So arbeitest du: Hinter einem Fenster brennt eine Kerze. Eine Figur auf der Scheibe wirft einen Schatten auf den Boden. Während die Kerze herunterbrennt, verwandelt sich der Schatten – manchmal ganz gewaltig. Du suchst die Gesetze, nach denen das geschieht. Jede Station beginnt mit einer Frage: erst vermuten, dann ausprobieren, dann aufdecken.
Farben: Flamme Z und Lichtstrahlen · Figur im Fenster · Schatten / Bildfigur · Fixstrahlen · Achse z mit Fixpunkten
Station 1Die sinkende Kerze
Auf der Fensterscheibe klebt ein rotes Dreieck. Die Kerze dahinter brennt langsam herunter, und der Schatten auf dem Boden ändert sich. Was passiert mit dem Schatten der Spitze C, wenn die Flamme tiefer sinkt als C?
Höhe der Flamme–sinkt
Schatten C′ vor dem Fenster–ändert sich
Schnittpunkte der Seiten mit z3 Fixpunktebleiben liegen
Wege der SchatteneckenFixstrahlendurch Z′, bleiben fest
Zwei Gesetze der sinkenden Kerze
Z′ ist der Fußpunkt der Flamme, z die untere Kante des Fensters (die Linie, in der Scheibe und Boden sich treffen). Egal wie hoch die Flamme steht:1. Die Schattenecken laufen auf festen Strahlen durch Z′ (Fixstrahlen). Der Schatten von C liegt immer in der senkrechten Ebene durch Flamme und C – und die schneidet den Boden in einer festen Geraden.
2. Die Schattenseiten drehen sich um feste Punkte auf z (Fixpunkte). Wo eine Dreiecksseite, verlängert, die Unterkante z trifft, liegt sie schon auf dem Boden – dieser Punkt ist sein eigener Schatten.
Sinkt die Flamme genau auf die Höhe von C, läuft der Strahl über C parallel zum Boden: C′ ist ein Fernpunkt. Danach trifft die Gerade durch Flamme und C den Boden hinter der Kerze – der Schatten geht durchs Unendliche.
Station 2Das runde Fenster
Jetzt ist das Fenster rund, mit einem Achtstern darin. Die Flamme sinkt wieder. Bleibt der Schatten des Kreises immer eine geschlossene Kurve?
Höhe der Flamme–sinkt
Waagerechte durch die Flamme–im Fenster
Schatten des Kreises–ändert sich
Kreis im FensterMitte 2,2 · Radius 1,4bleibt gleich
Ellipse, Parabel, Hyperbel: drei Schatten eines Kreises
Alle Punkte der Scheibe, die genau so hoch liegen wie die Flamme, werden auf Fernpunkte abgebildet. Es kommt also nur darauf an, wie die Waagerechte durch die Flamme den Kreis trifft:· sie verfehlt den Kreis (Flamme höher als 3,6 oder tiefer als 0,8): kein Kreispunkt geht ins Unendliche – der Schatten ist eine Ellipse;
· sie berührt den Kreis (Flamme genau in 3,6 oder 0,8 Höhe): genau ein Punkt geht ins Unendliche – eine Parabel;
· sie schneidet den Kreis: zwei Punkte gehen ins Unendliche, der Schatten reißt dort auf und kommt hinter der Kerze zurück – eine Hyperbel mit zwei Ästen.
Ellipse, Parabel und Hyperbel sind also Bilder ein und desselben Kreises – eine Familie.
Monge: Die Zeichnung, die geheim bleiben musste überliefert
Gaspard Monge · 1746 – 1818 · Frankreich, Militärschule Mézières ca. 1765
Monge war der Sohn eines Händlers und durfte an der vornehmen Militärschule in Mézières eigentlich nur als Zeichner arbeiten. Man gab ihm eine Aufgabe, die sonst wochenlange Rechnerei kostete: Wie hoch müssen die Mauern einer Festung sein, damit der Feind von keinem Hügel aus hineinschießen kann? Monge löste sie mit einer Zeichnung aus Grundriss und Aufriss – so schnell, dass der Kommandant das Ergebnis zuerst gar nicht ansehen wollte. Als es stimmte, wurde seine Methode zum Militärgeheimnis erklärt. Die Pointe: Erst Jahrzehnte später durfte Monge die „darstellende Geometrie“ öffentlich lehren – und einer seiner Schüler war Poncelet.
Was das mit dir zu tun hat: Jede Station hier ist eine Zeichnung, die eine Rechnung ersetzt: Die zwei Gesetze der Kerze genügen, um jeden Schatten zu konstruieren.
Station 3Ohne Kerze: zwei Gesetze genügen
Jetzt bleibt alles in einer Ebene. Gegeben sind ein Zentrum Z, eine Achse z, ein Viereck ABCD und der Bildpunkt A′ von A. Kannst du die Bilder B′, C′, D′ finden – nur mit dem Lineal?
Schritt 0/6
Zieh den Punkt A′ auf seinem Strahl. Die ganze Konstruktion passt sich an.
Zentrum Z und Achse zfestPunkte auf z bleiben liegen
A′ auf dem Strahl ZA–ZA′ : ZA
Fluchtgerade (geht ins Unendliche)–Abstand von z
Probe: CD und C′D′ treffen sichauf zimmer
Zentrische Kollineation
Eine Abbildung der Ebene mit einem Zentrum Z und einer Achse z heißt zentrische Kollineation, wenn gilt:1. Jeder Punkt P und sein Bild P′ liegen auf einer Geraden durch Z (Fixstrahl).
2. Jede Gerade g und ihre Bildgerade g′ schneiden sich auf z (Fixpunkt). Punkte auf z bleiben, wo sie sind.
Ein einziges Paar A → A′ legt die ganze Abbildung fest – alles andere folgt mit dem Lineal. Geraden werden wieder Geraden („kollinear“ heißt: auf einer Geraden). Längen, Winkel und Teilverhältnisse ändern sich dagegen.
Es gibt immer eine Gerade parallel zu z, deren Punkte ins Unendliche abgebildet werden: die Fluchtgerade. Bei der Kerze war das die Waagerechte durch die Flamme.
Station 4Kreis-Metamorphose
Ein Achtstern im Kreis. Das Zentrum Z liegt in der Kreismitte, die Achse z darunter. Die obere Spitze T wird auf T′ abgebildet, und T′ wandert nach oben – bis ins Unendliche und darüber hinaus. In welche Formen verwandelt sich der Kreis?
Höhe von T′ über z–ändert sich
Fluchtgerade über z–ändert sich
Bild des Kreises–
Fixpunkte des Sterns auf zbleibenalle Bildseiten gehen hindurch
Eine Metamorphose
Alle Bildfiguren gehen stetig auseinander hervor: Es ist eigentlich eine Figur, die sich verwandelt. Entscheidend ist die Fluchtgerade:· Sie trifft den Kreis nicht → Ellipse (am Anfang ist sie unendlich fern: dann bleibt der Kreis ein Kreis).
· T′ im Unendlichen → die Fluchtgerade berührt den Kreis in T → Parabel. Der Stern berührt mit einer Spitze die Ferngerade.
· T′ kommt von unten zurück → die Fluchtgerade schneidet den Kreis → Hyperbel. Der Stern erstreckt sich über die Ferngerade hinweg.
Erreicht T′ schließlich die Achse z, fällt alles auf z zusammen. Die Bildseiten des Sterns drehen sich dabei die ganze Zeit um ihre festen Punkte auf z.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Mach immer eine Skizze von der Seite.
Werkzeuge: Kerze, Fenster, Schatten
Schatten eines FensterpunktsFlamme in Höhe H, e hinter dem Fenster, Fußpunkt bei x = 0. Punkt (x | z) auf der Scheibe:
Schatten (H·x : (H − z) | e·z : (H − z))
(seitlich | vor dem Fenster)
Schatten (H·x : (H − z) | e·z : (H − z))
(seitlich | vor dem Fenster)
Zwei Gesetze1. P und P′ liegen auf einem Fixstrahl durch Z.
2. g und g′ schneiden sich auf der Achse z.
2. g und g′ schneiden sich auf der Achse z.
FluchtgeradeIhre Punkte gehen ins Unendliche. Bei der Kerze: die Waagerechte in Höhe H.
Welcher Kegelschnitt?Fluchtgerade verfehlt / berührt / schneidet den Kreis → Ellipse / Parabel / Hyperbel
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Welche Linien in der Figur sind parallel? Wo entstehen zwei ähnliche Dreiecke mit derselben Spitze?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Lichtstrahl geht von der Flamme über den Punkt bis zum Boden. Er fällt auf der ganzen Strecke gleichmäßig. Wie viel fällt er auf den ersten 3 Einheiten nach rechts – und wie viel Höhe muss er danach noch verlieren?Hilfe 3 – Lösung
Auf den 3 Einheiten bis zur Wand fällt der Strahl von 6 auf 4, also um 2. Bis zum Boden muss er noch 4 fallen, das ist doppelt so viel. Also braucht er doppelt so weit: x = 6.Mit dem Strahlensatz: x : 3 = 4 : (6 − 4).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Hier ist der Schatten gegeben und die Kerze gesucht. Von welchem Punkt aus kannst du rückwärts zur Flamme denken?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Vom Schattenpunkt bis zur Wand sind es 10, dabei steigt der Strahl um 5. Wie viel steigt er dann auf den restlichen 2 bis zur Kerze?Hilfe 3 – Lösung
Auf 10 Einheiten steigt der Strahl um 5, also auf 2 Einheiten um 1. Die Flamme ist 5 + 1 hoch: x = 6.Probe: d = 2 · 5 : (6 − 5) = 10 ✓.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Striche auf dem Stab teilen ihn in zwei gleiche Hälften. Teilt der Schatten der Mitte auch den ganzen Schatten in zwei Hälften?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rechne für jeden der beiden Punkte einzeln: Um wie viel fällt der Strahl von der Flamme bis zur Wand, und wie viel Höhe muss er danach noch verlieren?Hilfe 3 – Lösung
Strahl zur Mitte: Auf den 6 bis zur Wand fällt er von 6 auf 2, also um 4. Danach fehlen noch 2, das ist die Hälfte von 4. Also x = 3.(Zum Vergleich: Der Schatten der Spitze liegt bei 6 · 4 : 2 = 12.) Die Mitte des Stabs landet also gar nicht in der Mitte des Schattens – beim Projizieren bleiben Teilverhältnisse nicht erhalten.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.