So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: Würfel wegnehmen, Beutel dazulegen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Auf der Waage: Beutel x (alle gleich schwer, Inhalt unbekannt) Würfel = 1 Ballon = −1 (zieht nach oben) · | −4 Kommandostrich: das Vorhaben für beide Seiten
Station 1Was wiegt ein Beutel?
Die Waage steht gerade. In jedem Beutel steckt gleich viel – aber du darfst nicht hineinschauen. Wie viele Würfel wiegt ein Beutel?
Deine Schätzung: Würfel
Schritt 0/4
Waage–steht gerade
links–ändert sich
rechts–ändert sich
ein Beutel?erst am Ende sichtbar
Die Waage-Regel
Eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht. Sie bleibt im Gleichgewicht, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust: gleich viel wegnehmen, gleich viel dazulegen, beide Seiten gleich teilen.Dein Vorhaben schreibst du rechts hinter den Kommandostrich:
3x + 4 = 19 | −4
3x = 15 | :3
x = 5
Das Ziel ist immer: ein Beutel allein gegen Würfel. Den Beutel öffnen heißt Probe: 3 · 5 + 4 = 19 ✓
Station 2Hier kippt die Waage
Jetzt bist du dran. Lege Würfel und Beutel weg oder dazu – auf jeder Seite einzeln. Was passiert, wenn du nur auf einer Seite etwas tust? Und wie bekommst du einen Beutel ganz allein auf eine Seite?
Linke Schale
Rechte Schale
Waage–steht gerade
Gleichung jetzt–ändert sich
Zeilen im Protokoll1nur bei Gleichgewicht
So oft gekippt0einseitige Schritte
Der Kommandostrich entsteht aus der Handlung
Tust du nur auf einer Seite etwas, kippt die Waage: Aus „=“ wird „≠“. Erst wenn die andere Seite dasselbe erlebt, steht sie wieder gerade. Genau dieses „dasselbe“ schreibst du hinter den Strich:2x + 3 = x + 7 | −3 2x = x + 4 | −x x = 4
Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen: Die Gleichung sieht anders aus, hat aber dieselbe Lösung.
Manchmal steht die Waage auch nach ungleichen Schritten zufällig gerade – aber nur, weil ein Beutel gerade so viel wiegt. Wer x nicht kennt, darf sich darauf nicht verlassen.
Robert Recorde: Zwei Striche statt drei Wörter belegt
Wales und England, ca. 1512 – 1558
Recorde war Arzt und schrieb Rechenbücher – nicht auf Latein wie die Gelehrten, sondern auf Englisch, damit jeder sie lesen konnte. 1557 hatte er genug davon, in jeder Rechnung „ist gleich“ auszuschreiben. Er zeichnete stattdessen zwei waagrechte Striche: Nichts sei gleicher als zwei Parallelen. Seine Striche waren noch viel länger als unsere heute. Die Pointe: Der Mann, der der Welt das Zeichen für das Gleichgewicht schenkte, starb im Schuldgefängnis – seine eigene Rechnung ging nicht auf.
Was das mit dir zu tun hat: Jedes „=“, das du schreibst, ist eine kleine Waage: Links und rechts muss gleich viel liegen.
Station 3Ballons ziehen nach oben
An der linken Schale hängen Ballons. Jeder zieht so stark nach oben, wie ein Würfel nach unten drückt. Wie wirst du die Ballons los, ohne dass die Waage am Ende schief steht?
Schritt 0/3
Bilanz links–ändert sich
Bilanz rechts–ändert sich
Würfel + Ballon1 + (−1) = 0heben sich auf
Negatives wegnehmen heißt Positives dazulegen
Ein Ballon ist ein Minus-Gewicht – wie Schulden auf einem Konto. Drei Ballons tilgst du mit drei Würfeln: 3 + (−3) = 0. Weil die Waage gerade bleiben soll, bekommt die rechte Seite auch drei Würfel:x − 3 = 5 | +3 x = 8
Einen Ballon abschneiden wirkt genauso wie einen Würfel dazulegen: −(−1) = +1. Hängen rechts Ballons, kann rechts auch eine negative Zahl stehen: x − 3 = −2 | +3 ergibt x = 1.
Station 4Halbe Beutel, doppelte Beutel
Links liegt nur ein halber Beutel. Du willst aber wissen, was ein ganzer wiegt. Was darfst du mit beiden Seiten machen?
Schritt 0/2
Waageim Gleichgewichtnach jedem Schritt
Beutel links–ändert sich
Würfel rechts–ändert sich
Das Rezept für jede Gleichung
Auch Malnehmen und Teilen mit derselben Zahl (nicht 0) lassen die Waage im Gleichgewicht:½x = 5 | ·2 → x = 10 4x = 12 | :4 → x = 3
Rezept:
- Alle x auf eine Seite.
- Alles ohne x auf die andere Seite.
- Die Anzahl der x auf 1 bringen (teilen oder verdoppeln).
- Fertig – und die Probe machen.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Rechnung mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Alles geht ohne Taschenrechner.
Die Waage-Regel
Auf beiden Seiten dasselbeGleich viel wegnehmen, gleich viel dazulegen, beide Seiten gleich teilen oder verdoppeln.
Kommandostrichx + 7 = 12 | −7
x = 5
x = 5
ZielEin x allein gegen eine Zahl.
3x = 15 | :3 → x = 5
3x = 15 | :3 → x = 5
ProbeLösung in die Startgleichung einsetzen: Links und rechts muss dasselbe herauskommen.
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Hier kommen Minuszahlen und Brüche dazu – die Waage-Regel bleibt dieselbe.
Minus und Brüche
Minus wegbekommenx − 4 = 9 | +4
x = 13
x = 13
x auf beiden SeitenBring die x auf die Seite, auf der mehr x stehen:
2x − 5 = 4x − 13 | −2x
2x − 5 = 4x − 13 | −2x
Bruch vor dem x23x = 6 | ·3
2x = 18 | :2
2x = 18 | :2
KontostandSchulden sind negative Zahlen: −12 € + 20 € = 8 €
So arbeitest du: Hier musst du aufräumen, Fehler finden, selbst Gleichungen bauen und Sonderfälle deuten. Schreib jeden Schritt mit Kommandostrich auf.
Werkzeuge für Experten
Zuerst aufräumenAuf jeder Seite gleiche Sorten zusammenfassen:
7x + 5 − 3x = 4x + 5
7x + 5 − 3x = 4x + 5
Rezeptx auf eine Seite → Zahlen auf die andere → Anzahl der x auf 1 bringen → Probe.
Keine LösungAm Ende steht z. B. 7 = 4: falsch für jedes x.
Jede Zahl ist LösungAm Ende steht z. B. −3 = −3: wahr für jedes x.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die gerade Waage, ohne dass es dasteht? Was liegt auf beiden Seiten gleichermaßen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Nimm auf beiden Seiten einen Beutel weg und dann auf beiden Seiten 2 Würfel. Was bleibt links, was rechts?Hilfe 3 – Lösung
3x + 2 = x + 10 | −x → 2x + 2 = 10 | −2 → 2x = 8 | :2 → x = 4.Probe: 3 · 4 + 2 = 14 und 4 + 10 = 14 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Ballons ziehen nach oben. Wie viel „Minus“ hängt links – und wie schreibst du das?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Links: 3 Beutel und 4 Ballons, also 3x − 4. Rechts: x + 6. Leg links 4 Würfel dazu, damit die Ballons verschwinden – und rechts auch.Hilfe 3 – Lösung
3x − 4 = x + 6 | +4 → 3x = x + 10 | −x → 2x = 10 | :2 → x = 5.Probe: 15 − 4 = 11 und 5 + 6 = 11 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Zwei Waagen, beide gerade. Die untere Waage verrät dir etwas über den Beutel. Kannst du das in der oberen Waage verwenden?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Untere Waage: Ein Beutel wiegt so viel wie 3 Kugeln und 1 Würfel. Ersetze in der oberen Waage den Beutel durch 3 Kugeln und 1 Würfel. Wie viele Kugeln liegen dann links?Hilfe 3 – Lösung
Oben links liegen dann 5 Kugeln und 1 Würfel, rechts 11 Würfel. | −1 → 5 Kugeln = 10 Würfel, eine Kugel = 2.Ein Beutel = 3 · 2 + 1 = 7. Probe oben: 7 + 2 + 2 = 11 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.