So arbeitest du: In der Ebene kennst du Dreiecke, Winkelsummen und den Kosinussatz. Hier geht es auf eine Kugel – die Erde. Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: Den Globus kannst du mit Maus oder Finger drehen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Großkreis (kürzester Weg) · Breitenkreis · Meridian (Längenkreis) · Winkel · Erdradius R = 6371 km (Mittelwert)
Station 1Großkreis gegen Breitenkreis
Rom und Chicago liegen fast genau auf derselben Breite: 41,9° Nord. Zwei gleich schnelle Flugzeuge starten zugleich in Rom. Das eine fliegt stur nach Westen, immer den Breitenkreis entlang. Das andere nimmt auf der Kugel den kürzesten Weg. Welches ist zuerst in Chicago?
Links: Globus (ziehen dreht ihn). Rechts: dieselben Wege auf der Mercator-Karte.
Kurs des Großkreis-Fliegers–ändert sich unterwegs
Kurs des West-Fliegers270° (W)bleibt gleich
Großkreis g–kürzester Weg
Breitenkreis b–
Der kürzeste Weg liegt auf einem Großkreis
Ein Großkreis hat seinen Mittelpunkt im Kugelmittelpunkt: der Äquator und alle Meridiane. Jeder andere Breitenkreis ist ein Kleinkreis mit dem Radius r = R · cos φ. Der kürzeste Weg zwischen zwei Orten ist immer ein Stück eines Großkreises.b = R · cos φ · Δλ · π/180° (Bogen auf dem Breitenkreis)
cos g° = sin²φ + cos²φ · cos Δλ, g = R · g° · π/180°
Der Großkreis biegt zum Pol hin aus. Sein Kurs dreht sich dabei ständig: Rom–Chicago beginnt nordwestlich und endet südwestlich. Auf der Mercator-Karte sieht der kürzeste Weg deshalb krumm aus – die gerade Linie der Karte (fester Kurs) ist der längere Weg.
Station 2Lindbergh: New York – Paris
Im Mai 1927 flog Charles Lindbergh allein und ohne Pause von New York nach Paris. Er war 33,5 Stunden in der Luft. Wie lang war die Strecke – und wie schnell war er im Mittel? Schätze zuerst!
Schritt 0/4
Polabstand New York b–90° − Breite
Polabstand Paris c–90° − Breite
Winkel am Pol γ–Längenunterschied
Strecke d–als Winkel und in km
Der Seitenkosinussatz
Auf der Kugel misst man Seiten als Mittelpunktswinkel. Für ein Kugeldreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel γ zwischen a und b gilt:cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ
Mit dem Nordpol als dritter Ecke sind die Seiten die Polabstände 90° − φ₁ und 90° − φ₂, der Winkel am Pol ist der Längenunterschied Δλ. Weil cos(90° − φ) = sin φ ist, wird daraus:
cos d = sin φ₁ · sin φ₂ + cos φ₁ · cos φ₂ · cos Δλ
Bei sehr kleinen Dreiecken ist cos x ≈ 1 − x²/2 und sin x ≈ x (Bogenmaß) – dann wird daraus der ebene Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ.
Lindbergh: 33,5 Stunden allein über dem Atlantik belegt
Charles Lindbergh · Flug am 20./21. Mai 1927 · New York – Paris
Für den ersten Nonstop-Flug von New York nach Paris war ein Preis von 25.000 Dollar ausgesetzt. Lindbergh, ein 25-jähriger Postflieger, wagte es allein, ohne Funkgerät und mit so viel Benzin, dass er nicht nach vorn hinaussehen konnte – dafür hatte er ein Periskop. Vorher hatte er den Großkreis auf seine Karten übertragen und in Abschnitte von etwa 100 Meilen zerlegt: Für jeden Abschnitt galt ein anderer Kompasskurs. Die Pointe: Als nach einer Nacht über dem Meer die Küste Irlands auftauchte, lag er nur wenige Kilometer neben seiner geplanten Route.
Was das mit dir zu tun hat: In Station 1 hast du gesehen, warum er den Kurs immer wieder ändern musste – und in Station 2 rechnest du seine Strecke selbst nach.
Station 3Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln
In der Ebene hat jedes Dreieck die Winkelsumme 180°. Kann ein Dreieck auf der Kugel drei rechte Winkel haben?
Zieh an den drei Ecken. Zieh daneben, um den Globus zu drehen.
Winkel α, β, γ–ändern sich
Winkelsumme–ändert sich
Fläche (ausgemessen)–Anteil an der ganzen Kugel
Überschuss ε : Flächenanteil–bleibt gleich!
Der Winkelüberschuss misst die Fläche
Auf der Kugel ist die Winkelsumme immer größer als 180° (und kleiner als 540°). Den Rest nennt man Winkelüberschuss: ε = α + β + γ − 180°Er wächst genau mit der Fläche: A = ε/720° · 4πR² (Satz von Girard)
Nordpol und zwei Punkte auf dem Äquator, 90° auseinander: drei rechte Winkel, ε = 90°, also 90/720 = 1/8 der Kugel – genau ein Achtel, wie es die Figur auch zeigt. Ganz kleine Dreiecke sind fast eben: ε ≈ 0°, Winkelsumme ≈ 180°.
Station 4Die Mercator-Lupe: Grönland gegen Afrika
Auf vielen Weltkarten wirkt Grönland fast so groß wie Afrika. Wie oft passt Grönland wirklich in Afrika?
Zieh den Kreis auf der Karte nach Norden oder Süden. Auf dem Globus bleibt er gleich groß.
Kreis auf dem GlobusRadius 7° ≈ 778 kmbleibt gleich
Breite des Kreises–ändert sich
Längen auf der Karte–gestreckt
Flächen auf der Karte–vergrößert
Streckung 1 : cos φ
Auf der Mercator-Karte (1569) ist jeder Breitenkreis so lang gezeichnet wie der Äquator. In Breite φ ist der echte Kreis aber nur R · cos φ groß – also werden Ost-West-Längen mit 1 : cos φ gestreckt. Damit die Karte winkeltreu bleibt (Kompasskurse stimmen), streckt Mercator auch Nord-Süd mit demselben Faktor. Flächen wachsen darum mit 1 : cos²φ.Bei 60°: Längen ×2, Flächen ×4. Bei 72° (Grönland): Längen ×3,2, Flächen ×10,5. Wirklich ist Afrika (30,4 Mio km²) etwa 14-mal so groß wie Grönland (2,2 Mio km²).
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Rechne mit R = 6371 km.
Werkzeuge für die Kugel
BogenlängeMittelpunktswinkel x° → Bogen = R · x° · π/180°
1° auf einem Großkreis ≈ 111,2 km
1° auf einem Großkreis ≈ 111,2 km
BreitenkreisRadius r = R · cos φ
b = R · cos φ · Δλ · π/180°
b = R · cos φ · Δλ · π/180°
Seitenkosinussatzcos d = sin φ₁ · sin φ₂ + cos φ₁ · cos φ₂ · cos Δλ
(Breite südlich negativ; Δλ > 180° → 360° − Δλ)
(Breite südlich negativ; Δλ > 180° → 360° − Δλ)
Winkelüberschussε = α + β + γ − 180°
A = ε/720° · 4πR² (Erdoberfläche ≈ 510 Mio km²)
A = ε/720° · 4πR² (Erdoberfläche ≈ 510 Mio km²)
Zeit und Länge360° in 24 h → 15° pro Stunde, 1° in 4 min
MercatorLängen × 1 : cos φ · Flächen × 1 : cos²φ
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Wo ist ein rechter Winkel – und welche Winkel hat das Dreieck aus der Mitte, dem roten Punkt und der Achse?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das Dreieck hat die Winkel 90°, 30° (an der Mitte, gegen die Achse gemessen) und 60°. Es ist ein halbes gleichseitiges Dreieck. Welche Seite ist dann halb so lang wie die 10?Hilfe 3 – Lösung
x liegt gegenüber dem 30°-Winkel an der Mitte. Im halben gleichseitigen Dreieck ist das die Hälfte der längsten Seite: x = 10 : 2 = 5.Mit Formel: x = 10 · cos 60° = 5. So groß ist der Breitenkreis in 60° Breite: halb so groß wie der Äquator.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Das Dreieck liegt auf einer Kugel mit der Oberfläche O = 720. Was fällt dir an den drei Winkeln auf, wenn du sie addierst? Wäre das in der Ebene möglich?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Winkelsumme ist größer als 180°. Der Überschuss ε bestimmt, welcher Anteil der Kugel bedeckt ist: Anteil = ε : 720°.Hilfe 3 – Lösung
70° + 80° + 100° = 250°, also ε = 250° − 180° = 70°.Anteil = 70 : 720, Fläche = 70/720 · 720 = x = 70.
Bei einer Kugel mit der Oberfläche 720 ist die Fläche also einfach gleich dem Überschuss in Grad.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
b : g = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die beiden Punkte liegen auf demselben Breitenkreis, genau gegenüber. Welcher Teil eines Kreises ist der Weg b? Und welcher Kreis trägt den Weg g – wo liegt sein Mittelpunkt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
b ist ein halber Breitenkreis mit Radius R · cos 60° = R/2. g ist ein Bogen auf einem Großkreis (Radius R) über den Pol: Jeder Punkt ist 30° vom Pol entfernt. Welcher Mittelpunktswinkel gehört zu g?Hilfe 3 – Lösung
b = π · R/2 (halber Kreis mit Radius R/2).g gehört zum Mittelpunktswinkel 30° + 30° = 60°, also g = 60/360 · 2πR = π · R/3.
b : g = (π R/2) : (π R/3) = 3/2 = 1,5. Der Weg über den Pol ist um ein Drittel kürzer – obwohl er auf der Karte wie ein Umweg aussieht.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.