So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: größeres Stück · kleineres Stück · das Ganze / gesucht · Folgenglieder · Flächen
Station 1Die Sonnenblume
Eine Sonnenblume setzt Kern für Kern in die Mitte und schiebt die alten nach außen. Jeder neue Kern ist um denselben Winkel weitergedreht. Welcher Drehwinkel füllt die Scheibe am gleichmäßigsten – ohne Lücken?
Drehwinkel–
kleinster Abstand zweier Kerne–größer = gleichmäßiger
Anzahl Kerne–bleibt gleich
Der goldene Winkel
Ist der Drehwinkel ein einfacher Bruchteil des Vollkreises – etwa 144° = 2/5 von 360° –, landen die Kerne nach wenigen Drehungen wieder in derselben Richtung: Es entstehen gerade Strahlen mit Lücken dazwischen.Beim goldenen Winkel 360° : φ² ≈ 137,5° passiert das nie, denn φ = 1,618… ist eine Zahl, die sich besonders schlecht durch Brüche annähern lässt. Jeder neue Kern findet eine Lücke.
Zählst du die Spiralen, erhältst du Nachbarn der Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … Bei echten Sonnenblumen findet man meist 34 und 55 oder 55 und 89 Spiralen.
Station 2Der Quotient beruhigt sich
Jedes neue Glied ist die Summe der beiden davor: 1, 1, 2, 3, 5, 8 … Teile immer ein Glied durch das vorige. Was passiert mit diesen Quotienten – und spielt es eine Rolle, mit welchen zwei Zahlen du anfängst?
Glied 2
die letzten zwei Glieder–wachsen
Quotient (neues : altes Glied)–
Form des Rechtecks–lange : kurze Seite
Die Goldene Zahl φ
Die Quotienten springen abwechselnd über und unter einen Wert und kommen ihm immer näher:φ = (1 + √5) : 2 = 1,6180339…
Das klappt mit beliebigen positiven Startzahlen. Warum? Wenn sich der Quotient q nicht mehr ändert, gilt für drei Glieder a, b, a + b: b : a = (a + b) : b = q. Daraus folgt q = 1 + 1 : q, also q² = q + 1. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist φ.
Auch das Rechteck aus den Quadraten nimmt immer mehr dieselbe Form an: das goldene Rechteck.
Station 3Teilen, aber wie?
Teile die Strecke AB mit dem Punkt T in ein größeres und ein kleineres Stück. Wo muss T liegen, damit sich das Ganze zum größeren Stück so verhält wie das größere zum kleineren?
Zieh den Punkt T. Oder lass die Konstruktion mit Zirkel und Lineal ablaufen.
Schritt 0/4
ganze Strecke AB10 cmbleibt gleich
AB : AT (Ganzes : größeres)–ändert sich
AT : TB (größeres : kleineres)–ändert sich
Vergleich–
Die stetige Teilung – der Goldene Schnitt
Nenne AB = 1 und das größere Stück AT = x. Dann ist TB = 1 − x und die Bedingung lautet:1 : x = x : (1 − x) ⇒ x² = 1 − x ⇒ x² + x − 1 = 0
Die positive Lösung ist x = (√5 − 1) : 2 ≈ 0,618. Bei 10 cm liegt T also bei ≈ 6,18 cm, und beide Verhältnisse sind φ ≈ 1,618. Beachte: 1 : 0,618 ≈ 1,618 – die beiden Zahlen unterscheiden sich genau um 1.
Die Konstruktion stammt aus Euklids „Elementen“ (um 300 v. Chr.). Er nannte die Teilung „nach stetigem Verhältnis“, weil man das Verfahren immer weiter fortsetzen kann: Trägt man das kleinere Stück auf dem größeren ab, wird dieses wieder golden geteilt.
Station 4Der Stern im Fünfeck
Zeichne in ein regelmäßiges Fünfeck alle Diagonalen. Es entsteht ein Stern. Wie oft steckt der Goldene Schnitt in dieser Figur – einmal, ein paar Mal oder unendlich oft?
Schritt 0/6
Diagonale : Seite–bleibt gleich
langes : kurzes Stück der Diagonale–bleibt gleich
Größe des innersten Sterns–schrumpft
Das Pentagramm ist voller φ
Im regelmäßigen Fünfeck mit der Seite a ist jede Diagonale d = φ · a. Die Schnittpunkte teilen jede Diagonale golden: Das längere Stück ist genau so lang wie die Fünfeckseite a, das kürzere ist a : φ.Innen entsteht wieder ein regelmäßiges Fünfeck – φ² ≈ 2,618-mal kleiner. Darin kannst du wieder einen Stern zeichnen, und so weiter ohne Ende. Darum steckt der Goldene Schnitt unendlich oft in der Figur.
Die Spitzen des Sterns haben 36°, die Fünfeckwinkel 108°. Das spitze Dreieck mit 36°, 72°, 72° heißt goldenes Dreieck.
Station 5Fahnder: Ist das wirklich golden?
Sechs Rechtecke, gleich hoch. Eins davon ist genau golden (lange : kurze Seite = 1,618…). Welches? Tipp es an – ohne zu messen.
Tipp das Rechteck an, das du für golden hältst.
deine Wahl–noch nicht getippt
„golden“ unter 40 Zufallsrechtecken–erst werfen
Nicht alles, was golden aussieht, ist golden
Mit bloßem Auge kann niemand 1,6 von 1,618 unterscheiden – eine Bankkarte (85,6 mm × 54 mm, Verhältnis ≈ 1,59) sieht genauso „golden“ aus. Entscheiden kann nur das Nachmessen. Und je großzügiger die Toleranz, desto öfter „findet“ man φ – auch in reinem Zufall.Darum gilt bei Behauptungen über den Goldenen Schnitt: Wer hat nachgemessen – welche Linien – wie genau?
belegt Pentagramm und regelmäßiges Fünfeck: φ steckt exakt drin (Station 4).
belegt Sonnenblumen, Kiefernzapfen, Ananas: Die Spiralzahlen sind meist Fibonacci-Zahlen.
umstritten Bauwerke wie der Parthenon in Athen: Ob φ geplant war, ist nicht belegt. Je nachdem, welche Kanten man misst, kommen ganz verschiedene Verhältnisse heraus.
nicht belegt Mona Lisa und andere Gemälde: Die goldenen Rechtecke werden nachträglich hineingezeichnet – man kann fast überall eines hineinlegen.
Pacioli und die „göttliche Proportion“ belegt
Luca Pacioli · ca. 1445 – 1517 · Italien · Buch „Divina proportione“ gedruckt 1509 in Venedig
Luca Pacioli war Franziskanermönch und Rechenmeister. 1494 beschrieb er in einem gedruckten Buch die doppelte Buchführung – Kaufleute benutzen sie bis heute. 1509 erschien sein Buch „Divina proportione“, „Die göttliche Proportion“, über die stetige Teilung; die Zeichnungen von Körpern darin fertigte Leonardo da Vinci an, mit dem er in Mailand zusammenarbeitete. Göttlich nannte Pacioli das Verhältnis unter anderem, weil es sich – wie Gott – nicht vollständig in Zahlen fassen lasse. Die Pointe: Der Name „Goldener Schnitt“ kam erst gut 300 Jahre später auf, im 19. Jahrhundert.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du 0,618… nie zu Ende schreiben kannst, stößt du auf genau die Eigenschaft, die Pacioli so beeindruckt hat: φ ist irrational.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Fibonacci und der Goldene Schnitt
Fibonacci-Regelan+2 = an+1 + an
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …
Goldene Zahlφ = (1 + √5) : 2 ≈ 1,618
1 : φ ≈ 0,618
1 : φ ≈ 0,618
Strecke golden teilengrößeres Stück ≈ 0,618 · Ganzes
kleineres Stück = Ganzes − größeres
kleineres Stück = Ganzes − größeres
Goldenes Rechtecklange Seite ≈ 1,618 · kurze Seite
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Rechnen mit φ
Stetige Teilunga : x = x : (a − x)
⇒ x² + a·x − a² = 0
⇒ x² + a·x − a² = 0
pq-Formelx² + px + q = 0
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Die Grundgleichungφ² = φ + 1 · 1 : φ = φ − 1
FünfeckDiagonale = φ · Seite
Innenwinkel 108°, Sternspitze 36°
Innenwinkel 108°, Sternspitze 36°
So arbeitest du: Hier musst du begründen, exakt rechnen oder eine Regel weiterdenken. Mach dir zuerst kleine Beispiele.
Werkzeuge für Experten
Exaktφ = (1 + √5) : 2 · 1 : φ = (√5 − 1) : 2
Potenzen von φφⁿ = Fn · φ + Fn−1
(F: Fibonacci-Zahlen)
(F: Fibonacci-Zahlen)
Näherung für Fibonacci-ZahlenFn = φⁿ : √5, auf eine ganze Zahl gerundet
Goldenes DreieckWinkel 36°, 72°, 72°
Schenkel : Basis = φ
Schenkel : Basis = φ
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Alle Teile sind Quadrate. Welche Seite des nächsten Quadrats kennst du sofort, wenn du die beiden kleinsten kennst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jedes neue Quadrat liegt an zwei Vorgängern an: Seine Seite ist die Summe der beiden vorigen Seiten. Fang bei 2 und 2 an.Hilfe 3 – Lösung
Quadratseiten: 2, 2, 4, 6, 10, 16. Die lange Seite besteht aus dem größten Quadrat (16) und dem zweitgrößten (10): x = 26. Das Rechteck ist 26 × 16 – fast golden: 26 : 16 = 1,625.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Gleiche Flächen – eine Gleichung Wie lang und wie breit ist das ganze Rechteck – ausgedrückt mit x? Was ist dann gleich groß?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das ganze Rechteck ist x hoch und x + 3 breit: x · (x + 3) = 40. Probier kleine ganze Zahlen – oder nimm die pq-Formel.Hilfe 3 – Lösung
x² + 3x − 40 = 0 ⇒ x = −1,5 + √(2,25 + 40) = −1,5 + 6,5 = 5 (die andere Lösung −8 ist keine Länge).Probe: 5 · 8 = 40 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ? (in Grad)
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Erst ein Teil Welchen Winkel in der Figur kannst du sicher ausrechnen, bevor du an x denkst? Wie groß ist ein Innenwinkel des Fünfecks?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Innenwinkelsumme im Fünfeck: 3 · 180° = 540°, also 108° je Ecke. Die Dreiecke aus zwei Fünfeckseiten und einer Diagonalen sind gleichschenklig – wie groß sind ihre Basiswinkel?Hilfe 3 – Lösung
Gleichschenkliges Dreieck mit Spitze 108°: Basiswinkel (180° − 108°) : 2 = 36°. An der oberen Ecke liegen drei Winkel: 36° links, x, 36° rechts – zusammen 108°. Also x = 108° − 72° = 36°. Die 108° werden von den Diagonalen genau gedrittelt.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.