So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: schieben, antippen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Quadrat x² (violett) · Streifen mit x (orange und blau) · Ecke ohne x (grün) · Summe der Klammerzahlen orange · Produkt blau
Station 1Ein Rechteck aus zwei Klammern
Ein Rechteck ist x + 2 breit und x + 3 hoch. Seine Fläche ist (x + 2)(x + 3). Wie schreibst du das ohne Klammern?
Schritt 0/2
ganzes Rechteck–Fläche bleibt gleich
Quadrat x²–bleibt gleich
Streifen zusammen–bleibt gleich
Ecke ohne x–bleibt gleich
Form–ändert sich
Summe vor dem x, Produkt am Ende
Zwei Klammern ergeben ein Rechteck aus vier Teilen. Die beiden Streifen haben zusammen die Breite a + b, die Ecke hat a · b Kästchen:(x + a)(x + b) = x² + (a + b)·x + a · b
Beispiel: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6. Das gilt auch mit Minuszahlen: (x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10, denn −2 + 5 = 3 und (−2) · 5 = −10.
Wiederholung zu den binomischen Formeln findest du im Kapitel Zahlen als Flächen.
Station 2Rückwärts: Welche zwei Zahlen passen?
Jetzt umgekehrt: Du siehst nur den Term ohne Klammern. Welche zwei Zahlen gehören in die Klammern? Jede Karte zeigt zwei Zahlen, deren Produkt stimmt. Dreh sie um – passt auch die Summe?
Produkt jeder Karte–bleibt gleich
gesuchte Summe–bleibt gleich
umgedrehte Karten–ändert sich
Zerlegen in Linearfaktoren
x² + px + q = (x + m)(x + n) wenn m + n = p und m · n = qSo gehst du vor: Alle Zahlenpaare mit dem Produkt q aufschreiben, dann die Summe prüfen.
Vorzeichen-Tipp: Ist q positiv, haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen wie p. Ist q negativ, hat eine Zahl ein Plus und eine ein Minus.
Die Klammern (x + m) und (x + n) heißen Linearfaktoren. Bei großen Zahlen wird das Suchen mühsam – das merkst du in Stufe 4.
Station 3Der Null-Schalter
Kann 13 · 7 null sein? Oder 28 · 2,37? Wann ist ein Produkt aus zwei Zahlen gleich 0?
1. Faktor–ändert sich
2. Faktor–ändert sich
Produkt (Fläche)–ändert sich
gefundene Lösungen–zieh oder spiel ab
Produkt-Null-Regel
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Im Bild: Das Rechteck hat nur dann die Fläche 0, wenn eine Seite auf 0 schrumpft.(x + 3)(x + 5) = 0 ⇔ x + 3 = 0 oder x + 5 = 0 ⇔ x = −3 oder x = −5
Achtung: Das geht nur mit der 0. Bei (x + 3)(x + 5) = 8 hilft die Regel nicht – 8 kann auf viele Arten ein Produkt sein (2 · 4, 1 · 8, 0,5 · 16 …).
Zusammen mit Station 2 hast du jetzt ein Verfahren: zerlegen, dann jeden Faktor null setzen.
Station 4Von den Lösungen zur Gleichung
Eine Gleichung hat die Lösungen −3 und −5. Welche Gleichung ist es?
Zieh die beiden Punkte auf dem Zahlenstrahl.
Summe x₁ + x₂–ändert sich
Zahl vor dem x: p–ändert sich
Produkt x₁ · x₂–ändert sich
Zahl am Ende: q–ändert sich
Satz von Vieta
Hat die Gleichung x² + px + q = 0 die Lösungen x₁ und x₂, dann ist sie (x − x₁)(x − x₂) = 0, und es gilt:x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q
Vorsicht beim Vorzeichen: Die Lösungen −3 und −5 haben die Summe −8, also ist p = +8. Die Gleichung heißt x² + 8x + 15 = 0.
Damit kannst du jede Lösung blitzschnell prüfen – ohne einzusetzen.
François Viète (Vieta): Der Codeknacker überliefert
Frankreich, ca. 1540 – 1603
Viète war Jurist und Berater der französischen Könige. Im Krieg mit Spanien knackte er abgefangene Geheimbriefe – so gut, dass der spanische König sich beim Papst beschwert haben soll, die Franzosen arbeiteten mit Zauberei. In seiner freien Zeit hatte er eine noch größere Idee: Er schrieb für gegebene und für gesuchte Zahlen Buchstaben. Damit löst man nicht mehr nur eine Aufgabe, sondern alle Aufgaben derselben Art auf einmal. Die Pointe: Der Mann, der fremde Geheimschriften entzifferte, erfand selbst eine – die Buchstabenrechnung, die du heute jeden Tag benutzt.
Was das mit dir zu tun hat: Jedes Mal, wenn du x² + px + q schreibst, rechnest du mit seiner Erfindung – und der Satz über Summe und Produkt trägt seinen Namen.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Zwei Klammern – vorwärts und rückwärts
Ausmultiplizieren(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + a · b
Zerlegenx² + px + q = (x + m)(x + n)
mit m + n = p, m · n = q
mit m + n = p, m · n = q
Produkt-Null-RegelA · B = 0 ⇔ A = 0 oder B = 0
Gleichung lösenzerlegen → jeden Faktor null setzen → Probe
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Achte besonders auf die Vorzeichen. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Vorzeichen und Normalform
Vorzeichen-Regelq > 0: beide Zahlen haben das Vorzeichen von p
q < 0: eine plus, eine minus
q < 0: eine plus, eine minus
Normalformx² + px + q = 0
Vor x² steht 1, rechts steht 0.
Vor x² steht 1, rechts steht 0.
Vorfaktor2x² − 6x − 20 = 0 | : 2
x² − 3x − 10 = 0
x² − 3x − 10 = 0
Satz von Vietax₁ + x₂ = −p x₁ · x₂ = q
So arbeitest du: Hier musst du suchen, begründen und rückwärts denken. Schreib dir Zwischenergebnisse auf – zum Beispiel eine Tabelle der Zahlenpaare.
Werkzeuge für Experten
Satz von Vietax₁ + x₂ = −p x₁ · x₂ = q
Aus Lösungen bauen(x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂
Systematisch suchenTeilerpaare von |q| der Größe nach: 1 · q, 2 · …, bis zur Wurzel aus |q|
Probe ohne EinsetzenSumme = −p und Produkt = q? Dann stimmen beide Lösungen.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die kleinen Striche auf zwei Seiten des linken Teils? Wie lang ist dann die ganze untere Seite – und wie hoch die Figur?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der linke Teil ist ein Quadrat. Die ganze Figur ist also ein Rechteck mit den Seiten x + 4 und x. Seine Fläche ist x · (x + 4) = 60.Hilfe 3 – Lösung
x² + 4x = 60, also x² + 4x − 60 = 0.Zwei Zahlen mit Produkt −60 und Summe 4: 10 und −6. Also (x + 10)(x − 6) = 0, x = 6 oder x = −10.
Eine Länge ist positiv: x = 6. Probe: 6 · 10 = 60 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Gleiche Flächen – eine Gleichung Was sagt dir das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Figuren? Was ist gleich groß – die Seiten oder etwas anderes?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Flächen sind gleich: x · (x + 5) = 6 · 6 = 36. Bring alles auf eine Seite und such zwei Zahlen mit Produkt −36 und Summe 5.Hilfe 3 – Lösung
x² + 5x − 36 = 0. Die Zahlen 9 und −4: 9 + (−4) = 5, 9 · (−4) = −36.(x + 9)(x − 4) = 0, also x = 4 oder x = −9. Die Länge ist x = 4.
Probe: 4 · 9 = 36 = 6 · 6 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir das kleine Eckzeichen? Welcher Satz verbindet die drei Seiten eines solchen Dreiecks?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Pythagoras: x² + (x + 7)² = (x + 8)². Rechne beide Klammern mit der binomischen Formel aus und bring alles auf eine Seite.Hilfe 3 – Lösung
x² + x² + 14x + 49 = x² + 16x + 64, also x² − 2x − 15 = 0.Produkt −15, Summe −2: die Zahlen −5 und 3. (x − 5)(x + 3) = 0, x = 5 oder x = −3.
x = 5 – das Dreieck hat die Seiten 5, 12 und 13.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.