So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Schätz zuerst – ehrlich und schnell. Dann spielst du die Animation ab und schaust genau hin. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: die Folge selbst · die Kopie (gedreht oder verschoben) · bleibt gleich · ändert sich
Station 1Die Treppe und ihr Spiegelbild
Der Legende nach sollte eine Schulklasse die Zahlen von 1 bis 100 addieren – und der junge Carl Friedrich Gauß war nach wenigen Augenblicken fertig. Wie groß ist 1 + 2 + 3 + … + 100? Schätz in zehn Sekunden.
Deine Schätzung:
Schritt 0/3
Treppe: Summe s–bleibt beim Drehen gleich
Rechteck n · (a1 + an)–zwei Treppen
s = Rechteck : 2–stimmt immer
Zwei Treppen ergeben ein Rechteck
Legst du die gedrehte Kopie auf die Treppe, entsteht ein Rechteck: n Spalten, jede ist a1 + an hoch. Die Treppe ist genau die Hälfte davon: sn = a1 + a2 + … + an = n · (a1 + an) : 2Das gilt für jede Folge mit gleichem Abstand (arithmetische Folge). Die Summe heißt arithmetische Reihe.
1 bis 100: 100 Spalten mit je 1 + 100 = 101, also 100 · 101 : 2 = 5050. In Worten: Anzahl mal Durchschnitt aus erstem und letztem Glied.
Station 2Das Schachbrett
Ein Weiser wünscht sich als Lohn Reiskörner: 1 Korn auf das erste Feld des Schachbretts, 2 auf das zweite, 4 auf das dritte – auf jedes Feld doppelt so viele wie auf das vorige. Der König lacht über den bescheidenen Wunsch. Wie viel Reis liegt am Ende auf allen 64 Feldern?
Feld 1
Gerechnet mit 1 Reiskorn ≈ 0,02 g (rund 50 Körner pro Gramm).
Körner auf Feld k–
alle Felder 1 bis k zusammen–
Masse zusammen–
Jedes Feld ist größer als alle vorigen zusammen
Auf Feld k liegen 2k − 1 Körner. Alle Felder bis k zusammen sind 1 + 2 + 4 + … + 2k − 1 = 2k − 1 – also nur ein Korn weniger als auf dem nächsten Feld.Für das ganze Brett: 264 − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Körner. Mit 0,02 g pro Korn sind das rund 369 Milliarden Tonnen Reis – über 400 Jahre der heutigen Welternte (rund 800 Millionen Tonnen pro Jahr). In LKWs mit je 25 t Ladung und 16 m Länge, Stoßstange an Stoßstange, reicht die Kolonne rund 5900-mal um die Erde.
Mit nur 1 Korn mehr pro Feld wären es 1 + 2 + … + 64 = 2080 Körner – keine 42 Gramm. Verdoppeln und Dazuzählen sind zwei völlig verschiedene Welten.
Sissa und das Schachbrett Legende
Indien oder Persien, Schach ab ca. 600 n. Chr. belegt; die Geschichte wurde erst Jahrhunderte später aufgeschrieben
Ein weiser Mann, in vielen Fassungen Sissa genannt, soll das Schachspiel erfunden haben, um einem herrischen König zu zeigen: Der König allein kann nichts – er braucht alle anderen Figuren. Der König war begeistert und gewährte ihm einen Wunsch. Sissa wünschte sich Körner, Feld für Feld verdoppelt. Der König fand das lächerlich wenig – bis seine Rechenmeister nach Tagen meldeten, dass alle Kornkammern des Reiches nicht reichen. Die Pointe: Der König war nicht geizig, sondern hatte sich verrechnet – er hat Verdoppeln mit Dazuzählen verwechselt.
Was das mit dir zu tun hat: Wer bei Zinseszins, Virusausbreitung oder Kettenbriefen „ungefähr“ schätzt, macht oft denselben Fehler wie der König.
Station 3Der Verschiebe-Trick: q · s − s
Für die Verdopplungs-Summe gibt es keine Treppe zum Umdrehen. Was passiert, wenn du die ganze Summe verdoppelst und sie dann einen Platz nach rechts schiebst?
Schritt 0/4
s (einfach addiert)–bleibt gleich
nach dem Verschieben übrig–nur zwei Zahlen
Formel–gleiches Ergebnis
Alles in der Mitte hebt sich weg
Für s = a1 + a1q + a1q² + … + a1qn − 1 (gleicher Faktor q, geometrische Reihe) gilt: In q · s ist jeder Summand um einen Platz nach rechts gerutscht. Ziehst du s ab, bleiben nur das letzte Glied von q · s und das erste von s übrig: q · s − s = a1 · qn − a1 ⇒ sn = a1 · (qn − 1) : (q − 1) (für q ≠ 1)Mit q = 2 und a1 = 1: s = 2n − 1 – die Schachbrett-Formel. Mit q = ½ kommt s nie über 2 hinaus: Es fehlt immer genau das letzte Stück.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Summen von Folgen
Arithmetische Reihesn = n · (a1 + an) : 2
mit an = a1 + (n − 1) · d
mit an = a1 + (n − 1) · d
Anzahl der Gliedervon a1 bis an: n = (an − a1) : d + 1
Geometrische Reihesn = a1 · (qn − 1) : (q − 1)
Kopfrechen-Hilfen210 = 1024 · 35 = 243 · 45 = 1024 · 54 = 625
So arbeitest du: Hier musst du rückwärts rechnen, abschätzen oder begründen. Probier zuerst mit kleinen Zahlen und mach eine Skizze.
Werkzeuge für Experten
Arithmetisch rückwärtssn = n · a1 + n · (n − 1) · d : 2 → quadratische Gleichung für n
Verschiebe-Trickq · s − s = a1 · qn − a1
Unendlich viele SummandenFür 0 < q < 1: s = a1 : (1 − q)
Abschätzen210 ≈ 1000 · 220 ≈ 1 Million · 230 ≈ 1 Milliarde
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Waage ist im Gleichgewicht. Was weißt du dann über beide Seiten? Und wie hängen die Zahlen rechts zusammen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rechts liegt jede Zweierpotenz von 1 bis 256 genau einmal. Addiere sie – oder denk an das Schachbrett: Wie viel fehlt der Summe aller vorigen Felder bis zum nächsten Feld?Hilfe 3 – Lösung
1 + 2 + 4 + … + 256 = 29 − 1 = 511. Gleichgewicht: 511 + x = 512, also x = 1.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
Anzahl der Dosen: x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Musst du wirklich jede Dose zählen? Wie viele liegen in der obersten, wie viele in der untersten Reihe – und wie viele Reihen sind es?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Oben 3, unten 12, jede Reihe eine mehr: Das sind 10 Reihen. Stell dir eine zweite, umgedrehte Pyramide daneben vor: Jede Reihe hat dann zusammen 3 + 12 Dosen.Hilfe 3 – Lösung
10 Reihen mit je 3 + 12 = 15 Dosen ergeben bei zwei Pyramiden 150 Dosen. Eine Pyramide ist die Hälfte: x = 75.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Jedes Stück ist halb so lang wie das davor – ohne Ende. Was passiert mit dem Rest der Strecke, nachdem das erste Stück weggenommen ist?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Hinter dem ersten Stück 24 liegen 12 + 6 + 3 + … – das ist genau die halbe Strecke x. Also ist das erste Stück die andere Hälfte.Hilfe 3 – Lösung
x = 24 + x : 2, also x : 2 = 24 und x = 48.Mit der Formel: s = 24 : (1 − ½) = 48. Die Summe kommt der 48 beliebig nahe.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.