So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: schieben, abspielen, rechnen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: x orange · y blau · Umformungen und Kommandostrich dunkelgelb · Lösung rot
Station 1Eine Gleichung, viele Lösungen
Zwei Zahlen x und y ergeben zusammen 20: x + y = 20. Wie viele solche Zahlenpaare gibt es?
x + y–bleibt gleich
Unterschied x − y–ändert sich
gemerkte Paare0werden mehr
zweite Bedingung x − y = 6noch ausschalte sie zu
Die zweite Gleichung wählt aus
Eine Gleichung mit zwei Unbekannten wie x + y = 20 hat unendlich viele Lösungspaare: (10 | 10), (12 | 8), (12,5 | 7,5), (25 | −5) … Wächst x um 1, wird y um 1 kleiner. Auf den Zahlenachsen bilden diese Paare ein Büschel: Alle Linien gehen durch einen Punkt.Erst eine zweite Gleichung wählt aus. Zusammen bilden sie ein lineares Gleichungssystem:
Ix + y=20IIx − y=6
Nur das Paar (13 | 7) erfüllt beide. Kniff ohne Gleichung: Fang bei 10 | 10 an. Schiebst du 1 von y zu x, wächst der Unterschied um 2. Für den Unterschied 6 schiebst du also 3: x = 13, y = 7.Station 2Zwei Waagen zusammenschütten
Waage I trägt die Säcke x und y. An Waage II hängen der Sack x und ein Ballon, der genau mit der Kraft y nach oben zieht (also −y). Beide sind im Gleichgewicht. Was passiert, wenn du alles auf eine große Waage schüttest?
Schritt 0/4
Gleichgewichtbleibtbei jedem Schritt
Unbekannte auf der Waagex und ywerden weniger
Gleichung–passt zum Bild
Das Additionsverfahren
Gleiches zu Gleichem: Addierst du die linken Seiten und die rechten Seiten zweier Gleichungen, bleibt das Gleichgewicht. Stehen vor y entgegengesetzte Zahlen (+y und −y), fällt y weg. Das schreibst du mit dem Kommandostrich I + II.Passen die Zahlen vor y nicht zusammen, vervielfachst du zuerst ganze Gleichungen:
I: 4x + 3y=22| · 4II: 7x − 4y=57| · 316x + 12y=8821x − 12y=1714 · I + 3 · II 37x=259| : 37x=74 · 7 + 3y=22| − 283y=−6| : 3y=−2
Station 3Drei Wege, ein Ergebnis: das Lösungsnetz
Löse das System zuerst auf deinem eigenen Weg im Heft. Welchen Weg nimmst du?
Wähle einen Weg und trag deine Lösung ein.
Dein Weg–du entscheidest
Lösung?auf jedem Weg dieselbe
sichtbare Wege0 von 3werden mehr
Welcher Weg passt wann?
Alle drei Wege machen dasselbe: Sie machen aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit einer Unbekannten.Gleichsetzen, wenn beide Gleichungen schon „y = …“ heißen. Einsetzen, wenn eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst ist oder sich leicht auflösen lässt. Addieren, wenn vor einer Unbekannten gleiche oder entgegengesetzte Zahlen stehen.
Profi-Tipp: Mach die Probe immer in der Gleichung, die du zum Ausrechnen von y nicht benutzt hast.
Station 44 = 0 oder 0 = 0? Der Lösungsmengen-Detektiv
Bei manchen Systemen verschwinden beim Rechnen x und y. Übrig bleibt eine Aussage wie 0 = 1 oder 0 = 0. Was bedeutet 0 = 1?
Am Ende steht–ändert sich
Lösungen–ändern sich
Paare von I, die auch II erfüllen–von 5 gezeigten
Was „Zahl = Zahl“ bedeutet
Prüf zuerst, ob du dich verrechnet hast. Wenn nicht:0 = 0 ist immer wahr. Die beiden Gleichungen sagen dasselbe (II ist das Doppelte von I). Es gibt unendlich viele Lösungen – aber nicht beliebige: genau alle Paare, die I erfüllen.
0 = 1 (oder 4 = 0) ist immer falsch. Die Gleichungen widersprechen sich: Links steht dasselbe, rechts etwas anderes. Es gibt keine Lösung.
Ändert sich auch die Zahl vor y, verschwindet y nicht mehr: Dann gibt es genau eine Lösung.
Station 5Drei Unbekannte: die Raffinerie
In einer Raffinerie laufen drei Prozesse. Bei normaler Leistung liefern sie im Monat:
| Prozess 1 | Prozess 2 | Prozess 3 | Bedarf | |
|---|---|---|---|---|
| Benzin | 100 t | 20 t | 50 t | 195 t |
| Gasöl | 120 t | 30 t | 100 t | 284 t |
| Schmieröl | 300 t | 80 t | 150 t | 605 t |
Mit den Faktoren x, y, z stellst du ein, wie stark jeder Prozess läuft (1 = normal, 1,1 = 10 % mehr). Reicht es, alle drei Prozesse gleich stark hochzufahren?
Benzin–
Gasöl–
Schmieröl–
Eine Unbekannte nach der anderen loswerden
Schritt 0/3
Drei Gleichungen für drei Unbekannte
Probieren mit drei Reglern ist mühsam: Jeder Regler verändert alle drei Balken. Gleich stark hochfahren klappt nicht, weil 195 : 170, 284 : 250 und 605 : 530 verschieden sind.Rechnen geht wie bei zwei Unbekannten: Mit dem Additionsverfahren machst du aus drei Gleichungen zwei (eine Unbekannte fällt weg), daraus eine. Hier: x = 1,2, y = 1, z = 1,1. Prozess 1 läuft also 20 % stärker, Prozess 2 normal, Prozess 3 10 % stärker.
Die „Neun Kapitel der Rechenkunst“: Rechnen mit roten und schwarzen Stäbchen belegt
China, gesammelt ca. 200 v. Chr. bis ca. 100 n. Chr.; erklärt von Liu Hui ca. 263 n. Chr.
Stell dir ein Rechenbrett vor, auf dem kleine Bambusstäbchen liegen. Im achten Kapitel des chinesischen Lehrbuchs steht eine Aufgabe mit drei Sorten Getreide: 3 Garben der ersten, 2 der zweiten und 1 der dritten Sorte geben 39 Maß Korn – dazu zwei weitere solche Angaben, also drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Die Rechner legten jede Gleichung als Spalte aufs Brett und zogen Spalten so lange voneinander ab, bis eine Unbekannte verschwand – genau dein Additionsverfahren. Dabei entstanden negative Zahlen; die legte man mit schwarzen Stäbchen, die positiven mit roten. In Europa trägt das Verfahren heute den Namen von Carl Friedrich Gauß, der rund 1800 Jahre später lebte.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du zwei Gleichungen voneinander abziehst, damit y verschwindet, rechnest du wie die Rechenmeister im alten China – nur mit Stift statt Stäbchen. Die Getreide-Aufgabe findest du im Expertenniveau.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Alles geht ohne Taschenrechner.
Drei Wege für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Gleichsetzeny = 2x − 1 und y = x + 2
2x − 1 = x + 2 | − x + 1
x = 3, y = 5
2x − 1 = x + 2 | − x + 1
x = 3, y = 5
Einsetzeny = x + 2 in 3x + y = 14:
3x + (x + 2) = 14
4x = 12, x = 3, y = 5
3x + (x + 2) = 14
4x = 12, x = 3, y = 5
Addierenx + y = 8 und x − y = −2 I + II
2x = 6, x = 3, y = 5
2x = 6, x = 3, y = 5
ProbeBeide Zahlen in beide Gleichungen einsetzen – stimmen beide, ist das Paar richtig.
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Bei Sachaufgaben: Schreib zuerst auf, wofür x und y stehen.
Vervielfachen, dann addieren
ZielVor y (oder x) sollen entgegengesetzte Zahlen stehen, z. B. +12y und −12y.
Vervielfachen4x + 3y = 22 | · 4
7x − 4y = 57 | · 3
Jede Seite ganz multiplizieren!
7x − 4y = 57 | · 3
Jede Seite ganz multiplizieren!
Addieren4 · I + 3 · II: 37x = 259
x = 7, dann y = −2
x = 7, dann y = −2
Sachaufgaben1. x und y benennen · 2. zwei Gleichungen · 3. lösen · 4. Probe am Text
So arbeitest du: Hier kommen Sonderfälle, Sachaufgaben aus Handel und Bank und Systeme mit drei Unbekannten. Mach immer die Probe – bei drei Unbekannten in allen drei Gleichungen.
Sonderfälle und drei Unbekannte
0 = 0immer wahr: unendlich viele Lösungen (alle Paare einer Gleichung)
0 = 4immer falsch: keine Lösung, die Gleichungen widersprechen sich
Drei UnbekannteMit I eine Unbekannte aus II und III entfernen → zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Kommas weg2,5 % von x = 0,025x · Gleichung mit 100 oder 1000 multiplizieren
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Leg die beiden Streifen gedanklich hintereinander: Wie viele x und wie viele y hast du dann – und wie lang ist das zusammen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Streifen zusammen: 3x + 3y = 16 + 14 = 30. Also ist ein x und ein y zusammen 10. Vergleiche das mit dem oberen Streifen.Hilfe 3 – Lösung
Oben steht x + (x + y) = 16, also x + 10 = 16 und x = 6. Dann ist y = 4.Probe unten: 6 + 4 + 4 = 14 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
fünf gleiche Rechtecke · x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Nenn die kurze Seite eines kleinen Rechtecks y. Wie breit ist die obere Reihe, wie breit die untere? Und woraus setzt sich die ganze Höhe zusammen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Oben und unten ist die Figur gleich breit: 2x = 3y. Die Höhe besteht aus einer kurzen und einer langen Seite: x + y = 20.Hilfe 3 – Lösung
Aus 2x = 3y folgt y = 2x : 3. Eingesetzt: x + 2x : 3 = 20, also 5x : 3 = 20 und x = 12. Dann ist y = 8.Probe: 2 · 12 = 24 = 3 · 8 ✓ und 12 + 8 = 20 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Beide Teile sind gleich hoch. Was entsteht, wenn du die beiden Umfänge zusammenzählst – welche Strecken hast du dann wie oft?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Umfänge zusammen: Die beiden Breiten kommen je zweimal vor, also die ganze Breite 14 zweimal, und die Höhe x viermal: 2 · 14 + 4x = 22 + 26.Hilfe 3 – Lösung
28 + 4x = 48, also 4x = 20 und x = 5.Probe: links ist die Breite 6 (2 · 6 + 2 · 5 = 22 ✓), rechts 8 (2 · 8 + 2 · 5 = 26 ✓), und 6 + 8 = 14 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.