So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: antippen, ziehen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Zahlen (oben in Stifels Zahlenpaar) in Orange · Exponenten (unten) in Blau · Ergebnis in Violett · Ziel in Rot
Station 1Rückwärts gefragt
Du startest bei 1 und verdoppelst immer wieder: 2, 4, 8, … Wie oft musst du verdoppeln, bis du über 1000 kommst?
Ziel:
Ziel–ändert sich
Verdopplungen bisher0ändert sich
jede Sprosse höher· 2bleibt gleich
gesuchter Exponent?ändert sich
Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten
Die Frage „2 hoch wie viel ergibt 64?“ hat einen eigenen Namen: Logarithmus. Man schreibtlog2 64 = 6, denn 26 = 64
Gelesen: „Logarithmus von 64 zur Basis 2“. Allgemein: logb c = x ⇔ bx = c
In Stifels Zahlenpaar ist der Logarithmus einfach die untere Zahl unter einer oberen: log2 1 = 0, log2 ⅛ = −3.
Liegt das Ziel zwischen zwei Sprossen, ist der Logarithmus keine ganze Zahl: log2 1000 ≈ 9,97, denn 29,97 ≈ 1000. Mit 210 = 1024 ≈ 1000 bist du nach 10 Verdopplungen über 1000.
Für die Basis 10 schreibt man kurz lg: lg 1000 = 3.
Station 2Die Tafel wird dicht
Im Zahlenpaar zur Basis 2 kannst du 4 · 8 durch Addieren der Exponenten finden. Aber 2 · 3? Die 3 steht gar nicht in der Tafel. Was kannst du tun, damit fast jede Zahl in der Tafel steht?
Basis:
Aufgabe:
erster Faktor–ändert sich
zweiter Faktor–ändert sich
Exponenten addiert–ändert sich
Fehler–wird kleiner
Eine Tafel zum Malnehmen durch Addieren
Je näher die Basis an 1 liegt, desto dichter stehen ihre Potenzen. Dann findest du zu jeder Zahl einen passenden Exponenten – und kannst jedes Produkt über eine Summe finden:a · c = bn · bm = bn + m
Genau so waren die ersten Logarithmentafeln um 1600 gebaut: lange Listen mit einer Basis ganz nah bei 1. Schwere Multiplikationen wurden zu leichten Additionen.
Station 3Der Rechenschieber
Mit zwei gewöhnlichen Linealen, die du aneinander schiebst, kannst du addieren: 2 + 3 = 5. Was passiert, wenn die Striche auf beiden Skalen immer enger zusammenrücken?
Einstellen:
Zieh die Zunge (oben, orange) waagerecht und den roten Läufer.
Zunge: Anfang steht über–ändert sich
Läufer: oben–ändert sich
Läufer: unten–ändert sich
Zusammenhang–bleibt immer gleich
Strecken addieren = Zahlen malnehmen
Auf dem Rechenschieber steht jede Zahl c im Abstand lg c vom Anfang (mal der Länge der Skala). Schiebst du zwei Strecken aneinander, addierst du zwei Logarithmen:lg 2 + lg 3 = lg (2 · 3) = lg 6
Das ist das wichtigste Logarithmengesetz. Dazu gehören:
logb(x · y) = logb x + logb y logb(x : y) = logb x − logb y logb(xn) = n · logb x
Es sind die Potenzgesetze, nur von unten gelesen. Bis etwa 1975 hatte jede Ingenieurin und jeder Ingenieur einen Rechenschieber in der Tasche.
Station 4lg 3 einkreisen
lg 1 = 0 und lg 10 = 1. Die 3 liegt dazwischen. Wie kann man lg 3 ausrechnen – ganz ohne Taschenrechner? Schätz zuerst: Ist lg 3 kleiner oder größer als 0,3 (also 3 Zehntel)?
Zielzahl:
neue Zahl√(links · rechts)Wurzel aus dem Produkt
neuer Exponent(links + rechts) : 2einfach die Mitte
lg 3 liegt zwischen0 und 1wird enger
Wurzelziehen halbiert den Exponenten
Aus 10a · 10c = 10a + c folgt: √(10a · 10c) = 10(a + c) : 2Die Wurzel aus dem Produkt zweier Zahlen gehört also genau zur Mitte ihrer Exponenten. Mit jedem Schritt wird das Intervall halb so breit. Nach 10 Schritten kennst du lg 3 auf etwa drei Stellen: lg 3 ≈ 0,4771
Beachte: Die neue Zahl liegt immer links von der gewöhnlichen Mitte – oben wird „mal gleich viel“ gerechnet, nicht „plus gleich viel“.
John Napier und Henry Briggs: Eine Viertelstunde Schweigen überliefert
Schottland und England, ca. 1550 – 1630
Der schottische Gutsherr John Napier rechnete zwanzig Jahre lang an einer Tafel, die Multiplizieren in Addieren verwandelt. 1614 veröffentlichte er sie und nannte die neuen Zahlen Logarithmen – „Verhältniszahlen“. Der Londoner Professor Henry Briggs war so begeistert, dass er 1615 nach Edinburgh reiste. Es heißt, die beiden hätten sich bei der Begrüßung eine Viertelstunde lang wortlos angestaunt. Gemeinsam beschlossen sie, alles auf die Zehn zu beziehen: log 1 = 0 und log 10 = 1. Napier starb zwei Jahre später, und Briggs rechnete die neuen Tafeln allein – Logarithmen mit 14 Stellen, in mühsamer Handarbeit mit vielen Wurzeln.
Was das mit dir zu tun hat: Die Taste „log“ auf deinem Taschenrechner ist Briggs’ Zehnerlogarithmus – mit genau der Vereinbarung lg 10 = 1.
Station 5Der Graph, an der Diagonale geklappt
Auf dem Graphen von y = 2x liegt der Punkt (3 | 8). Du klappst das ganze Bild an der Diagonale y = x um. Wo landet der Punkt – und welche Frage beantwortet der neue Graph?
Basis b:
Zieh den Punkt am Graphen entlang.
Punkt auf y = bx–ändert sich
gespiegelter Punkt–x und y getauscht
abgelesen–ändert sich
gespiegelter Graph geht durch(1 | 0)für jede Basis
Die Logarithmusfunktion
Beim Klappen an y = x tauschen x und y die Rollen. Aus „x → bx“ wird „Zahl → Exponent“, also y = logb x.Daran siehst du: logb 1 = 0 für jede Basis (der Punkt (0 | 1) wird zu (1 | 0)). Für Zahlen zwischen 0 und 1 ist der Logarithmus negativ. Und für 0 oder negative Zahlen gibt es keinen Logarithmus – der Graph von bx kommt nie unter die x-Achse, also kommt der gespiegelte Graph nie links von der y-Achse an.
Der Logarithmusgraph wächst immer langsamer: Für 1000 braucht log2 erst knapp 10.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Der Logarithmus – Definition und Gesetze
Definitionlogb c = x ⇔ bx = c
(b > 0, b ≠ 1, c > 0)
lg = log10
(b > 0, b ≠ 1, c > 0)
lg = log10
Besondere Wertelogb 1 = 0 · logb b = 1
logb bn = n
logb bn = n
Gesetzelog(x · y) = log x + log y
log(x : y) = log x − log y
log(xn) = n · log x
log(x : y) = log x − log y
log(xn) = n · log x
Mit dem Taschenrechnerbx = c → x = lg clg b
So arbeitest du: Hier musst du Logarithmen geschickt zerlegen, Gleichungen umbauen und Sachfragen modellieren. Mach dir immer klar: Welcher Exponent ist gesucht?
Werkzeuge für Experten
Zwei Merkwertelg 2 ≈ 0,301 · lg 5 = 1 − lg 2 ≈ 0,699
(denn 2 · 5 = 10)
(denn 2 · 5 = 10)
Basiswechsellogb c = lg clg b
log8 32 = 53 (beides Zweierpotenzen)
log8 32 = 53 (beides Zweierpotenzen)
Anzahl der ZiffernEine Zahl N ≥ 1 hat (ganzzahliger Teil von lg N) + 1 Ziffern.
Ausklammern2x + 3 = 23 · 2x = 8 · 2x
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die beiden Skalen sehen gleich aus – nur ist die obere verschoben. Wo steht die obere 1?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die obere 1 steht über der unteren 2. Auf dem Rechenschieber heißt das: Unten steht immer das 2-Fache der oberen Zahl darüber.Hilfe 3 – Lösung
Die Zunge ist um die Strecke lg 2 verschoben, also gilt unten = 2 · oben. Unter x steht 8, also 2 · x = 8 und x = 4.Mit Logarithmen: lg 2 + lg x = lg 8, also lg x = lg 8 − lg 2 = lg 4.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Kurve geht durch (0 | 1) – welche Art von Kurve ist das? Und was verrät dir der Punkt (2 | 9) über sie?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Eine Kurve y = bx durch (2 | 9) hat b2 = 9, also b = 3. Jetzt ist die Frage: 3 hoch wie viel ergibt 127?Hilfe 3 – Lösung
b2 = 9, also b = 3. Gesucht ist x mit 3x = 127 = 133 = 3−3. Also x = −3, das heißt log3 127 = −3.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Striche rücken nach rechts immer enger zusammen. Was bedeutet hier eine Strecke – ein Plus oder ein Mal?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Auf so einer Skala bedeutet jede Strecke einen Faktor. Die Strecke 2 bringt den Faktor 4. Zerlege die Strecke 5 in 2 + 2 + 1. Welcher Faktor gehört zur Strecke 1?Hilfe 3 – Lösung
Strecke 2 ↔ Faktor 4, also Strecke 1 ↔ Faktor √4 = 2. Strecke 5 = 2 + 2 + 1 ↔ Faktor 4 · 4 · 2 = 32. Also x = 32.Kurz: x = 45/2 = (√4)5 = 25 = 32.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.