a
Hyperbel: |PF′ − PF| = 2a
Hyperbel: |PF′ − PF| = 2a
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die beiden roten Strecken führen von einem Punkt der Ellipse zu den beiden Brennpunkten. Was weißt du über ihre Summe?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Für jeden Punkt der Ellipse sind die beiden Brennpunkt-Abstände zusammen so lang wie die ganze Ellipse (26). Der obere Punkt liegt genau in der Mitte – also ist jede rote Strecke halb so lang. Jetzt suche ein rechtwinkliges Dreieck.Hilfe 3 – Lösung
Jede rote Strecke ist 26 : 2 = 13 lang. Vom Mittelpunkt bis zu einem Brennpunkt sind es 24 : 2 = 12.x² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, also x = 5 (Tripel 5-12-13).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die beiden kleinen Striche auf der roten und der blauen Strecke? Wie lang ist dann die blaue Strecke – und wie viel davon liegt oberhalb von F?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die blaue Strecke ist auch x lang. F liegt 4 über der Leitlinie, also liegt P um x − 4 höher als F. Jetzt ist x die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten 8 und x − 4.Hilfe 3 – Lösung
x² = 8² + (x − 4)² = 64 + x² − 8x + 16Das x² fällt weg: 0 = 80 − 8x, also x = 10.
Probe: P liegt 10 über der Leitlinie und 6 über F; 6² + 8² = 100 = 10² ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Ein Punkt und eine Gerade – woran erinnert dich das? Was gilt für den rechten Scheitel, und muss das Gleiche für den linken Scheitel gelten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Für jeden Punkt der Kurve ist das Verhältnis „Abstand zu F : Abstand zur Leitlinie“ gleich. Am rechten Scheitel ist es 2 : 4. Nenne den Abstand vom linken Scheitel bis F einfach y und stelle für den linken Scheitel dasselbe Verhältnis auf.Hilfe 3 – Lösung
Am rechten Scheitel: e = 2 : 4 = 1/2.Linker Scheitel: Abstand zu F ist y, Abstand zur Leitlinie ist y + 2 + 4 = y + 6.
y = ½ · (y + 6) → 2y = y + 6 → y = 6. Also x = 6 + 2 = 8.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.