So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann spielst du es durch: schieben, abspielen, Schritt für Schritt. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Auf dem Konto liegen Plättchen: Guthaben-Plättchen = +1 (1 € auf dem Konto) Schulden-Plättchen = −1 (1 € Schulden). Ein Plus- und ein Minus-Plättchen zusammen sind ein Nullpaar: zusammen 0.
Station 1Mehr bezahlen, als da ist
Auf deinem Konto sind 5 €. Du bezahlst eine Rechnung über 12 €, und die Bank lässt dich überziehen. Was steht danach auf dem Konto?
schon bezahlt–ändert sich
Kontostand–ändert sich
Schulden-Plättchen–von der Bank geliehen
Weniger als nichts: Schulden
Du bezahlst zuerst alles, was da ist. Dann steht das Konto auf 0. Was dann noch fehlt, leiht dir die Bank – das sind Schulden. Schulden schreibst du mit Minus:5 − 12 = 5 − 5 − 7 = 0 − 7 = −7
„Klein minus groß“ geht also doch: Das Ergebnis ist negativ. Die Zahl hinter dem Minus sagt, wie viel fehlt.
Die Falle: Wer denkt „klein minus groß geht nicht“, rechnet heimlich 12 − 5 = 7 und verliert das Minus. Frag dich immer: Reicht das, was da ist?
Station 2Plus und Minus heben sich auf
Auf einem Konto liegen 7 Guthaben-Plättchen und 9 Schulden-Plättchen. Wie viel ist das Konto wert?
Schritt 0/3
Guthaben-Plättchen–je +1
Schulden-Plättchen–je −1
Nullpaare–verschwinden
Wert des Kontos–bleibt gleich
Das Nullpaar
Ein Guthaben- und ein Schulden-Plättchen heben sich auf: (+1) + (−1) = 0. Deshalb darfst du Paare wegnehmen oder dazulegen – der Wert bleibt gleich.7 + (−9) = 7 − 9 = −2 7 Paare verschwinden, 2 Schulden bleiben.
Schulden dazulegen wirkt wie Abziehen: + (−9) ist dasselbe wie − 9.
Die Falle: „Plus ist doch mehr“ – und schon rechnet man 7 + 9 = 16. Aber dazugelegt wurden Schulden, kein Geld.
Auf der Seite Die Waage heißen die Minus-Plättchen Ballons: Ein Ballon und ein Würfel heben sich auch dort auf.
Brahmagupta: Vermögen, Schulden und die Null belegt
Brahmagupta · ca. 598 – ca. 668 · Indien, Buch „Brahmasphutasiddhanta“ (628)
Brahmagupta war Astronom in Bhillamala im Nordwesten Indiens. In seinem großen Buch von 628 schreibt er Rechenregeln für drei Arten von Zahlen auf: Vermögen, Schulden und die Null – in Versen, damit man sie auswendig lernen konnte. Dort steht zum Beispiel: Schulden mal Schulden ergibt ein Vermögen. Und zum ersten Mal wird die Null wie eine richtige Zahl behandelt, mit der man rechnet. Die Pointe: Fast alle seine Regeln gelten bis heute – nur bei „Null geteilt durch Null ist Null“ lag er daneben; durch Null teilen darf man nicht. In Europa nannten Rechenmeister die negativen Zahlen noch rund 900 Jahre später „absurde Zahlen“.
Was das mit dir zu tun hat: Du rechnest auf dieser Seite wie Brahmagupta – mit Guthaben und Schulden statt mit Regeln, die vom Himmel fallen.
Station 3Schulden wegnehmen
Dein Konto steht auf −4 €. Jemand nimmt dir 6 Schulden-Plättchen weg. Das ist die Rechnung (−4) − (−6). Was steht danach auf dem Konto?
Schritt 0/3
Kontostand vorher–Start
Nullpaare dazugelegt–ändern den Wert nicht
Kontostand jetzt–ändert sich
zum Vergleich–dasselbe Ergebnis
Schulden wegnehmen macht reicher
Liegen nicht genug Schulden-Plättchen da, legst du Nullpaare dazu – das ändert den Wert nicht. Dann nimmst du die Schulden weg. Übrig bleibt mehr als vorher:(−4) − (−6) = (−4) + 6 = 2
Minus minus wird Plus: − (−6) wirkt genauso wie + 6.
Die Falle: „Minus und noch ein Minus – das wird noch weniger“, also −4 − 6 = −10. Aber weggenommen wurden Schulden, nicht Geld.
Station 4Schuldenpakete
3 · (−4) heißt: drei Pakete mit je 4 Schulden kommen aufs Konto. Und was soll (−3) · (−4) bedeuten – drei Schuldenpakete wegnehmen? Von einem leeren Konto?
Schritt 0/3
Pakete:
Inhalt:
Vergleiche:
Pakete–hinzufügen / wegnehmen
Inhalt je Paket–Plättchen
Kontostand–ändert sich
Vorzeichen-Regel–gilt immer
Die Vorzeichenregel – aus dem Konto abgelesen
Der erste Faktor sagt, wie viele Pakete du hinzufügst (+) oder wegnimmst (−). Der zweite sagt, was in jedem Paket ist. Zum Wegnehmen legst du vorher genug Nullpaare hin.3 · (−4) = −12 (−3) · 4 = −12 (−3) · (−4) = 12
Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene ergeben Minus. Beim Teilen gilt dieselbe Regel, denn Teilen ist die Umkehrung: (−12) : (−3) = 4, weil 4 · (−3) = −12.
Wem gehört das Minus? (−3)² = (−3) · (−3) = 9 – die Klammer macht das Minus zum Teil der Zahl. Ohne Klammer gehört es nicht dazu: −3² = −(3 · 3) = −9. Erst 9 Plättchen, dann alle umdrehen.
Zum Schluss: alles auf einem Strahl
Jetzt, wo du die Regeln aus dem Konto kennst: Wie sehen sie aus, wenn du den Kontostand auf einem Zahlenstrahl verfolgst?
Wähle eine Rechnung.
Station 5Fehlerfahnder
In jeder Rechnung steckt genau ein typischer Fehler. Alles danach ist folgerichtig weitergerechnet. In welcher Zeile passiert er? Tipp auf „Hier?“ neben der Zeile, die du verdächtigst.
Fall 1/5
Fallen entdeckt0 von 5Zähler
Fehlversuche0nicht schlimm
Fehler findest du Zeile für Zeile
Prüf jede Zeile einzeln: Hat sie denselben Wert wie die Zeile davor? Der Fehler steckt in der ersten Zeile, in der sich der Wert ändert – nicht am Ende.Die häufigsten Fallen: klein minus groß ohne Minus · + (−b) als + b · − (−b) als − b · Minus mal Minus als Minus · −a² als (−a)² · Vorzeichen beim Teilen vergessen.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und rechne zuerst allein im Heft. Trag dein Ergebnis ein und drück Prüfen. Hast du in eine typische Falle getappt, sagt dir die Seite, welche es war. Kommst du nicht weiter: Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Lücken), zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Rechnen mit Guthaben und Schulden
Mehr abziehen, als da ist5 − 12 = 5 − 5 − 7 = −7
Erst bis 0, der Rest wird Schulden.
Erst bis 0, der Rest wird Schulden.
Nullpaar(+1) + (−1) = 0
Paare darfst du wegnehmen oder dazulegen.
Paare darfst du wegnehmen oder dazulegen.
Schulden dazulegen7 + (−9) = 7 − 9 = −2
Schulden wegnehmen(−4) − (−6) = −4 + 6 = 2
Pakete3 · (−4) = −12
(−3) · (−4) = 12
(−3) · (−4) = 12
So arbeitest du: Erst selbst rechnen, dann Prüfen. Bei Bedarf Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Vorzeichenregeln
Plus und Minus+ (−b) = − b
− (−b) = + b
− (−b) = + b
Mal und Geteiltgleiche Vorzeichen → +
verschiedene Vorzeichen → −
verschiedene Vorzeichen → −
Wem gehört das Minus?(−3)² = (−3) · (−3) = 9
−3² = −(3 · 3) = −9
−3² = −(3 · 3) = −9
ReihenfolgeKlammer vor Hoch vor Punkt vor Strich – auch mit negativen Zahlen.
So arbeitest du: Hier musst du Rechnungen umkehren, einsetzen und Vorzeichen begründen. Schreib jede negative Zahl, die du einsetzt, in Klammern.
Werkzeuge für Experten
Viele Faktorengerade Anzahl Minus-Faktoren → +
ungerade Anzahl → −
ungerade Anzahl → −
Potenzen(−2)⁴ = 16 · (−2)³ = −8
−2⁴ = −16
−2⁴ = −16
Einsetzenx = −3: 2x² = 2 · (−3)² = 18
Rückwärts5 − □ = 12 → □ = 5 − 12 = −7
Probe: 5 − (−7) = 12
Probe: 5 − (−7) = 12
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Mauer, ohne dass es dasteht? Wie hängt ein Stein mit den beiden Steinen darunter zusammen? Das Zeichen oben links verrät es.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Stein −10 sitzt auf −6 und x. Also gilt −6 + x = −10. Was musst du zu −6 dazulegen, damit −10 herauskommt – Guthaben oder Schulden?Hilfe 3 – Lösung
−6 + x = −10, also x = −10 − (−6) = −10 + 6 = −4.Probe: −6 + (−4) = −10 ✓ – zu 6 Schulden kommen 4 Schulden dazu.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die beiden mittleren Steine sind leer. Kannst du sie trotzdem hinschreiben – mit x?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Mitte links: 9 + x. Mitte rechts: x + (−4). Der oberste Stein ist ihre Summe: 9 + x + x − 4 = −5. Fasse zusammen.Hilfe 3 – Lösung
5 + 2x = −5, also 2x = −10 und x = −5.Probe: Mitte 9 + (−5) = 4 und (−5) + (−4) = −9, oben 4 + (−9) = −5 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Diesmal steht oben links ein Malpunkt. Was heißt das für jeden Stein? Und welchen mittleren Stein kannst du sofort ausrechnen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Mitte rechts: (−2) · 3 = −6. Mitte links: x · (−2). Oben: x · (−2) · (−6) = −36. Wie viel ist (−2) · (−6)?Hilfe 3 – Lösung
(−2) · (−6) = 12, also 12 · x = −36 und x = −3.Probe: Mitte links (−3) · (−2) = 6, oben 6 · (−6) = −36 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.