So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: drehen, umbauen, falten. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Ecken E · Kanten K · Flächen F · gestrichelt: Kanten auf der Rückseite. Ein Körper mit lauter ebenen Flächen heißt Polyeder (griechisch: „Vielflach“).
Station 1Das Polyeder-Labor
Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Jetzt schneidest du eine Ecke ab. Was passiert mit den drei Zahlen?
Körper:
Zieh waagerecht in der Grafik, um den Körper zu drehen. Abgeschnitten wird die Ecke, die dir am nächsten ist; die Pyramide kommt auf die Fläche, die zu dir zeigt.
Ecken E–ändern sich
Kanten K–ändern sich
Flächen F–ändern sich
E − K + F?erst Tabelle ansehen
Eulersche Polyederformel
Bei jedem Polyeder ohne Loch gilt: E − K + F = 2Darum ändert ein Umbau nichts an der Bilanz:
Ecke abschneiden (dort treffen sich q Kanten): eine Ecke fällt weg, q neue kommen dazu, dazu q neue Kanten und eine neue Fläche: (q − 1) − q + 1 = 0.
Pyramide auf ein p-Eck setzen: eine neue Ecke (die Spitze), p neue Kanten, aus einer Fläche werden p Flächen: 1 − p + (p − 1) = 0.
Der Bilderrahmen hat ein Loch: 16 − 32 + 16 = 0. Die Formel gilt also nur für Körper ohne Loch. Jedes Loch zieht 2 ab.
Leonhard Euler: ein Brief über Ecken, Kanten und Flächen belegt
Leonhard Euler · ca. 1707 – 1783 · Basel, St. Petersburg, Berlin · Brief an Christian Goldbach, November 1750
Im November 1750 schrieb Euler aus Berlin an seinen Freund Christian Goldbach. In dem Brief stand eine Beobachtung, die seit den alten Griechen niemand aufgeschrieben hatte: Bei jedem Körper mit ebenen Flächen sind Ecken und Flächen zusammen genau um 2 mehr als die Kanten. Die Pointe: Um das überhaupt sagen zu können, brauchte Euler erst ein eigenes Wort für „Kante“ – zweitausend Jahre lang hatte niemand die Kanten eines Körpers als eigene Sache gezählt. Beweisen konnte er die Regel im Brief noch nicht; sein Beweis ein Jahr später hatte eine Lücke. Lückenlos bewiesen hat sie erst Adrien-Marie Legendre im Jahr 1794.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du an einem Körper Ecken, Kanten und Flächen zählst, hast du mit E − K + F = 2 eine eingebaute Probe: Kommt etwas anderes heraus, hast du dich verzählt – oder der Körper hat ein Loch.
Station 2Warum es nur fünf platonische Körper gibt
Ein Würfel besteht nur aus gleichen Quadraten, und an jeder Ecke stoßen gleich viele zusammen. Solche ganz regelmäßigen Körper heißen platonische Körper. Wie viele verschiedene gibt es?
Fläche:
An einer Ecke:
eine Ecke – flach ausgelegt oder gefaltet
der ganze Körper (zum Drehen ziehen)
Innenwinkel–pro Fläche
Winkelsumme an der Ecke–ändert sich
Lücke bis 360°–
Körper–
Weniger als 360° an jeder Ecke
An einer Körperecke treffen sich mindestens 3 Flächen. Damit sich die Ecke aufwölben kann, muss beim flachen Auslegen eine Lücke bleiben: Die Winkel zusammen müssen kleiner als 360° sein.Dreiecke (60°): 3, 4 oder 5 an einer Ecke → Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder. Bei 6 · 60° = 360° bleibt alles flach.
Quadrate (90°): nur 3 → Würfel. Fünfecke (108°): nur 3 → Dodekaeder.
Sechsecke (120°): schon 3 · 120° = 360° – flach. Größere Vielecke haben noch größere Winkel.
Also gibt es genau fünf platonische Körper.
| Körper | Flächen | E | K | F |
|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | 4 Dreiecke | 4 | 6 | 4 |
| Würfel | 6 Quadrate | 8 | 12 | 6 |
| Oktaeder | 8 Dreiecke | 6 | 12 | 8 |
| Dodekaeder | 12 Fünfecke | 20 | 30 | 12 |
| Ikosaeder | 20 Dreiecke | 12 | 30 | 20 |
Station 3Netze falten
Sechs Quadrate, die an den Kanten zusammenhängen, kannst du auf viele Arten legen. Nicht jede Figur lässt sich zu einem Würfel falten. Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?
Bauplatte: Tipp Felder an oder ab
Faltwerkstatt (zum Drehen ziehen)
Quadrate–genau 6 nötig
Ergebnis–noch nicht gefaltet
gefunden0 von 11verschiedene Würfelnetze
Genau 11 Würfelnetze
Gedrehte oder gespiegelte Netze zählen nicht extra. Dann gibt es genau diese 11: Kein Würfelnetz ist eine Figur mit vier Quadraten um eine Ecke (ein 2 × 2-Block), mit fünf Quadraten in einer Reihe oder mit zwei Klappen auf derselben Seite einer Viererreihe – dann landen zwei Flächen aufeinander, und eine Seite bleibt offen.Gegenüber: Liegen drei Quadrate in einer geraden Reihe, dann werden das erste und das dritte zu Gegenflächen.
Station 4Dualität: Ecken und Flächen tauschen
Setz in die Mitte jeder Würfelfläche einen Punkt und verbinde die Punkte benachbarter Flächen. Wie viele Ecken hat der neue Körper?
Schritt 0/4
Ecken E–alt → neu
Kanten K–alt → neu
Flächen F–alt → neu
Duale Körper
Aus jeder Fläche wird eine Ecke, aus jeder Ecke eine Fläche, und jede Kante bekommt eine neue Kante quer darüber. Also:Eneu = Falt · Fneu = Ealt · Kneu = Kalt
Würfel und Oktaeder gehören zusammen, ebenso Dodekaeder und Ikosaeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Weil nur E und F die Plätze tauschen, stimmt E − K + F = 2 beim neuen Körper automatisch.
Im letzten Schritt wächst der neue Körper, bis sich die Kanten beider Körper in ihren Mitten kreuzen – eine schöne Durchdringung, die du auch aus Papier bauen kannst.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Ecken, Kanten, Flächen
Eulersche PolyederformelE − K + F = 2
für jeden Körper mit ebenen Flächen ohne Loch
für jeden Körper mit ebenen Flächen ohne Loch
Prisma mit n-EckE = 2 · n K = 3 · n F = n + 2
Pyramide mit n-EckE = n + 1 K = 2 · n F = n + 1
WürfelnetzeEs gibt genau 11. In einer geraden Reihe von drei Quadraten liegen das erste und das dritte einander gegenüber.
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Zählen mit System
Kanten doppelt gezähltJede Kante gehört zu 2 Flächen:
K = (Summe aller Flächen-Ecken) : 2
K = (Summe aller Flächen-Ecken) : 2
Ecken mehrfach gezähltTreffen sich an jeder Ecke q Flächen:
E = (Summe aller Flächen-Ecken) : q
E = (Summe aller Flächen-Ecken) : q
Innenwinkel im regelmäßigen n-Eck(n − 2) · 180° : n
Eine Körperecke braucht zusammen weniger als 360°.
Eine Körperecke braucht zusammen weniger als 360°.
UmbauenEcke mit q Kanten abschneiden: E + (q − 1), K + q, F + 1
Pyramide auf ein p-Eck: E + 1, K + p, F + (p − 1)
Pyramide auf ein p-Eck: E + 1, K + p, F + (p − 1)
So arbeitest du: Hier musst du selbst einen Weg finden. Mach eine Skizze, zähle mit System und prüfe dein Ergebnis mit der Eulerschen Formel.
Werkzeuge für Experten
Aus den Flächen zählenF = Anzahl aller Flächen
K = (Summe der Flächen-Ecken) : 2
E = (Summe der Flächen-Ecken) : q
K = (Summe der Flächen-Ecken) : 2
E = (Summe der Flächen-Ecken) : q
AuffaltenEin Weg auf der Oberfläche wird im Netz zur geraden Strecke. Alle sinnvollen Netze prüfen!
Oktaeder (Kante a)
V = √2 : 3 · a³ O = 2 · √3 · a²
V = √2 : 3 · a³ O = 2 · √3 · a²
Dual und mit LochDual: E und F tauschen, K bleibt.
Körper mit g Löchern: E − K + F = 2 − 2 · g
Körper mit g Löchern: E − K + F = 2 − 2 · g
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
°
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die kleinen Striche zeigen: Alle Seiten sind gleich lang – es sind regelmäßige Vielecke. Wie viel Grad liegen rund um einen Punkt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rund um den Punkt sind es 360°. Ein regelmäßiges n-Eck hat den Innenwinkel (n − 2) · 180° : n. Rechne ihn für das Sechseck und das Fünfeck aus.Hilfe 3 – Lösung
Sechseck: 4 · 180° : 6 = 120°. Fünfeck: 3 · 180° : 5 = 108°.x = 360° − 120° − 120° − 108° = 12°.
Genau diese kleine Lücke lässt sich beim Fußball zu einer Ecke zusammenfalten.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur? Der rote Weg x läuft mit einem Knick über zwei Flächen des Quaders. Kannst du den Knick „wegklappen“?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Klapp die rechte Seitenfläche nach vorn, bis sie neben der Vorderfläche liegt. Dann ist der Weg eine gerade Strecke in einem Rechteck mit den Seiten 4 + 4 und 6.Hilfe 3 – Lösung
x² = (4 + 4)² + 6² = 64 + 36 = 100, also x = 10.Der Knick liegt genau auf halber Höhe. Über Vorder- und Deckfläche wäre der Weg länger: √(4² + (6 + 4)²) = √116 ≈ 10,8.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Es gibt nur Fünfecke und Sechsecke, und an jeder Ecke stoßen genau drei Flächen zusammen. Jede Kante gehört zu zwei Flächen.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Drück E, K und F mit x aus: F = 30 + x, K = (6 · 30 + 5 · x) : 2, E = (6 · 30 + 5 · x) : 3. Setz alles in E − K + F = 2 ein.Hilfe 3 – Lösung
Mal 6 genommen: 2 · (180 + 5x) − 3 · (180 + 5x) + 6 · (30 + x) = 12−180 − 5x + 180 + 6x = 12, also x = 12.
Die Pointe: Die 30 Sechsecke spielen gar keine Rolle. Jeder solche Ball hat genau 12 Fünfecke – auch der Fußball mit seinen 20 Sechsecken.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.