So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst auf eine Vermutung fest. Dann probierst du es aus: Bausteine legen, abspielen, Regler schieben. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. In der letzten Station jagst du die typischen Fehler selbst.
Farben: das Ganze (Grundwert, 100 %) mit dunkelblauem Rand · der Teil (Prozentwert) violett · Prozentsatz orange · abgezogen rot schraffiert · dazu grün · Rechenschritte dunkelgelb
Station 1Prozent aus Bausteinen
Ihr esst zusammen für 48 € und wollt 15 % Trinkgeld geben. Wie viel ist das ungefähr? Erst schätzen, dann bauen.
Ziel–diesen Teil suchst du
gebaut–wächst mit jedem Baustein
das Ganze–bleibt 100 %
Vergleich–
Fünf Bausteine reichen für fast alles
50 % = die Hälfte · 25 % = die Hälfte der Hälfte · 10 % = das Ganze : 10 · 5 % = die Hälfte von 10 % · 1 % = das Ganze : 100Daraus baust du jeden Prozentsatz: 15 % = 10 % + 5 % · 35 % = 25 % + 10 % · 12 % = 10 % + 1 % + 1 %.
Als Formel: Prozentwert = Grundwert · p : 100
Falle: Die Prozentzahl ist nie selbst das Ergebnis. 25 % von 120 € sind nicht 25 € – und auch nicht 120 : 25 = 4,8. Ein Prozent ist immer das Ganze durch 100.
Station 2Wer ist das Ganze?
Lea hat 25 % ihres Sparziels geschafft – das sind 30 €. Wie groß ist ihr Sparziel?
Teil (Prozentwert)–
das Ganze (Grundwert)–
Prozentsatz–
Das Ganze ist immer größer als ein Teil davon
Ganzes gesucht: Der bekannte Betrag ist schon der Teil. Du rechnest ihn auf 100 % hoch: 25 % = 30 € | · 4 → 100 % = 120 €. Wer „25 % von 30 €“ rechnet, macht den Teil zum Ganzen – und bekommt etwas Kleineres heraus als den Teil selbst.Prozentsatz gesucht: p % = Teil : Ganzes – zum Beispiel 30 : 120 = 0,25 = 25 %. Andersherum (120 : 30 = 4) erfährst du nur, wie oft der Teil ins Ganze passt. „400 %“ würde heißen: viermal so viel wie alles.
Station 3Rabatt – und der Weg zurück
Ein Preis steigt um 20 %. Danach sinkt der neue Preis um 20 %. Was kostet die Ware am Ende – verglichen mit vorher?
Prozent beziehen sich immer auf das aktuelle Ganze
Rabatt: Der Rabatt ist das abgeschnittene Stück, der Endpreis der Rest. Bei 25 % Rabatt zahlst du 75 %: Endpreis = 80 € · 0,75 = 60 €. Prozent sind keine Euro: 80 − 25 = 55 ist falsch.Hin und zurück: Nach dem ersten Schritt ist der neue Preis das Ganze. 20 % von 120 € sind 24 € – mehr als die 20 € vorher. Darum landest du bei 96 €: 100 € · 1,2 · 0,8 = 100 € · 0,96 = 96 €
Die Reihenfolge ist egal (0,8 · 1,2 = 0,96). Um wieder auf 100 € zu kommen, müsste der Preis von 120 € nur um 20 : 120 ≈ 16,7 % sinken.
Station 4Dreisatz: gerade oder umgekehrt?
4 Arbeiter brauchen für eine Mauer 9 Tage. Wie lange brauchen 6 Arbeiter?
Erst fragen: je mehr – desto mehr oder desto weniger?
Gerader Dreisatz (je mehr Liter, desto mehr Kilometer): Beide Seiten bekommen denselben Rechenschritt. : 6 links → : 6 rechts, · 10 links → · 10 rechts. Der Quotient bleibt gleich: 15 km pro Liter.Umgekehrter Dreisatz (je mehr Arbeiter, desto weniger Tage): Die Seiten bekommen den umgekehrten Schritt. : 4 links → · 4 rechts, · 6 links → : 6 rechts. Das Produkt bleibt gleich: 4 · 9 = 36 Arbeitstage = 6 · 6.
Falle: Wer beim umgekehrten Dreisatz wie beim geraden rechnet, bekommt 13,5 Tage – mehr Leute, mehr Zeit? Das kann nicht stimmen. Und „2 Arbeiter mehr, also 2 Tage weniger“ (oder mehr) ist auch falsch: Der Dreisatz rechnet mit Mal und Geteilt, nicht mit Plus und Minus.
Station 5Fehlerfahnder
In jeder dieser Rechnungen steckt genau ein typischer Fehler. In welcher Zeile passiert er zum ersten Mal? Tipp auf „Hier?“ neben der Zeile, die du verdächtigst.
Fall 1/6
Fallen entdeckt0 von 6in dieser Runde
Fehlversuche0vor dem Treffer
Die sieben Fallen dieser Seite
- Prozentzahl als Ergebnis / durch p geteilt – 1 % ist das Ganze durch 100 (Station 1).
- Falscher Grundwert – der gegebene Betrag ist der Teil, nicht das Ganze (Station 2).
- Quotient verkehrt – Prozentsatz = Teil : Ganzes (Station 2).
- Rabatt statt Endpreis und Prozent als Euro – erst den Teil ausrechnen, dann abziehen (Station 3).
- Grundwert gewechselt – + 20 % und − 20 % heben sich nicht auf (Station 3).
- Nicht auf eins gerechnet – erst eins, dann viele (Station 4).
- Umgekehrter Dreisatz wie gerader – mehr Arbeiter brauchen weniger Tage (Station 4).
Wie aus „per cento“ das Zeichen % wurde belegt
Italienische Kaufmannshandschriften, ca. 1425 – 1650
Italienische Kaufleute rechneten Zinsen, Gewinne und Abgaben „per cento“, also für je hundert. Weil sie das ständig schreiben mussten, kürzten sie es ab: In einer Handschrift aus der Zeit um 1425 steht „p c“ mit einem kleinen Kringel am c. Über viele Generationen von Schreibern wurde aus dem Kringel-c ein Bruch-ähnliches „°/o“, im 17. Jahrhundert schrieb man „per °/o“. Irgendwann fiel das „per“ ganz weg – übrig blieb %. Die Pointe: Niemand hat das Prozentzeichen erfunden. Es ist eine Abkürzung, die sich beim schnellen Schreiben abgeschliffen hat.
Was das mit dir zu tun hat: Lies % immer als „von hundert“ – und frag sofort: hundert von was? Genau diese Frage schützt dich vor fast allen Fallen auf dieser Seite.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Trag dein Ergebnis bei „Deine Antwort“ ein: Tappst du in eine typische Falle, sagt dir die Seite, welche es war. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Prozent: das Ganze, der Teil, der Satz
Die drei GrößenGrundwert G = das Ganze = 100 %
Prozentwert W = der Teil
Prozentsatz p % = wie viele Hundertstel
Prozentwert W = der Teil
Prozentsatz p % = wie viele Hundertstel
FormelnW = G · p : 100
p % = W : G
G = W · 100 : p
p % = W : G
G = W · 100 : p
Bausteine im Kopf50 % = Hälfte · 25 % = Viertel
10 % = G : 10 · 5 % = Hälfte von 10 %
1 % = G : 100
10 % = G : 10 · 5 % = Hälfte von 10 %
1 % = G : 100
Dreisatz (gerade)Erst auf eins, dann auf die neue Anzahl. Links und rechts derselbe Schritt: : 3 ↔ : 3, · 5 ↔ · 5
So arbeitest du: Erst selbst rechnen, dann die Antwort prüfen. Hilfe 1 → 2 → 3 nur, wenn du feststeckst. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Mit Faktoren rechnen – und den Grundwert im Blick behalten
Abschlag (Rabatt)p % weniger → · (100 − p) : 100
25 % Rabatt: · 0,75
25 % Rabatt: · 0,75
Aufschlag (Steuer)p % mehr → · (100 + p) : 100
19 % Mehrwertsteuer: · 1,19
19 % Mehrwertsteuer: · 1,19
Hin und zurückDer zweite Schritt bezieht sich auf den neuen Wert:
· 1,2 · 0,8 = · 0,96
· 1,2 · 0,8 = · 0,96
Prozentuale Änderungp % = Änderung : alter Wert
Dreisatz (umgekehrt)Je mehr – desto weniger. Das Produkt bleibt gleich: · 4 ↔ : 4
So arbeitest du: Hier musst du rückwärts denken oder mehrere Schritte verketten. Zeichne immer zuerst den Streifen oder die Tabelle – und frag bei jedem Schritt: Was ist jetzt das Ganze?
Rückwärts und in Ketten
Alter Wert gesuchtneuer Wert = alter Wert · Faktor
→ alter Wert = neuer Wert : Faktor
→ alter Wert = neuer Wert : Faktor
Ohne SteuerBruttopreis = 119 %
Nettopreis = Brutto : 119 · 100
Nettopreis = Brutto : 119 · 100
ZinsenZ = K · p : 100 · m : 12
(K Kapital, m Monate)
(K Kapital, m Monate)
Zwei RabatteFaktoren malnehmen, nicht Prozente addieren:
0,8 · 0,9 = 0,72 → 28 % Rabatt
0,8 · 0,9 = 0,72 → 28 % Rabatt
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Welcher Teil des Streifens ist bekannt – in Prozent und als Zahl? Wie viele solche Teile (oder kleinere Stücke davon) passen in den ganzen Streifen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Halbiere: 40 % sind 18, also sind 20 % genau 9. Wie oft passt 20 % in den ganzen Streifen (100 %)?Hilfe 3 – Lösung
20 % ≙ 9, also 100 % ≙ 5 · 9 = 45. x = 45.Kontrolle: 40 % von 45 = 45 : 10 · 4 = 18 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Rechtecken? Was ist an beiden gleich, obwohl sie ganz verschieden aussehen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Flächen sind gleich groß: 18 · 8 = 9 · x. Die Breite wird halbiert – was muss dann mit der Höhe passieren?Hilfe 3 – Lösung
18 · 8 = 144 = 9 · x, also x = 16.Wie beim umgekehrten Dreisatz: halbe Breite, doppelte Höhe – das Produkt bleibt gleich.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen die gestrichelten Linien? Von welchem Streifen wird das zweite x % abgeschnitten – vom ersten oder vom verlängerten? Ist das derselbe Grundwert?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Probier Zahlen: Für x = 20 wird aus 100 erst 120, dann 120 − 24 = 96. Zu viel. Wie groß muss x sein, damit 84 herauskommt?Hilfe 3 – Lösung
x = 40: 100 → 140 → 140 − 40 % von 140 = 140 − 56 = 84 ✓. x = 40.Allgemein: 100 · (1 + x) · (1 − x) = 100 · (1 − x²) = 84, also x² = 0,16 und x = 0,4 = 40 %.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.