So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, dann zieh, schieb und spiel ab. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Die Kurven kennst du schon aus den Kapiteln Ellipse, Parabel/Hyperbel und Exzentrizität – dort hast du sie konstruiert. Hier zeigt sich: Eine einzige Gleichung sagt dasselbe.
Farben: Radius r, Halbachse a · waagrechte Strecke, Halbachse b · senkrechte Strecke · Abstand zum Brennpunkt · Polare
Station 1Der Kreis ist Pythagoras
Ein Kreis hat den Mittelpunkt M(5|5) und den Radius 5. Liegt der Punkt Q(8|9) innen, auf dem Kreis oder außen? Entscheide ohne Zeichnung.
Zieh P auf dem Kreis und M im Gitter. Dann verstell den Maßstab.
waagrecht: x − x₀–ändert sich
senkrecht: y − y₀–ändert sich
(x − x₀)² + (y − y₀)²–bleibt r²
Bild sieht aus wie–
Kreisgleichung = Pythagoras
Vom Mittelpunkt M(x₀|y₀) zum Punkt P(x|y) gehst du x − x₀ nach rechts und y − y₀ nach oben. Die Strecke MP ist die Hypotenuse und immer gleich dem Radius r:(x − x₀)² + (y − y₀)² = r²
Ein Punkt liegt innen, wenn die linke Seite kleiner als r² ist, und außen, wenn sie größer ist.
Achtung beim Zeichnen: Die Gleichung gilt in Einheiten. Haben die beiden Achsen verschiedene Maßstäbe, sieht der Kreis wie eine Ellipse aus – obwohl jeder Punkt die Kreisgleichung erfüllt. Diagramme und Karten können so täuschen.
Station 2Die Ellipse ist ein gestauchter Kreis
Wir drücken einen Kreis gleichmäßig von oben zusammen: Jeder Punkt behält sein x, sein y wird mit derselben Zahl k verkleinert. Ist die neue Kurve eine echte Gärtner-Ellipse – mit zwei Brennpunkten und fester Abstandssumme?
k = b : a–ändert sich
Fläche π · a · b–ändert sich (mal k)
r₁ + r₂–bleibt 2a
x²/a² + y²/b²–bleibt 1
Ellipsengleichung
Der Kreis hat die Gleichung x² + Y² = a². Nach dem Stauchen ist y = k · Y mit k = b : a, also Y = y · a : b. Einsetzen und durch a² teilen:x²/a² + y²/b² = 1
Die Brennpunkte liegen bei (±e|0) mit e² = a² − b² – und für jeden Punkt gilt r₁ + r₂ = 2a. Der gestauchte Kreis ist also genau die Gärtner-Ellipse aus Kapitel G1.
Bonus: Weil jeder senkrechte Streifen mit k gestaucht wird, wird auch die Fläche mit k multipliziert: π·a² · b/a = π · a · b.
Station 3Aus der Regel wird die Parabelgleichung
Jeder Parabelpunkt ist gleich weit vom Brennpunkt F und von der Leitlinie entfernt. Hat auch die Normalparabel y = x² so einen Brennpunkt – und wo?
Schritt 0/5
Zieh P auf der Parabel.
PF (zum Brennpunkt)–ändert sich
PN (zur Leitlinie)–ändert sich
PF − PN–bleibt 0
x² : (2p) − y–bleibt 0
Parabelgleichung
Brennpunkt F(0|p/2), Leitlinie y = −p/2. Aus PF = PN wird nach Quadrieren und Kürzeny = x² : (2p) bzw. x² = 2p · y
Für die Normalparabel y = x² ist 2p = 1, also p = 0,5: Ihr Brennpunkt liegt bei (0|0,25), die Leitlinie bei y = −0,25. Jede Parabel y = c·x² hat einen Brennpunkt – auch die aus dem Kapitel über quadratische Funktionen.
Station 4Pol und Polare
Von einem Punkt P außerhalb des Kreises gehen zwei Tangenten aus. Die lila Linie verbindet ihre Berührpunkte. Zieh P in den Kreis hinein. Was passiert mit der lila Linie?
Zieh den Punkt P. Er rastet in halben Schritten ein.
Abstand OP–ändert sich
Abstand O – Polare–ändert sich
OP · Abstand–bleibt r² = 16
Lage von P–
Die Polare von P(x₁|y₁) am Kreis x² + y² = r²
x₁ · x + y₁ · y = r²Du bekommst sie, indem du in x² + y² = r² ein x durch x₁ und ein y durch y₁ ersetzt. Sie steht senkrecht auf OP, und es gilt OP · (Abstand O–Polare) = r².
Liegt P außen, verbindet sie die beiden Berührpunkte. Liegt P auf dem Kreis, ist sie die Tangente. Liegt P innen, gibt es keine Tangente – aber die Polare existiert trotzdem: Für jede Sehne durch P schneiden sich die Tangenten in ihren Endpunkten auf der Polaren. Je näher P an O rückt, desto weiter flieht die Polare. Für P = O liegt sie im Unendlichen.
Station 5Cassini-Kurven: Produkt statt Summe
Bei der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten fest. Welche Kurve entsteht, wenn stattdessen das Produkt r₁ · r₂ fest ist?
r₁–ändert sich
r₂–ändert sich
r₁ · r₂–bleibt a²
r₁ + r₂–ändert sich!
Form–
Cassini-Kurven und Lemniskate
Brennpunkte (±e|0), Regel r₁ · r₂ = a². Mit Pythagoras für r₁ und r₂:√((x + e)² + y²) · √((x − e)² + y²) = a²
Es kommt auf das Verhältnis von a zu e an: a < e gibt zwei Ovale, a = e die Lemniskate (liegende Acht durch den Ursprung), a > e ein Oval, das ab a ≥ e·√2 keine Delle mehr hat. Für a = e vereinfacht sich die Gleichung zu
(x² + y²)² = 2e² · (x² − y²)
Vergleich: Bei der Ellipse ist die Summe fest (r₁ + r₂ = 2a), bei der Hyperbel der Unterschied, hier das Produkt.
Cassini und seine Ovale belegt
Giovanni Domenico Cassini · 1625 – 1712 · Italien und Paris · Ovale ca. 1680
Cassini war der berühmteste Himmelsvermesser seiner Zeit: Er leitete die Pariser Sternwarte, fand vier Saturnmonde und die dunkle Lücke in den Saturnringen, die noch heute „Cassini-Teilung“ heißt. Um 1680 schlug er vor, die Bahn der Sonne um die Erde sei keine Ellipse, sondern eine Kurve, bei der das Produkt der Abstände zu zwei Punkten fest ist. Damit lag er falsch – die Planetenbahnen sind Ellipsen. Die Pointe: Gerade die Kurven, mit denen er sich irrte, tragen heute seinen Namen. Und eine von ihnen, die liegende Acht, bekam 1694 einen eigenen Namen: Lemniskate, nach dem lateinischen Wort für „Schleife“.
Was das mit dir zu tun hat: In Station 5 kannst du Cassinis Idee selbst ausprobieren – und siehst, dass eine kleine Änderung der Regel (Produkt statt Summe) ganz neue Formen erzeugt.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Kreis und Ellipse in Koordinaten
Kreis(x − x₀)² + (y − y₀)² = r²
Mittelpunkt M(x₀|y₀), Radius r
Mittelpunkt M(x₀|y₀), Radius r
Quadratische Ergänzungx² − 6x = (x − 3)² − 9
x² + 8x = (x + 4)² − 16
x² + 8x = (x + 4)² − 16
Ellipse (Mitte im Ursprung)x²/a² + y²/b² = 1
Brennpunkte (±e|0), e² = a² − b²
Brennpunkte (±e|0), e² = a² − b²
Gerade schneidet Kreisy = mx + c in die Kreisgleichung einsetzen → quadratische Gleichung → pq-Formel
So arbeitest du: Hier stellst du Gleichungen selbst auf und verbindest Konstruktion und Rechnung. Mach immer zuerst eine Skizze.
Werkzeuge für Experten
PolarePol P(x₁|y₁), Kreis x² + y² = r²:
x₁·x + y₁·y = r²
Tangente im Kreispunkt T: x_T·x + y_T·y = r²
x₁·x + y₁·y = r²
Tangente im Kreispunkt T: x_T·x + y_T·y = r²
ParabelBrennpunkt F(0|f), Leitlinie y = −f:
y = x² : (4f)
y = x² : (4f)
Hyperbelx²/a² − y²/b² = 1, e² = a² + b²
Asymptoten y = ±(b/a)·x
Asymptoten y = ±(b/a)·x
Cassini-Kurver₁ · r₂ = a², Brennpunkte (±e|0)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der Kreis geht durch drei Punkte – und bei einem davon ist ein rechter Winkel.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Ein rechter Winkel, dessen Schenkel auf dem Kreis enden: Dann ist die Verbindung der beiden Endpunkte ein Durchmesser (Thaleskreis).Hilfe 3 – Lösung
Durchmesser² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, also Durchmesser 10 und x = 5.Mit Gleichung: Der Mittelpunkt ist die Mitte von (8|0) und (0|6), also M(4|3), und (0 − 4)² + (0 − 3)² = 25 = r².
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die beiden Punkte sind Brennpunkte. Welche Regel gilt für jeden Punkt der Kurve – auch für den obersten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Für jeden Punkt ist die Abstandssumme so groß wie die ganze Breite, also 10. Der oberste Punkt ist von beiden Brennpunkten gleich weit entfernt: je 5. Zeichne das Dreieck vom obersten Punkt zu einem Brennpunkt und zur Mitte.Hilfe 3 – Lösung
Im Dreieck sind die Hypotenuse 5 und eine Kathete 3 (halbe Höhe). Die andere Kathete ist √(25 − 9) = 4 – das ist der Abstand eines Brennpunkts von der Mitte. Also x = 2 · 4 = 8.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Eine Tangente berührt den Kreis. Welcher Winkel entsteht dort zwischen Tangente und Radius – auch wenn kein Zeichen dasteht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zieh den Radius zu einem Berührpunkt T. Das Dreieck O–T–P hat bei T einen rechten Winkel, Hypotenuse 25 und Kathete 15. Die Strecke x ist ein Hypotenusenabschnitt in diesem Dreieck (Kathetensatz).Hilfe 3 – Lösung
Kathetensatz: 15² = 25 · x, also x = 225 : 25 = 9.Das ist genau die Polaren-Regel: OP · Abstand = r². Probe: Tangente √(25² − 15²) = 20, und 20² = 25 · 16 – auch der andere Abschnitt passt.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.