So arbeitest du: Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten: lg 1000 = 3, weil 10³ = 1000. Hier siehst du, wo dieser Gedanke in der Natur und im Alltag steckt – in einer Schnecke, im Klavier, im Lärm und im Zitronensaft. Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus und deckst erst danach auf, was dahintersteckt.
Farben: Potenzlängen bˣ · Spitzen-Kurve · Spirale · Kopie / Auswahl · Winkel
Station 1Die Hochzahlgerade wird aufgewickelt
Auf der Hochzahlgeraden steht bei jeder Zahl x eine Strecke der Länge 2ˣ: bei 1 die 2, bei 2 die 4, bei −1 die ½ … Ihre Spitzen bilden die Kurve y = 2ˣ. Jetzt wickeln wir die Gerade um einen Kreis mit Radius 1. Welche Form bilden die Spitzen dann?
Basis b–ändert sich mit dem Regler
Drehung um 1 (= 57,3°)–überall auf der Spirale gleich
eine ganze Umdrehung–überall auf der Spirale gleich
Winkel Spirale – Radius–überall gleich
Die logarithmische Spirale
Beim Aufwickeln wird aus der Hochzahl x ein Drehwinkel (im Bogenmaß: 1 = 57,3°). Nach dem Schieben zur Mitte ist der Abstand der Spitze vom Mittelpunkt genau bˣ:r = bφ und umgekehrt φ = logb r
Der Drehwinkel ist der Logarithmus des Abstands – daher der Name logarithmische Spirale. Gleiche Drehung bedeutet immer gleichen Faktor: Jede ganze Umdrehung multipliziert den Abstand mit b2π. Und die Spirale schneidet jeden Strahl aus der Mitte unter demselben Winkel (tan ψ = 1 : ln b).
Station 2Vergrößern ist Drehen
Die rote Linie ist eine Kopie der Schneckenspirale. Du vergrößerst sie mit dem Regler. Kannst du die vergrößerte Kopie so drehen, dass sie wieder genau auf der Spirale liegt?
Vergrößerung–ändert sich
Drehung–ändert sich
Abweichung–Kopie gegen Original
Schnecke: eine UmdrehungRadius × 3bleibt gleich
Selbstähnlich: Vergrößern = Drehen
Bei der Schnecke wächst der Radius bei jeder Umdrehung mit dem Faktor 3. Eine Vergrößerung um den Faktor k erreichst du deshalb auch durch Drehen – um den Bruchteil log3 k = lg k : lg 3 einer Umdrehung:Drehwinkel = 360° · lg k : lg 3 z. B. ×2 → 360° · 0,301 : 0,477 ≈ 227°.
Darum sieht die Schnecke in jeder Größe gleich aus: Das Tier baut immer gleich geformte Kammern, nur größer. Eine Spirale mit gleich weiten Windungen kann das nicht – dort bleibt immer eine Abweichung.
Jakob Bernoulli und die falsche Spirale belegt
Jakob Bernoulli · ca. 1655 – 1705 · Basel
Jakob Bernoulli war Mathematikprofessor in Basel und von der logarithmischen Spirale so begeistert, dass er sie „spira mirabilis“ nannte: die wunderbare Spirale. Ihn faszinierte, dass sie nach dem Vergrößern, nach dem Drehen und sogar nach weiteren Umformungen immer wieder als dieselbe Kurve erscheint. Darum wünschte er sie sich auf seinen Grabstein, mit dem lateinischen Spruch „Eadem mutata resurgo“ – verwandelt erstehe ich als dieselbe wieder. Die Pointe: Der Steinmetz meißelte eine Spirale mit gleich weiten Windungen, also genau die falsche. Der Stein steht heute noch im Kreuzgang des Basler Münsters.
Was das mit dir zu tun hat: In Station 2 kannst du mit dem Umschalter selbst prüfen, warum die Grabstein-Spirale den Spruch nicht erfüllt.
Station 3Die Tonleiter ist eine log-Skala
Der Ton a′ schwingt 440-mal pro Sekunde (440 Hz). Zwölf Tasten weiter rechts liegt wieder ein a – es klingt „gleich, nur höher“. Wie viele Hz hat dieses a″?
Tippe eine Taste an. „Anhören“ spielt erst das tiefe a (220 Hz), dann deine Taste – nur wenn du darauf drückst. Ohne Ton funktioniert alles genauso.
Gewählter Ton–
Abstand zum Ton darunter–ändert sich
Verhältnis zum Ton darunter–bleibt gleich
Halbtöne über dem tiefen a–Halbtonschritte
Oktave ×2, Halbton ×¹²√2
Eine Oktave höher heißt: doppelt so viele Schwingungen. Die Oktave ist in 12 gleiche Halbtonschritte geteilt. „Gleich“ heißt hier: gleicher Faktor q. Zwölfmal malnehmen ergibt ×2:q¹² = 2 → q = ¹²√2 ≈ 1,0595 f = 220 Hz · 2n/12 n = 12 · lg(f : 220 Hz) : lg 2
Die Tasten sind gleich breit, die Hz-Abstände aber nicht: Unser Ohr hört Verhältnisse, nicht Differenzen. Die Klaviatur ist eine logarithmische Skala. Die Quinte (7 Halbtöne) ist 27/12 ≈ 1,498 – fast genau 3 : 2.
Station 4Dezibel, Richter, pH: Skalen, die malnehmen
Ein Rasenmäher ist 80 dB laut. Daneben läuft ein zweiter, genauso lauter. Wie laut sind beide zusammen?
Skalenwert–
So viel mal mehr–
Ein Schritt auf der Skala–bleibt gleich
–
Logarithmische Skalen zählen Zehnerfaktoren
Dezibel: L = 10 · lg(I : I₀) dB. Zehnfache Schallstärke: +10 dB. Doppelte: +10 · lg 2 ≈ +3 dB. Zwei Rasenmäher sind also 83 dB, nicht 160 dB.Richter-Skala: Eine Stufe mehr heißt zehnfacher Ausschlag des Seismografen und etwa 101,5 ≈ 32-fache Energie.
pH-Wert: pH = −lg c(H⁺) (c in mol/l). Ein pH-Wert weniger heißt zehnmal so viele saure H⁺-Teilchen.
Solche Skalen machen aus riesigen Bereichen handliche Zahlen: Vom leisesten hörbaren Ton bis zur Schmerzgrenze steigt die Schallstärke um das Billionenfache – das sind nur 120 dB.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Früher rechnete man solche Aufgaben mit Logarithmentafeln (Bürgi, Napier, Briggs) – heute mit dem Taschenrechner.
Werkzeuge: Logarithmen in Natur und Technik
Logarithmuslogb x = y ⇔ bʸ = x
lg = log10 · logb x = lg x : lg b
lg = log10 · logb x = lg x : lg b
Rechenregelnlg(a · c) = lg a + lg c
lg(aⁿ) = n · lg a
lg 2 ≈ 0,301 · lg 3 ≈ 0,477
lg(aⁿ) = n · lg a
lg 2 ≈ 0,301 · lg 3 ≈ 0,477
Tonleiterf = f₀ · 2n/12
n = 12 · lg(f : f₀) : lg 2
n = 12 · lg(f : f₀) : lg 2
Dezibeln gleiche Quellen: L = L₁ + 10 · lg n
+10 dB = ×10 · +3 dB ≈ ×2
+10 dB = ×10 · +3 dB ≈ ×2
Richter und pHΔM: Ausschlag ×10ΔM, Energie ×101,5·ΔM
pH = −lg c(H⁺), c = 10−pH mol/l
pH = −lg c(H⁺), c = 10−pH mol/l
SpiraleFaktor q pro Umdrehung: r = r₀ · qφ/360°
φ = 360° · lg(r : r₀) : lg q
φ = 360° · lg(r : r₀) : lg q
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Teilstriche liegen nach rechts immer dichter. Was bedeuten die drei gleich markierten Abschnitte auf so einer Skala?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Es ist eine logarithmische Skala: Gleich lange Abschnitte bedeuten gleiche Faktoren, nicht gleiche Summanden. Von 1 nach 2 ist der Faktor 2.Hilfe 3 – Lösung
Jeder Abschnitt heißt „× 2“. Drei Abschnitte: 1 · 2 · 2 · 2 = x = 8.Mit Logarithmen: Die Länge ist proportional zu lg x, und lg x = 3 · lg 2 = lg 8.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die drei Strahlen gehen von der Mitte der Spirale aus. Was sagen dir die beiden rechten Winkel über die Drehung von Strahl zu Strahl?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Bei dieser Spirale bedeutet gleiche Drehung gleichen Faktor. Von 3 nach x ist es also derselbe Faktor wie von x nach 12.Hilfe 3 – Lösung
x : 3 = 12 : x, also x² = 36 und x = 6. Der Faktor pro Vierteldrehung ist 2: 3 → 6 → 12.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Zwei gleiche Skalen sind gegeneinander verschoben. Um welche Strecke ist die untere verschoben – und was bedeutet es, zwei Strecken einer solchen Skala aneinanderzulegen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Es ist ein Rechenschieber: Aneinanderlegen heißt Multiplizieren. Oben liest du ab, was 2,5 · (unterer Wert) ergibt.Hilfe 3 – Lösung
Die untere Skala beginnt bei 2,5. Über x steht also 2,5 · x. Dort steht 10: 2,5 · x = 10, x = 4.Mit Logarithmen: lg 2,5 + lg x = lg 10 = 1.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.