So arbeitest du: Hier geht es um vier Rechenfallen, in die fast alle einmal tappen. Jede Station zeigt dir, warum die Falle eine Falle ist. Überlege zuerst, was du vermutest. Dann probierst du es aus. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. In der letzten Station jagst du die Fallen selbst.
Farben: a und a² (orange) · b und b² (blau) · Rechteck a · b (violett) · Hypotenuse und Fehler (rot)
Station 1Das vergessene Mittelstück
Ein Quadrat hat die Seite a + b. Daneben liegen die Quadrate a² und b². Füllen a² und b² zusammen das große Quadrat (a + b)² aus?
Schritt 0/3
großes Quadrat (a + b)²–Kästchen
nur a² + b²–zu wenig
Lücke: 2 · a · b–zwei Rechtecke
a² + 2ab + b²–passt genau
Ein Quadrat aus vier Teilen
(a + b)² = a² + 2ab + b² und nicht a² + b².Das Mittelstück 2ab sind die zwei Rechtecke. Wer es vergisst, rechnet (12 + 3)² = 144 + 9 = 153 statt 225.
Genauso: (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b².
Mehr Flächenpuzzles dazu: Zahlen als Flächen, Station 1.
Station 2Verdoppeln ist nicht mal zwei
Links legst du jedes Mal 2 dazu: 2 · n. Rechts verdoppelst du jedes Mal: 2ⁿ. Was ist bei n = 10 größer?
Basis:
n = 1
Hochzahl n–wie oft
b · n (addieren)–wächst langsam
bⁿ (malnehmen)–wächst rasant
Verhältnis–bⁿ : (b · n)
Die Hochzahl zählt die Faktoren
2⁷ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128 aber 2 · 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14Ein Produkt ist wiederholtes Addieren, eine Potenz ist wiederholtes Malnehmen. Die Falle „Basis mal Hochzahl“ macht aus 7² = 49 die Zahl 14 und aus 4³ = 64 die Zahl 12.
Auch die Reihenfolge zählt: 2⁵ = 32, aber 5² = 25.
Station 3Faktoren zählen statt Regeln raten
Drei Potenzgesetze, drei Rechenzeichen: plus, minus, mal. Wer sie verwechselt, liegt falsch. Was ist (a³)⁴?
gezählt–Faktoren a
Regel–passt zum Zählen
Falle–falsches Rechenzeichen
Ausschreiben ist der sichere Weg
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ Faktoren aneinanderreihen: a³ · a⁴ = a⁷ (nicht a¹²).aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ jeder Faktor unten kürzt einen oben: a⁸ : a² = a⁶ (nicht a⁴).
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ n Reihen mit je m Faktoren: (a³)⁴ = a¹² (nicht a⁷).
Weißt du nicht mehr, ob plus oder mal: Schreib eine kleine Potenz aus und zähle. Mehr dazu: Stifels Zahlenpaar.
Station 4Die Wurzel lässt sich nicht verteilen
√9 + √16 = 3 + 4 = 7. Und √(9 + 16) = √25 = 5. Darf man die Wurzel auf die beiden Summanden verteilen?
√a² + √b² = a + b–Weg über die Katheten
√(a² + b²) = c–Hypotenuse
Unterschied–Umweg
Mal-Probe √(a² · b²)–= √a² · √b² klappt
√(a + b) ist nicht √a + √b
Die Katheten sind √a² und √b². Die Hypotenuse ist √(a² + b²). Zwei Katheten hintereinander sind immer ein Umweg – also ist √(9 + 16) = 5 < √9 + √16 = 7Bei Mal und Geteilt darfst du die Wurzel verteilen: √(16 · 49) = √16 · √49 = 4 · 7 = 28. Bei Plus und Minus nicht.
Der Strich über der Wurzel wirkt wie eine Klammer: Erst ausrechnen, was darunter steht, dann die Wurzel ziehen.
Station 5Fehlerfahnder
In jeder Rechnung steckt genau eine Falle aus den Stationen 1 bis 4. Tipp die Zeile an, in der es zum ersten Mal falsch wird.
Fall 1 von 6
Fallen entdeckt0 von 6in dieser Runde
Fehlgriffe0Zeilen, die noch stimmten
Bis wohin stimmt es?
Prüf Zeile für Zeile: Ist der Schritt von der vorigen Zeile zu dieser erlaubt? Die Fehler sitzen fast immer an denselben Stellen:Binom ohne Mittelstück · Potenz als Produkt · Hochzahlen mit dem falschen Rechenzeichen · Wurzel aus einer Summe zerlegt.
Kleine Zahlen als Probe helfen immer: Setz x = 1 oder a = 2 ein und vergleiche die Zeilen.
Christoph Rudolff und der Haken ohne Dach belegt
Christoph Rudolff · ca. 1500 – ca. 1545 · Rechenlehrer in Wien · Buch „Coss“, gedruckt 1525 in Straßburg
Rudolff schrieb eines der ersten Algebra-Bücher auf Deutsch, für Leute, die kein Latein konnten. Darin steht zum ersten Mal gedruckt ein Wurzelzeichen: ein schräger Haken √. Vermutlich ist er aus einem kleinen r für „radix“ (Wurzel) entstanden. Rudolffs Haken hatte aber noch keinen Strich obendrauf. Wie weit die Wurzel reichte, musste man aus dem Text erraten. Der Querstrich, der heute zeigt, was alles „unter der Wurzel“ steht, setzte sich erst rund hundert Jahre später durch.
Was das mit dir zu tun hat: Der Strich über √(9 + 16) ist eine Klammer. Er sagt: erst addieren, dann die Wurzel – genau die Falle aus Station 4.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Trag dein Ergebnis ein und drück Prüfen. Tappst du in eine bekannte Falle, sagt dir die Seite, welche es ist. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Binome, Potenzen, Wurzeln – die Grundregeln
Binomische Formeln(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Potenzbⁿ = b · b · … · b (n Faktoren)
2⁵ = 32, nicht 2 · 5 = 10
2⁵ = 32, nicht 2 · 5 = 10
Gleiche Basis malnehmenaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Wurzel√(a · b) = √a · √b
√(a + b) ≠ √a + √b
√(a + b) ≠ √a + √b
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Prüfen. Hilfe 1 → 2 → 3, wenn du feststeckst. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Potenzgesetze und Binome mit Faktor
Malnehmenaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Teilenaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potenz einer Potenz(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Faktor mitquadrieren(3x)² = 3x · 3x = 9x²
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
So arbeitest du: Hier musst du Regeln rückwärts benutzen oder kombinieren. Mach dir eine Skizze oder schreib eine kleine Potenz aus, wenn du unsicher bist.
Werkzeuge für Experten
Quadrat ergänzenx² + 2kx + k² = (x + k)²
Zahl vor x halbieren, dann quadrieren.
Zahl vor x halbieren, dann quadrieren.
Basen angleichen4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 27 = 3³, 25 = 5²
Raumdiagonaled = √(a² + b² + c²)
Geschickt rechnen47² = (50 − 3)²
53 · 47 = (50 + 3)(50 − 3)
53 · 47 = (50 + 3)(50 − 3)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die Zahlen stehen in Quadraten. Was bedeutet eine Zahl in einem Quadrat – und wie lang ist dann seine Seite?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Zahlen sind Flächen. Ein Quadrat mit der Fläche 49 hat die Seite 7. Die untere Seite x besteht aus der Seite des einen und der Seite des anderen Quadrats.Hilfe 3 – Lösung
√49 = 7 und √9 = 3, also x = 7 + 3 = 10.Achtung Falle: √(49 + 9) = √58 ≈ 7,6 wäre falsch – die beiden Rechtecke fehlen dann. Das ganze Quadrat ist 10² = 100 = 49 + 2 · 21 + 9.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die 39 steht nicht in einem Quadrat, sondern in einem Winkelstück. Was ist die ganze Figur – und wie groß ist sie zusammen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das kleine Quadrat und das Winkelstück bilden zusammen das große Quadrat. Rechne zuerst seine Fläche aus, dann die Seite.Hilfe 3 – Lösung
Fläche: 25 + 39 = 64, also x = √64 = 8.Falle: √25 + √39 wäre falsch – erst addieren, dann die Wurzel. Probe: Das Winkelstück ist 8² − 5² = 64 − 25 = 39 ✓.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Das große Quadrat besteht aus dem schrägen Quadrat und vier Ecken. Sind die vier Ecken gleich? Was weißt du über ihre beiden kurzen Seiten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jede Seite 17 zerfällt in x und den Rest y = 17 − x. Die vier Ecken sind Dreiecke mit den Seiten x und y. Ziehe vom großen Quadrat das schräge ab: Was bleibt für die vier Dreiecke?Hilfe 3 – Lösung
17² − 169 = 289 − 169 = 120. Die vier Dreiecke haben zusammen 4 · x · y : 2 = 2xy = 120, also x · y = 60 und x + y = 17.Das passt nur für 5 und 12. x ist das kurze Stück: x = 5.
Probe: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ✓ – das ist die Seite 13 des schrägen Quadrats. Das ist das Mittelstück aus Station 1: (x + y)² = x² + y² + 2xy.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.