So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst auf eine Vermutung fest. Dann probierst du aus: schieben, abspielen, drehen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Kegel und Pyramide kennst du schon (Warum ein Drittel?) – hier kommt der Körper, der überall gleich rund ist.
Farben: Radius r · Höhe h bzw. z · Schnittradius · Flächen und Volumen · Wasser hellblau
Station 1Umschütten: 1 : 2 : 3
Kegel, Halbkugel-Schale und Zylinder haben denselben Radius r, und alle sind genau r hoch. Kegel und Halbkugel sind voll Wasser. Du schüttest beide in den leeren Zylinder. Wie voll wird er?
Schritt 0/2
Kegel ⅓·π·r²·h mit h = r–bleibt ein Drittel
Halbkugel?erst umschütten
Zylinder π·r²·h mit h = r–3 Drittel
Füllstand im Zylinder–ändert sich
Kegel : Halbkugel : Zylinder = 1 : 2 : 3
Bei gleichem Radius r und der Höhe h = r gilt: Kegel und Halbkugel zusammen füllen genau den Zylinder. Der Kegel ist ein Drittel davon, also bleiben für die Halbkugel zwei Drittel:VHalbkugel = ⅔ · π · r³ ⇒ VKugel = ⁴⁄₃ · π · r³
Ehrlich gesagt: Umschütten ist Messen, noch kein Beweis. Warum es genau zwei Drittel sind, siehst du in Station 2 (Schranken) und Station 3 (Beweis).
Station 2Die Kugel aus Scheiben
Eine Halbkugel wird aus flachen Zylinderscheiben gestapelt – einmal ganz innen, einmal so, dass sie außen überstehen. Kann man so das Volumen einfangen, obwohl keine Scheibe genau passt?
innen (Untersumme)–wächst mit n
außen (Obersumme)–schrumpft mit n
Lücke außen − innen–genau eine Bodenscheibe
Halbkugel0,6667 · π·r³liegt immer dazwischen
Eingefangen zwischen zwei Schranken
Die Scheibe in Höhe z hat den Radius √(r² − z²) – das ist Pythagoras. Die inneren Scheiben sind zusammen kleiner, die äußeren größer als die Halbkugel. Der Unterschied ist genau eine Bodenscheibe: π·r² · (r : n) = π·r³ : n. Er schrumpft mit wachsendem n gegen 0.Beide Summen drängen sich an einen Wert heran: ⅔ · π · r³ – dieselbe Zahl wie beim Umschütten.
Station 3Halbkugel gegen „Zylinder ohne Kegel“
Links eine Halbkugel. Rechts ein gleich hoher Zylinder, aus dem ein Kegel herausgebohrt ist. Wir schneiden beide in derselben Höhe z waagerecht durch. Welche Schnittfläche ist größer – der Kreis oder der Ring?
Schritt 0/3
Schnitthöhe z–ändert sich
Kreis links π·(r² − z²)–ändert sich
Ring rechts π·r² − π·z²–ändert sich
Unterschied0in jeder Höhe
Gleiche Schnitte in jeder Höhe ⇒ gleiches Volumen
Links: Der Schnittkreis hat nach Pythagoras den Radius² r² − z², also die Fläche π·(r² − z²).Rechts: Der Kegel ist so hoch wie breit, sein Radius in Höhe z ist z. Der Ring hat die Fläche π·r² − π·z².
Beide Flächen sind in jeder Höhe gleich. Nach dem Prinzip von Cavalieri (Stapel aus gleichen Scheiben) haben beide Körper dasselbe Volumen:
VHalbkugel=VZylinder − VKegel=π·r²·r − ⅓·π·r²·r=⅔·π·r³| · 2VKugel=⁴⁄₃·π·r³
Zu Chongzhi und Zu Geng: Vater und Sohn knacken die Kugel belegt
China · Zu Chongzhi ca. 429–500 n. Chr. · sein Sohn Zu Geng wirkte um 500–525
Zu Chongzhi war Astronom am Kaiserhof. Er schloss π zwischen 3,1415926 und 3,1415927 ein und empfahl den Bruch 355/113 – erst rund tausend Jahre später rechnete jemand genauer. Am Kugelvolumen war schon gut zweihundert Jahre vorher der Gelehrte Liu Hui gescheitert und hatte die Aufgabe offen weitergereicht. Sein Sohn Zu Geng löste sie mit einem Satz, den er so formulierte: Sind die Schnittflächen in jeder Höhe gleich, dann können die Rauminhalte nicht verschieden sein. In Europa trägt diese Idee den Namen Cavalieri – der schrieb sie aber erst um 1635 auf, gut 1100 Jahre später. Zu Gengs Rechnung ist über einen Kommentar aus dem 7. Jahrhundert erhalten, sein eigenes Buch ist verloren.
Was das mit dir zu tun hat: In Station 3 hast du genau Zu Gengs Satz benutzt – Schnitt für Schnitt vergleichen statt ausrechnen.
Station 4Die Kugel aus Pyramiden: Oberfläche = 4 Kreise
Wie viel Papier brauchst du, um eine Kugel einzupacken? Wie viele Kreisflächen π·r² sind das?
Zieh mit dem Finger oder der Maus über die Kugel, um sie zu drehen. Die hervorgehobene Pyramide zeigt ihre Höhe h und ihre Grundfläche G.
Anzahl der Pyramiden–ändert sich
Summe der Grundflächen–nähert sich 4·π·r² ≈ 12,566·r²
Höhen der Pyramiden–nähern sich r
Summe ⅓·G·h–nähert sich ⁴⁄₃·π·r³ ≈ 4,189·r³
V = ⅓ · O · r ⇒ O = 4 · π · r²
Alle Pyramiden haben ihre Spitze im Mittelpunkt. Werden sie sehr fein, ist jede so hoch wie der Radius, und ihre Grundflächen bedecken die Oberfläche O:V=⅓·G₁·r + ⅓·G₂·r + …V=⅓·r·(G₁ + G₂ + …) = ⅓·r·O⁴⁄₃·π·r³=⅓·r·O| · 3 | : rO=4·π·r²
Station 5Die Kugel im Zylinder
Ein Zylinder umschließt die Kugel genau. Wir legen ein Band um die Kugel und strahlen es waagerecht auf den Zylinder. Ein Band am Äquator und ein gleich hohes Band nahe am Pol – welches hat auf der Kugel mehr Fläche?
Band auf der Kugel (nachgemessen)–hängt nur von h ab
Band auf dem Zylinder 2·π·r·h–gleich groß
Lage des Bandes–ändert sich
Gleiche Höhe – gleiches Band – und 2 : 3
Nahe am Pol ist das Band auf der Kugel schmaler im Umfang, dafür aber schräger und breiter. Beides gleicht sich genau aus: Jedes Kugelband hat dieselbe Fläche wie das Zylinderband gleicher Höhe, A = 2 · π · r · h. Für die ganze Kugel (h = 2r) ergibt das wieder 4·π·r².Vergleiche Kugel und Zylinder (Höhe 2r):
Volumen: ⁴⁄₃·π·r³ : 2·π·r³ = 2 : 3 Oberfläche mit Deckeln: 4·π·r² : 6·π·r² = 2 : 3
Dieses doppelte 2 : 3 hat Archimedes gefunden. Er war darauf so stolz, dass er sich Kugel und Zylinder auf seinen Grabstein wünschte.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Zum Runden: „ohne TR“ heißt: Ergebnis in Vielfachen von π angeben (z. B. 36·π cm³). Mit TR rechnest du mit der π-Taste; rechnest du mit π ≈ 3,14, weicht die letzte Stelle etwas ab – Abweichungen bis 0,1 % zählen als richtig.
Zum Runden: „ohne TR“ heißt: Ergebnis in Vielfachen von π angeben (z. B. 36·π cm³). Mit TR rechnest du mit der π-Taste; rechnest du mit π ≈ 3,14, weicht die letzte Stelle etwas ab – Abweichungen bis 0,1 % zählen als richtig.
Die Kugel – zwei Formeln
VolumenV = ⁴⁄₃ · π · r³
Halbkugel: ⅔ · π · r³
Halbkugel: ⅔ · π · r³
OberflächeO = 4 · π · r² (vier Kreise)
Halbkugel-Wölbung: 2 · π · r²
Halbkugel-Wölbung: 2 · π · r²
Durchmesserd = 2 · r → erst halbieren!
O = π · d²
O = π · d²
1 : 2 : 3Kegel : Halbkugel : Zylinder
(gleiches r, Höhe h = r)
(gleiches r, Höhe h = r)
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Hier musst du Formeln auch rückwärts benutzen und Körper zusammensetzen. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Rückwärts und zusammengesetzt
r aus Vr³ = 3·V : (4·π) | ∛
Kubikzahlen: 27, 216, 729, 1728
Kubikzahlen: 27, 216, 729, 1728
r aus Or² = O : (4·π) | √
Streckfaktor kLänge · k → Fläche · k² → Volumen · k³
ZusammengesetztVolumen: Teile addieren. Oberfläche: nur die Außenhaut zählen!
So arbeitest du: Hier steckt die Idee oft nicht in der Formel, sondern in einem Blick auf den Körper. Mach zuerst eine Skizze und überlege, was gleich bleibt.
Werkzeuge für Experten
CavalieriGleiche Schnittflächen in jeder Höhe ⇒ gleiches Volumen
KugelbandA = 2·π·r·h (h = Höhe des Bandes)
Hohlkugel / KuppelV = ⁴⁄₃·π·(R³ − r³) bzw. ⅔·π·(R³ − r³)
Oberfläche : VolumenO : V = 3 : r – kleine Kugeln haben viel Haut
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Kugel berührt den Zylinder oben, unten und rundherum. Was heißt das für den Radius und die Höhe des Zylinders?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Zylinder hat den Radius r und die Höhe 2r, also V = π·r²·2r = 2·π·r³. Die Kugel hat ⁴⁄₃·π·r³. Wie viele Drittel von 2 sind ⁴⁄₃?Hilfe 3 – Lösung
Kugel : Zylinder = ⁴⁄₃·π·r³ : 2·π·r³ = 2 : 3.x = 30 · ⅔ = 20.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Was könnte das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Körpern bedeuten? Und was haben sie sonst noch gemeinsam?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Körper fassen gleich viel. Ein Kegel mit der Höhe r ist halb so groß wie die Halbkugel (1 : 2 aus Station 1). Wie hoch muss er werden, damit er gleich viel fasst?Hilfe 3 – Lösung
⅔·π·7³ = ⅓·π·7²·x | : (⅓·π·7²)2 · 7 = x, also x = 14.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Nur die Höhe des Rings ist angegeben – der Radius der Kugel fehlt. Darf er dann überhaupt eine Rolle spielen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Wenn das Ergebnis nicht vom Kugelradius abhängt, darfst du den einfachsten Fall nehmen: ein Loch, so dünn wie eine Nadel. Welcher Körper bleibt dann übrig, wenn er 6 hoch ist?Hilfe 3 – Lösung
Bei einem nadeldünnen Loch bleibt eine Kugel mit Durchmesser 6, also Radius 3: V = ⁴⁄₃·π·3³ = 36·π, also x = 36.Dass es für jeden Ring gilt, zeigt Cavalieri: In der Höhe z (von der Mitte) hat der Ring die Fläche π·(R² − z²) − π·a² = π·(3² − z²), weil R² − a² = 3² (Pythagoras an der Lochkante). Das ist genau der Schnitt einer Kugel mit Radius 3.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.