So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: Satz für Satz weiterklicken, Zahlen wählen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: die gedachte Zahl x bekannte Zahlen · | ·2 Umformung bzw. Umkehr-Rechnung
Station 1Der Zaubertrick
Denk dir eine Zahl und folge den Anweisungen Satz für Satz. Kommt bei jeder Zahl dasselbe heraus?
Satz 0/4
deine Zahl–frei gewählt
Zwischenergebnis–ändert sich
mit dem Beutel gerechnet–ändert sich
Ergebnis am Ende?erst am Ende
Rechnen mit dem Beutel
Statt mit einer bestimmten Zahl rechnest du mit dem Beutel x – er steht für jede Zahl. Trick 1:x → 2x → 2x + 10 → x + 5 → 5
Am Ende ist der Beutel verschwunden. Was übrig bleibt, hängt nicht mehr davon ab, was im Beutel steckt – darum kommt immer 5 heraus.
Bei Trick 3 bleibt dagegen genau ein Beutel übrig: Das Ergebnis ist deine eigene Zahl. Ein Term mit Buchstaben ist ein Rezept für alle Zahlen auf einmal.
Station 2Satz für Satz übersetzen
Ein Zahlenrätsel ist eine Gleichung in Worten. Wie wird aus jedem einzelnen Satz ein Stück Mathematik?
Schritt 0/5
Satz–ändert sich
Term bisher–wächst
die gedachte Zahlxbleibt dieselbe
Übersetzen heißt: Satz für Satz
Gesucht – gegeben: Gesucht ist die gedachte Zahl – sie heißt x. Gegeben sind die Rechenschritte und das Ergebnis.Übersetzen: Jeder Satz wird genau ein Stück Term. „Mal 3“ → · 3, „addiere 7“ → + 7, „das Ergebnis mal 4“ → Klammer um alles Bisherige. Erst der letzte Satz („ich erhalte …“) bringt das Gleichheitszeichen.
Skizze machen: Die Streifen zeigen dieselbe Rechnung als Längen. Was oben zusammen liegt, ist so lang wie der Ergebnis-Streifen unten.
Station 3Rückwärts rechnen
Die Rechenkette läuft von links nach rechts. Am Ende steht eine Zahl. Wie kommst du zurück zum Anfang?
Schritt 0/4
Zahl am Ende–bekannt
Umkehr-Rechnung–ändert sich
gedachte Zahl?kommt zum Schluss
Umkehren – in umgekehrter Reihenfolge
Jede Rechnung hat eine Umkehrung: + ↔ −, · ↔ :. Rückwärts gehst du die Kette von hinten durch und kehrst jeden Pfeil um.x → ·3 → −7 → :2 → 10 rückwärts: 10 ·2 → 20 +7 → 27 :3 → 9
Das sind genau die Kommandostriche beim Gleichungslösen – nur ohne Gleichung aufgeschrieben.
Der Mangel: Steht am Ende keine bekannte Zahl, sondern wieder etwas mit x, kommst du rückwärts nicht weiter. Dann brauchst du die Waage: x auf beide Seiten schreiben und umformen.
Station 4Wo mehr x, wo mehr Zahl?
Beide Streifen sind gleich lang. Oben liegen mehr x-Stücke, unten mehr Zahl. Was muss der Überschuss an x ausgleichen?
Schritt 0/3
Streifen oben = untengleich langnach jedem Schritt
Überschuss an x–oben
Überschuss an Zahl–unten
Überschuss gegen Überschuss
Was oben und unten gleich ist, fällt weg. Übrig bleibt: Der Überschuss an x ist so groß wie der Überschuss an Zahl.9x + 4 = 5x + 24: oben 4x mehr, unten 20 mehr → 4x = 20 → x = 5
Beim Umformen rechnest du dasselbe: | −5x und | −4. Überschuss-Vergleich und Umformen sind dieselbe Rechnung in zwei Sprachen.
Station 5Der falsche Haufen
„Ein Haufen und sein Viertel ergeben 15.“ So stellten Schreiber im alten Ägypten Rätsel. Sie rieten erst einmal falsch – mit Absicht. Kann eine falsche Zahl zur richtigen führen?
dein Versuch ergibt–ändert sich
Ziel–steht im Rätsel
Faktor bis zum Ziel–ändert sich
Haufen (hochgerechnet)–bleibt gleich!
Der falsche Ansatz
Ein Haufen und sein Viertel sind zusammen immer 1¼-mal der Haufen. Versuchst du 4, bekommst du 5. Das Ziel 15 ist 3-mal so groß – also ist auch der Haufen 3-mal so groß: 3 · 4 = 12.Mit x geschrieben: x + ¼x = 15 → 1¼ · x = 15 | :1¼ → x = 12
Jeder Versuch führt zum selben Haufen, weil alles im gleichen Verhältnis wächst. Probier eine Zahl, die sich gut teilen lässt – dann wird das Hochrechnen leicht.
Ahmes und der Haufen belegt
Ägypten, ca. 1650 v. Chr.
Der Schreiber Ahmes schrieb eine ältere Sammlung von Rechenaufgaben auf eine über fünf Meter lange Papyrusrolle ab – und setzte seinen Namen dazu. Damit ist er einer der ersten Menschen, deren Namen wir mit Mathematik verbinden. Die Unbekannte heißt bei ihm „Haufen“. Eine Aufgabe lautet: Ein Haufen und sein Siebtel ergeben 19. Ahmes probiert einfach 7, bekommt 8 und rechnet passend hoch. Die Pointe: Die Rolle heißt heute nach Henry Rhind, einem Schotten, der sie 1858 in Luxor kaufte – nicht nach dem Mann, der sie geschrieben hat.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du für eine unbekannte Zahl x schreibst, machst du dasselbe wie Ahmes mit seinem Haufen: Du gibst dem Unbekannten einen Namen und rechnest damit.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Rechnung mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Alles geht ohne Taschenrechner.
Wörterbuch: Deutsch → Mathematik
Die Unbekannte„eine Zahl“, „die gedachte Zahl“ → x
Rechenwörterdas Doppelte → 2x · um 5 vermehrt → + 5 · um 3 vermindert → − 3 · ergibt → =
Das Ergebnis …„Addiere 4, nimm das Ergebnis mal 3“ → (x + 4) · 3
Rückwärts+ ↔ − und · ↔ : – von hinten nach vorn
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Jetzt steht x oft auf beiden Seiten – dann hilft der Überschuss-Vergleich oder die Waage.
x auf beiden Seiten
Überschüsse7x + 9 = 3x + 37
links 4x mehr, rechts 28 mehr → 4x = 28
links 4x mehr, rechts 28 mehr → 4x = 28
Klammer auflösen4 · (x + 3) = 4x + 12
AltersaufgabenTabelle: heute | in x Jahren. Alle werden gleich viel älter.
Probe am TextPrüfe die Lösung an den Sätzen des Rätsels, nicht nur an deiner Gleichung.
So arbeitest du: Hier sind die Texte länger. Übersetze Satz für Satz, lege eine Tabelle an und prüfe am Ende mit dem Text.
Werkzeuge für Experten
Rückwärts aufrollenKennst du das Ende, geh Runde für Runde zurück.
Erst ein TeilWas sicher nicht dazugehört, zuerst herausnehmen.
Einheiten€ und ct, km und m: erst angleichen, dann rechnen.
Falscher AnsatzProbier eine bequeme Zahl und rechne im gleichen Verhältnis hoch.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die gestrichelten Linien an den Enden der beiden Streifen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Streifen sind gleich lang. Oben liegen 2 x-Stücke mehr, unten liegt mehr Zahl. Wie viel mehr?Hilfe 3 – Lösung
3x + 4 = x + 20 | −x → 2x + 4 = 20 | −4 → 2x = 16 | :2 → x = 8.Probe: 24 + 4 = 28 und 8 + 20 = 28 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die drei Winkel liegen nebeneinander auf einer geraden Linie. Was weißt du über alle drei zusammen, ohne dass es dasteht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel: 180°. Zähl die x zusammen und schreib die Gleichung.Hilfe 3 – Lösung
x + 2x + (x + 20°) = 180° → 4x + 20° = 180° | −20° → 4x = 160° | :4 → x = 40°.Probe: 40° + 80° + 60° = 180° ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden gefärbten Flächen? Wo steckt x überall?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Quadrat: x · x. Trapez: Höhe x, Mittellinie (7 + 11 − x) : 2. Setz beide Flächen gleich – auf beiden Seiten steht ein Faktor x, den du wegteilen darfst (x ist nicht 0).Hilfe 3 – Lösung
x · x = x · (18 − x) : 2 | :x → x = (18 − x) : 2 | ·2 → 2x = 18 − x | +x → 3x = 18 → x = 6.Probe: Quadrat 36, Trapez 6 · (7 + 5) : 2 = 36 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.