So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: antippen, schrittweise weiterklicken, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: obere Reihe (die Zahlen) in Orange · untere Reihe (das Zählen) in Blau · Ergebnis in Violett
Station 1Zwei Zahlenreihen übereinander
Oben steht 2, 4, 8, 16, … – jede Zahl ist das Doppelte der vorigen. Unten wird nur gezählt: 1, 2, 3, … Kannst du mit dieser Tabelle 8 · 32 ausrechnen, ohne zu multiplizieren?
Rechenart:
Basis:
oben gerechnet–ändert sich
unten gerechnet–ändert sich
ein Schritt nach rechtsoben · 2, unten + 1bleibt immer so
Die untere Reihe zählt die Faktoren
Über der 5 steht 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Man schreibt kurz 25 = 32. Die 2 heißt Basis, die kleine 5 heißt Exponent – so hat es Michael Stifel genannt.Was oben schwer ist, wird unten leicht:
an · am = an + m Malnehmen oben = Addieren unten
an : am = an − m Teilen oben = Subtrahieren unten
(an)k = an · k Hoch nehmen oben = Malnehmen unten
Das klappt bei jeder Basis, denn unten wird nur gezählt, wie viele Faktoren a zusammenkommen. Und wenn beim Teilen unten 0 oder etwas Negatives herauskommt? Dann geht es in Station 2 weiter.
Michael Stifel: Der Weltuntergang, der ausfiel überliefert
Esslingen und Jena, ca. 1487 – 1567
Stifel war Mönch, dann evangelischer Pfarrer – und ein leidenschaftlicher Rechner. Aus den Buchstaben eines Bibelverses rechnete er sich das Ende der Welt aus: einen Morgen im Oktober 1533. Viele Bauern ließen die Arbeit liegen und warteten mit ihm in der Kirche. Es geschah nichts, und Stifel verlor seine Pfarrstelle. Elf Jahre später erschien sein großes Rechenbuch „Arithmetica integra“: Dort stellt er die Reihe 1, 2, 3, … unter die Reihe 2, 4, 8, … und nennt die unteren Zahlen Exponenten. Die Pointe: Seine Weltuntergangs-Rechnung ist vergessen – sein Wort für die kleine Zahl oben rechts benutzt heute jeder.
Was das mit dir zu tun hat: Jedes Mal, wenn du „Exponent“ sagst oder Exponenten addierst, rechnest du mit Stifels Zahlenpaar.
Station 2Nach links weiter
Nach rechts wird oben verdoppelt und unten 1 addiert. Jetzt gehst du in die andere Richtung. Was steht oben über der 0?
Basis:
oben: Schritt nach links: 2bleibt gleich
unten: Schritt nach links− 1bleibt gleich
neu entdeckt–ändert sich
Probe mit der Regel aus Station 1–ändert sich
Hoch 0 und hoch minus
Wenn das Muster weitergehen soll, gibt es keine Wahl:a0 = 1 (für jede Basis a ≠ 0) a−n = 1an
Das Minus im Exponenten heißt also nicht „negative Zahl“, sondern Kehrwert: 2−3 = ⅛, und 10−3 = 11000 = 0,001.
Die Regel „Exponenten addieren“ gilt weiter: 23 · 2−3 = 20, und wirklich ist 8 · ⅛ = 1. Niemand hat 20 = 1 einfach festgelegt – die Regel hat es erzwungen.
Station 3Glieder dazwischen
Die Säulen zeigen 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8. Unten zwischen 0 und 1 soll ein neues Glied hin – unten steht dort ½. Welche Zahl gehört oben über das ½?
Schritt 0/4
unten: Mitte von 0 und 1½einfach die Mitte
oben: Faktor je Halbschritt–ändert sich
Probe: zwei Halbschritte–müssen · 2 ergeben
Gebrochene Exponenten sind Wurzeln
Soll die Regel „Exponenten addieren“ weiter gelten, dann ist2½ · 2½ = 21 = 2 also 2½ = √2 ≈ 1,414
2⅓ · 2⅓ · 2⅓ = 2 also 2⅓ = ∛2 ≈ 1,26
Allgemein: a1/n = n√a und ap/q = (q√a)p
Die naheliegende Mitte 1,5 ist falsch: 1,5 · 1,5 = 2,25. Oben ist nicht „plus gleich viel“, sondern „mal gleich viel“ das Muster. Darum liegt das Zwischenglied immer etwas tiefer als die Mitte – die Säulen liegen auf einer gebogenen Kurve.
Station 4Die größte Zahl aus drei Neunen
Mit drei Ziffern 9 (und Klammern, ohne Rechenzeichen) kannst du verschiedene Zahlen schreiben. Welche ist die größte? Leg dich fest!
Zahl 0/5
Anzahl der Ziffern–ändert sich
Papierstreifen (5 mm je Ziffer)–ändert sich
so lang wie …–ändert sich
Klammern entscheiden
(99)9 = 99 · 9 = 981: Neun Faktoren 99 mit je neun Neunen ergeben 81 Neunen. Das ist sogar kleiner als 999.9(99) = 9387 420 489: Hier steht oben schon eine riesige Zahl. Diese Zahl hat 369 693 100 Ziffern. Auf Karopapier (5 mm je Ziffer) wäre der Streifen über 1800 km lang. Gedruckt mit 14 000 Ziffern pro Seite füllt sie 33 Bücher mit je 800 Seiten.
Warum bringt jeder Faktor 9 knapp eine Ziffer dazu? Weil 9 fast 10 ist: 9 ≈ 100,954. Wie man so einen Exponenten findet, lernst du beim Logarithmus.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Potenzen – die Grundregeln
Potenzan = a · a · … · a (n Faktoren)
a: Basis · n: Exponent
a: Basis · n: Exponent
Malnehmenan · am = an + m
gleiche Basis: Exponenten addieren
gleiche Basis: Exponenten addieren
Teilenan : am = an − m
gleiche Basis: Exponenten subtrahieren
gleiche Basis: Exponenten subtrahieren
Hoch 0 und hoch minusa0 = 1 · a−n = 1an
10−3 = 0,001
10−3 = 0,001
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Weitere Potenzgesetze
Potenz einer Potenz(an)m = an · m
Exponenten malnehmen
Exponenten malnehmen
Gleiche Exponentenan · bn = (a · b)n
23 · 53 = 103
23 · 53 = 103
Gebrochene Exponentena1/n = n√a · ap/q = (q√a)p
82/3 = 22 = 4
82/3 = 22 = 4
Vorsichtan + an = 2 · an (nicht a2n)
Für Summen gibt es kein Potenzgesetz.
Für Summen gibt es kein Potenzgesetz.
So arbeitest du: Hier musst du Terme umbauen, vergleichen und begründen. Schreib alles mit möglichst kleinen Basen – dann sieht man, was sich kürzt.
Werkzeuge für Experten
Alle Gesetzeanam = an+m · an : am = an−m
(an)m = anm · anbn = (ab)n
(an)m = anm · anbn = (ab)n
Primfaktoren12 = 22 · 3 → 125 = 210 · 35
Gleiche BasisAus ax = ay folgt x = y (für a > 0, a ≠ 1).
Schranke210 = 1024 ≈ 103
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Jede Linie teilt ein Stück genau in der Mitte. Welchen Teil des ganzen Quadrats hat das erste große Stück?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das ganze Quadrat hat die Fläche 1 · 1 = 1. Zähle, wie oft halbiert wurde, bis das violette Stück übrig ist. Jedes Halbieren heißt: · ½ = · 2−1.Hilfe 3 – Lösung
Die Stücke haben die Flächen ½, ¼, ⅛, 116 und zweimal 132. Das violette Stück ist 132 = 125 = 2−5, also x = −5.Probe: ½ + ¼ + ⅛ + 116 + 132 + 132 = 1 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die rote Linie schneidet ein Dreieck mit einem rechten Winkel ab. Wie lang ist sie – als Wurzel geschrieben?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Nach Pythagoras ist die Diagonale √(1² + 1²) = √2. Jetzt brauchst du die Frage aus Station 3: Welcher Exponent macht aus 2 die Zahl √2?Hilfe 3 – Lösung
d² = 1² + 1² = 2, also d = √2. Weil 2½ · 2½ = 21 = 2 gilt, ist √2 = 2½. Also x = ½ = 0,5.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die kleinen Striche? Jedes neue Quadrat sitzt mit seinen Ecken auf den Seitenmitten des vorigen. Um welchen Faktor wird die Fläche bei jedem Schritt kleiner?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das gedrehte Quadrat bedeckt genau die Hälfte des äußeren (die vier Eckdreiecke klappen nach innen und füllen es). Halbe Fläche heißt: Seite · 2−½. Schreib auch 8 als Zweierpotenz.Hilfe 3 – Lösung
Bei jedem Schritt halbiert sich die Fläche, die Seite wird also mit 1√2 = 2−½ malgenommen. Vom äußeren zum innersten Quadrat sind es drei Schritte:8 · (2−½)3 = 23 · 2−1,5 = 21,5. Also x = 1,5.
Probe: Seiten 8 → 4√2 → 4 → 2√2 ≈ 2,83, und 21,5 = 2 · √2 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.