So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: waagrechter Schritt Δt bzw. Δx · senkrechter Schritt Δs bzw. Δy · Sekante (durch zwei Punkte) · Tangente (berührt in einem Punkt) · fester Punkt P
Station 1Was heißt 12 % Steigung?
Am Straßenrand steht ein Schild mit „12 %“. Ist die Straße dann 12° steil? Und was hieße 100 %?
waagrecht100 mbleibt gleich
Höhenunterschied–ändert sich
Steigung m = Höhe : waagrecht–ändert sich
Steigungswinkel α–ändert sich
Steigung = hoch durch weit
Die Steigung vergleicht zwei Strecken: m = Höhenunterschied : waagrechte Strecke12 % heißt: auf 100 m waagrecht 12 m hinauf, also m = 0,12. Der Winkel dazu ist nur etwa 6,8° (tan α = 0,12).
100 % heißt: genauso viel hinauf wie vorwärts – das ist der Winkel 45°. Eine senkrechte Wand hätte gar keine Prozentzahl: Man käme hinauf, ohne vorwärts zu kommen.
Für Kurven fragen wir gleich: Wie steil ist es genau an einer Stelle? Dort gibt es kein festes Steigungsdreieck mehr.
Station 2Der Punkt Q rückt heran
Ein Auto fährt los. Nach t Sekunden hat es s = 2t² Meter geschafft. Was zeigt sein Tacho genau bei t = 3 s? Aus zwei Punkten auf der Kurve bekommst du nur einen Mittelwert …
Deine Schätzung: m/s
Du kannst Q auch selbst ziehen.
fester Punkt Pt = 3 s, s = 18 mbleibt gleich
Zeitschritt Δt = h–ändert sich
Wegstück Δs–ändert sich
Sekantensteigung Δs : Δt–mittlere Geschwindigkeit
| Q bei t (s) | Δt = h (s) | Δs (m) | Δs : Δt (m/s) |
|---|
Werdende Nullen
Die Gerade durch P und Q heißt Sekante. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient (s(3 + h) − s(3)) : h – die mittlere Geschwindigkeit zwischen P und Q.Rückt Q an P heran, werden Δs und Δt beide winzig: „werdende Nullen“. Ihr Verhältnis wird aber nicht null, sondern nähert sich von beiden Seiten 12. Für Q = P stünde dort 0 : 0 – das kann man nicht rechnen, nur ansteuern.
Die Grenzlage der Sekante ist die Tangente in P. Ihre Steigung, 12 m/s, ist die Momentangeschwindigkeit: genau das, was der Tacho bei t = 3 s zeigt.
Station 3Die Lupe
Die Wegkurve ist krumm. Was siehst du, wenn du immer näher an den Punkt P heranzoomst?
Punkt P(3 | 18)bleibt in der Mitte
Ausschnitt-Breite–ändert sich
Abweichung von einer Geraden–in % der Fensterhöhe
Im Kleinen gerade
Eine glatte Kurve sieht unter der Lupe wie eine Gerade aus – je stärker du vergrößerst, desto gerader. Diese Gerade ist die Tangente in P. Darum hat eine glatte Kurve an jeder Stelle eine bestimmte Steigung.Bei einem Knick klappt das nicht: Links und rechts bleiben zwei verschiedene Geraden, egal wie stark du vergrößerst. Dort gibt es keine Tangente – und keinen eindeutigen Tacho-Wert.
Station 4Das Differenzdreieck: rechnen statt zeichnen
Die Tabelle hat 12 nur „angesteuert“. Kann man die 12 auch genau ausrechnen – ohne Tabelle? Schau, in welche zwei Teile das Wegstück Δs zerfällt.
Stelle t₀:
Schritt 0/5
Teil bis zur Tangente–wächst mit h
Rest 2h²–schrumpft viel schneller
Anteil des Rests an Δs–geht gegen 0 %
Δs : h–steuert auf 12 zu
Die Ableitung
Für s = 2t² gilt an jeder Stelle t₀: Δs : h = (2(t₀ + h)² − 2t₀²) : h = 4t₀ + 2hDer Rest 2h ist eine werdende Null. Übrig bleibt die Steigung der Tangente: v(t₀) = 4t₀ – bei t₀ = 3 also 12 m/s, bei t₀ = 1 nur 4 m/s.
Die neue Funktion, die zu jeder Stelle die Steigung liefert, heißt Ableitung. Man schreibt s′(t) = 4t. Genauso findest du für f(x) = x² die Ableitung f′(x) = 2x und für f(x) = x³ die Ableitung f′(x) = 3x².
Station 5Weg, Tacho, Beschleunigung
Oben fährt ein Auto, darunter entsteht sein Weg-Zeit-Bild. Kannst du am Weg-Bild ablesen, wann die Tachonadel ganz rechts steht – und wann das Auto steht?
Weg s–Höhe im oberen Bild
Tacho v–Steigung der Wegkurve
Beschleunigung a–Steigung der Tachokurve
Steigung von der Steigung
Die Tachonadel zeigt in jedem Augenblick die Tangentensteigung der Wegkurve: v = s′. Wo die Wegkurve steil ist, fährt das Auto schnell. Wo ihre Tangente waagrecht ist, steht es.Zeichnest du die Tachowerte auf, entsteht eine neue Kurve. Deren Steigung ist die Beschleunigung: a = v′. Beim Bremsen fällt die Tachokurve, die Beschleunigung ist negativ.
Bei s = 2t² ist v = 4t und a = 4 m/s² – jede Sekunde 4 m/s mehr.
Newton und die fließenden Größen belegt
Isaac Newton · ca. 1643 – 1727 · England
1665 schloss die Universität Cambridge wegen der Pest, und der junge Isaac Newton ging zurück auf den Hof seiner Mutter. Dort dachte er sich Größen aus, die mit der Zeit „fließen“ – Weg, Höhe, Fläche – und fragte nach ihrer Fließgeschwindigkeit. Er nannte sie Fluxion. Sein Trick: einen winzigen Zeitschritt o einsetzen, ausrechnen, durch o teilen und dann alles streichen, was noch ein o enthält – genau wie du an Station 4. Veröffentlicht hat er seine Fluxionsrechnung erst Jahrzehnte später. Die Pointe: Mit derselben Idee rechnete er aus, dass der Mond in jeder Sekunde ein Stückchen auf die Erde zu „fällt“ – und sie trotzdem nie trifft.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du an Station 4 den Rest 2h verschwinden lässt, machst du dasselbe wie Newton mit seinem o.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Steigung und Änderungsrate
Steigung einer Geradenm = Δy : Δx
in Prozent: m · 100 %
Winkel: tan α = m
in Prozent: m · 100 %
Winkel: tan α = m
Mittlere Änderungsratezwischen a und b:
(f(b) − f(a)) : (b − a)
= Steigung der Sekante
(f(b) − f(a)) : (b − a)
= Steigung der Sekante
Momentane Änderungsrate(f(x₀ + h) − f(x₀)) : h
für immer kleinere h
= Steigung der Tangente
für immer kleinere h
= Steigung der Tangente
Weg und Zeitmittlere Geschwindigkeit = Δs : Δt
Tacho = Momentangeschwindigkeit
1 m/s = 3,6 km/h
Tacho = Momentangeschwindigkeit
1 m/s = 3,6 km/h
So arbeitest du: Hier rechnest du mit Buchstaben. Schreib den Differenzenquotienten hin, multipliziere aus, kürze h – und lass erst ganz am Ende h zur werdenden Null werden.
Werkzeuge für Experten
Differenzenquotient(f(x + h) − f(x)) : h
ausmultiplizieren, h kürzen, dann h → 0
ausmultiplizieren, h kürzen, dann h → 0
Ableitungen (bisher)f(x) = c · x² → f′(x) = 2c · x
f(x) = b · x → f′(x) = b
f(x) = c (Zahl) → f′(x) = 0
f(x) = x³ → f′(x) = 3x²
f(x) = b · x → f′(x) = b
f(x) = c (Zahl) → f′(x) = 0
f(x) = x³ → f′(x) = 3x²
Tangente in P(x₀ | f(x₀))m = f′(x₀)
y = m · (x − x₀) + f(x₀)
y = m · (x − x₀) + f(x₀)
Binomische Formeln(a + h)² = a² + 2ah + h²
(a + h)³ = a³ + 3a²h + 3ah² + h³
(a + h)³ = a³ + 3a²h + 3ah² + h³
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Beide Dreiecke hängen an derselben geraden Linie. Was haben sie deshalb gemeinsam?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Dieselbe Gerade hat überall dieselbe Steigung: senkrecht durch waagrecht ist in beiden Dreiecken gleich. Also 2 : 8 = x : 20.Hilfe 3 – Lösung
2 : 8 = 0,25. Also x = 0,25 · 20 = 5.Oder: 20 ist das 2,5-Fache von 8, also ist x das 2,5-Fache von 2.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die rote Gerade berührt die Parabel nur in einem Punkt. Was weißt du dort über ihre Steigung – und wie hoch liegt der Berührpunkt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Berührpunkt ist (3 | 9). Die Steigung von x² an der Stelle 3 ist 2 · 3 = 6. Wie viele Schritte nach links brauchst du, um mit dieser Steigung von 9 auf 0 hinunterzukommen?Hilfe 3 – Lösung
Pro Schritt nach links geht es 6 hinunter. Von 9 auf 0 sind das 9 : 6 = 1,5 Schritte. Also x = 3 − 1,5 = 1,5.Erstaunlich: Bei der Normalparabel landet die Tangente immer bei der Hälfte.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der Berührpunkt liegt auf der Parabel – nenne ihn (u | u²). Die rote Linie hat dort eine Steigung. Kannst du diese Steigung auf zwei Wegen ausdrücken?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Weg 1: Die Steigung von x² an der Stelle u ist 2u. Weg 2: Die Linie geht von (0 | −4) nach (u | u²), ihre Steigung ist (u² + 4) : u. Beide müssen gleich sein.Hilfe 3 – Lösung
2u = (u² + 4) : u, also 2u² = u² + 4, also u² = 4 und (rechts) u = 2. Also x = 2.Probe: Die Linie y = 4x − 4 geht durch (0 | −4) und (2 | 4), und die Steigung von x² bei 2 ist 4 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.