So geht’s: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege oder schätze zuerst, dann probierst du an der Grafik aus. Erst danach deckst du den Merksatz auf. Farben: a orange · b blau · x grün · Flächen violett · Umformungen dunkelgelb.
1 · Ein Quadrat aus vier Teilen
Ist (5 + 3)² dasselbe wie 5² + 3²?
Das steckt dahinter
Jede binomische Formel ist ein Flächenbild:(a + b)² = a² + 2ab + b² vier Teile ergeben das große Quadrat.
(a − b)² = a² − 2ab + b² zwei Streifen weg, das Eck einmal zurück.
(a + b)(a − b) = a² − b² Eck weg, Streifen umlegen.
Achtung, häufiger Fehler: (a + b)² ist nicht a² + b². Die zwei Rechtecke ab fehlen sonst!
2 · Kopfrechnen wie ein Profi
Wie rechnest du 31² oder 54 · 46 im Kopf – ohne Taschenrechner?
Dein Ergebnis:
Zahl n (21 … 99):
Das steckt dahinter
Zerlege die Zahl in eine Zehnerzahl und einen kleinen Rest:31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961 38² = (40 − 2)² = 1600 − 160 + 4 = 1444
Liegen zwei Zahlen gleich weit von einer Mitte entfernt, hilft die dritte Formel:
54 · 46 = (50 + 4)(50 − 4) = 50² − 4² = 2500 − 16 = 2484
3 · Quadrate wachsen mit Winkelhaken
Was kommt heraus, wenn du die ungeraden Zahlen addierst: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = ?
Dein Tipp:
Dreieckszahlen: zwei Treppen ergeben ein Rechteck
Wie viele Kästchen hat eine Treppe mit n Stufen: 1 + 2 + 3 + … + n?
Das steckt dahinter
Ein Winkelhaken um das Quadrat n² hat n + n + 1 = 2n + 1 Kästchen. Darum gilt:1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² und (n + 1)² − n² = 2n + 1
Zwei gleiche Treppen ergeben ein Rechteck n · (n + 1). Eine Treppe ist die Hälfte davon:
1 + 2 + 3 + … + n = n · (n + 1) : 2 z. B. 1 + 2 + … + 100 = 100 · 101 : 2 = 5050
4 · Das Puzzle des Al-Chwarizmi
Um 830 schrieb der Gelehrte Al-Chwarizmi in Bagdad ein Buch über das Lösen von Gleichungen. Er hatte noch keine Formeln mit Buchstaben – er löste Gleichungen mit Flächen.
Welche Zahl x erfüllt x² + 10x = 39? Probier aus!
x =
Erklärvideo (Lehrer Schmidt): quadratische ErgänzungErklärvideo (Lehrer Schmidt): Mitternachtsformel
Das steckt dahinter: die quadratische Ergänzung
x² + px=q
x² + px + (p/2)²=q + (p/2)²| + (p/2)²
(x + p/2)²=q + (p/2)²Ergänzung zum Quadrat
x + p/2=± √(q + (p/2)²)| √
x=− p/2 ± √(q + (p/2)²)| − p/2
Steht die Gleichung als ax² + bx + c = 0 da, teilst du zuerst durch a. Dann ist p = b/a und q = −c/a. Setzt du das ein, entsteht die Mitternachtsformel: x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) : (2a)
Das ± kommt daher, dass auch eine negative Zahl beim Quadrieren positiv wird. Al-Chwarizmi kannte nur positive Lösungen – darum fand er nur eine.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen – die Lösung rechnet sich mit.
Formeln – jede ist ein Flächenbild
1. binomische Formel(a + b)² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel(a − b)² = a² − 2ab + b²
3. binomische Formel(a + b)(a − b) = a² − b²
Kopfrechnen37² = (40 − 3)² = 1600 − 240 + 9 = 1369
Ungerade Zahlen1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
Mittleres Niveau: Jetzt geht es auch rückwärts – vom Term zum Flächenbild. Hilfen und neue Aufgaben wie gewohnt.
Formeln – vorwärts und rückwärts
Rückwärts (Faktorisieren)x² + 2·k·x + k² = (x + k)²
x² − 2·k·x + k² = (x − k)²
x² − 2·k·x + k² = (x − k)²
Differenz zweier Quadratea² − b² = (a + b)(a − b)
Nachbar-Quadratzahlen(n + 1)² − n² = 2n + 1 = n + (n + 1)
Dreieckszahlen1 + 2 + … + n = n · (n + 1) : 2
Expertenniveau: Quadratische Gleichungen mit dem Flächenbild lösen, Begründungen und Sachaufgaben.
Formeln – quadratische Gleichungen
Quadratische Ergänzungx² + px = q | + (p/2)²
(x + p/2)² = q + (p/2)²
(x + p/2)² = q + (p/2)²
Lösungx = −p/2 ± √(q + (p/2)²)
Mitternachtsformelax² + bx + c = 0
x = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a)
x = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a)
HinweisSteht x² + px + q = 0 da (q links!), lautet die Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) (p-q-Formel).
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3ohne TRFigur 1 leicht · 2 mittel · 3 knifflig
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Welche Teile sind Quadrate, welche Rechtecke? Welche Seiten haben zwei Nachbarteile gemeinsam?
Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Lies aus dem Quadrat mit 36 seine Seite ab. Dieselbe Seite gehört auch zum Rechteck mit 30 – wie lang ist dann dessen andere Seite?
Hilfe 3 – Lösung
36 = 6 · 6 → Seite 6. 30 = 6 · 5 → andere Seite 5.
Das Quadrat unten rechts hat die Seite 5: F = 5 · 5 = 25.
Das Quadrat unten rechts hat die Seite 5: F = 5 · 5 = 25.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag es dir in einem Satz.
Vergleiche
Von der Fläche auf die Seite zurückschließen – und merken, dass Nachbarteile eine Seite teilen. So wird aus 36 und 30 das ganze Bild (6 + 5)².Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Die beiden Doppelstriche sagen: Das Ganze ist ein Quadrat. Wie breit ist der grüne Winkel überall? Wie lang ist dann die Seite des weißen Quadrats – ausgedrückt mit x?
Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zerschneide den grünen Winkel in zwei Rechtecke: eines 3 breit und x lang, das andere 3 breit und x − 3 lang. Zusammen sind sie 51.
Hilfe 3 – Lösung
3 · x + 3 · (x − 3) = 51 → 6x − 9 = 51 → 6x = 60 → x = 10.
Probe: 10² − 7² = 100 − 49 = 51 ✓
Probe: 10² − 7² = 100 − 49 = 51 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag es dir in einem Satz.
Vergleiche
Den Winkel in zwei Streifen zerlegen, deren Längen mit x ausgedrückt werden. Dann ist es nur noch eine einfache Gleichung.Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Was sagt das Gleichheitszeichen zwischen den beiden grünen Figuren? Welche der Flächen kannst du sofort ganz genau ausrechnen?
Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die grüne Fläche oben ist das große Quadrat ohne das kleine: 13 · 13 − x · x. Sie ist genauso groß wie das Rechteck unten.
Hilfe 3 – Lösung
13² − x² = 18 · 8 → 169 − x² = 144 → x² = 25 → x = 5.
Schön: 18 = 13 + 5 und 8 = 13 − 5.
Schön: 18 = 13 + 5 und 8 = 13 − 5.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag es dir in einem Satz.