So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, dann zieh, schieb und spiel ab. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Das Werkzeug kennst du schon: Ein Bild auf einer Glasscheibe entsteht durch Strahlen zum Auge – das ist der Strahlensatz aus dem Kapitel über Thales.
Farben: Horizont und Augenhöhe · Sehstrahlen, hervorgehobener Gegenstand · Fluchtpunkt F₁ · Fluchtpunkt F₂ · Fluchtpunkt F₃ (senkrecht)
Station 1Das Fenster des Malers
Ein Maler zeichnet durch eine Glasscheibe ab, was er sieht. Am Weg stehen gleich hohe Pfähle. Ein Pfahl steht doppelt so weit weg wie ein anderer. Wie groß erscheint er auf der Scheibe?
Zieh den roten Pfahl in der Seitenansicht nach hinten.
Entfernung D des roten Pfahls–ändert sich
Bildhöhe b auf der Scheibe–ändert sich
b · D–bleibt gleich
Ferne Punkte landen aufAugenhöhedem Horizont
Zentralprojektion = Strahlensatz
Die Strahlen von Spitze und Fuß des Pfahls laufen zum Auge. Scheibe und Pfahl stehen parallel, also gilt der Strahlensatz:b : H = d : D → b = H · d : D
Doppelte Entfernung heißt halbe Bildhöhe, dreifache Entfernung ein Drittel. Je weiter weg etwas ist, desto näher rückt es im Bild an die Höhe deines Auges heran. Was unendlich weit weg ist, landet genau auf der Augenhöhe: dem Horizont. Darum treffen sich die Linien der Pfahlspitzen und Pfahlfüße dort in einem Punkt – dem Fluchtpunkt.
Station 2Der Fliesenboden
Du stehst auf einem riesigen Fliesenboden mit einem hohen Pfeiler und zwei Kisten. Du gehst in die Hocke. Wohin wandert der Horizont im Bild?
Fluchtpunkte im Bild–
Augenhöhe–ändert sich
roter Ring am Pfeiler (in Augenhöhe)–liegt immer auf dem Horizont
Fluchtpunkte und Horizont
Alle Linien, die in Wirklichkeit parallel sind, laufen im Bild auf einen Punkt zu: ihren Fluchtpunkt. Er liegt dort, wo ein Sehstrahl aus deinem Auge in dieselbe Richtung die Bildebene trifft.Alle waagrechten Richtungen fliehen zum Horizont – und der liegt immer in deiner Augenhöhe. Gehst du in die Hocke, gehen Horizont und Auge zusammen nach unten; im Bild bleibt der Horizont dort, wo du geradeaus hinschaust.
Einpunktperspektive: Du schaust parallel zu den Fliesenkanten – nur die Tiefenlinien fliehen. Zweipunkt: Du schaust schräg – beide Kantenrichtungen fliehen zu F₁ und F₂ auf dem Horizont. Dreipunkt: Du kippst den Blick nach oben oder unten – dann laufen auch die senkrechten Kanten zusammen (F₃).
Station 3Bilder prüfen: ein Fluchtpunkt oder viele?
Zwei Skizzen einer Halle mit Tisch: Bild A im Stil der Maler um 1300, Bild B im Stil der Renaissance um 1500. In welchem Bild treffen sich alle schrägen Raumkanten in einem einzigen Punkt?
Zieh zuerst den gelben Punkt dorthin, wo du den Fluchtpunkt vermutest.
Linien durch deinen Punkt–ändert sich beim Ziehen
Treffpunkte der Linien?erst verlängern
Fischgräte gegen Fluchtpunkt
In Bild A treffen sich immer nur zwei Linien, die spiegelbildlich liegen – und zwar auf der Mittelachse, aber in verschiedenen Höhen. Man nennt das Fischgräte. So malte zum Beispiel Duccio um 1310 sein Abendmahl: Der Raum wirkt tief, aber nicht ganz „richtig“.In Bild B laufen alle Tiefenlinien auf einen Fluchtpunkt zu, wie es die Zentralprojektion verlangt. Berühmte Beispiele sind Leonardos Abendmahl (um 1495) und Raffaels Schule von Athen (um 1510): Dort liegt der Fluchtpunkt mitten bei den Hauptfiguren – das lenkt den Blick genau dorthin.
Probier es selbst: Such dir die Bilder im Internet oder in einem Kunstbuch, druck sie aus und verlängere die Kanten von Decke, Boden und Tisch mit dem Lineal.
Station 4Fliesen konstruieren mit dem Distanzpunkt
Die Fliesenreihen werden nach hinten immer schmaler. Wie viele Reihen passen zwischen die vordere Kante und den Horizont?
Schritt 0/6
Abstand der Querlinien zum Horizont (px)–wird immer kleiner
Kehrwerte × 1000–wachsen in gleichen Schritten
Zahl der Reihenunendlichkeine erreicht den Horizont
Hauptpunkt, Distanzpunkt und die Kehrwert-Regel
Die Tiefenlinien laufen zum Hauptpunkt H (genau gegenüber deinem Auge). Die Diagonalen der Fliesen laufen unter 45° nach hinten – ihr Fluchtpunkt ist der Distanzpunkt D. Er liegt auf dem Horizont, und HD ist genau so groß wie dein Abstand zum Bild. Wo die Diagonale die Tiefenlinien schneidet, liegen die Querlinien.Für Reihe n gilt mit dem Strahlensatz: Abstand zum Horizont = h · d : (d + n · s)
Der Abstand wird also nie null – es passen unendlich viele Reihen bis zum Horizont. Und die Kehrwerte der Abstände wachsen in gleichen Schritten. Diese Konstruktion beschrieben die Maler der Renaissance schon um 1435 in ihren Lehrbüchern.
Brunelleschis Spiegelversuch überliefert
Filippo Brunelleschi · 1377 – 1446 · Florenz · Versuch ca. 1420
Brunelleschi war Goldschmied und Baumeister – die riesige Kuppel des Doms von Florenz stammt von ihm. Um 1420 malte er die Taufkirche gegenüber dem Dom auf eine kleine Holztafel, genau so, wie man sie vom Domportal aus sieht. In die Mitte bohrte er ein Loch. Du musstest die Tafel von hinten ans Auge halten, durch das Loch schauen und vor dir einen Spiegel halten: Im Spiegel sahst du das Bild – und es passte genau auf die echte Kirche. Die Pointe: Den Himmel hatte er gar nicht gemalt, sondern mit poliertem Silber belegt. Darin spiegelten sich die echten Wolken, die über das Bild zogen.
Was das mit dir zu tun hat: Das Loch in der Tafel ist das Auge der Zentralprojektion. Jede Handykamera arbeitet genauso – und jedes Foto ist ein Bild „mit Fluchtpunkt“.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Die Skizzen sind nicht maßstäblich.
Bilder auf der Scheibe – der Strahlensatz
Bildgrößeb : H = d : D
b = H · d : D
(H Größe, D Entfernung, d Abstand Auge–Bild)
b = H · d : D
(H Größe, D Entfernung, d Abstand Auge–Bild)
EntfernungD = H · d : b
Horizontliegt in Augenhöhe. Parallele Linien laufen auf einen Fluchtpunkt zu.
EinheitenAlle Längen einer Sorte in dieselbe Einheit! 1 m = 100 cm
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Die Skizzen sind nicht maßstäblich.
Fluchtpunkte rechnen
Gerade durch zwei Punktem = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
y = m · x + c
y = m · x + c
Augenhöhe im FotoDer Horizont schneidet alle Dinge auf dem Boden in Augenhöhe der Kamera.
Querlinien eines BodensAbstand zum Horizont = h · d : D
DistanzpunktAbstand Hauptpunkt – Distanzpunkt = Abstand des Betrachters
So arbeitest du: Hier rechnest du mit Richtungen im Raum und begründest, warum es klappt. Mach immer zuerst eine Skizze von oben oder von der Seite.
Werkzeuge für Experten
Fluchtpunkt einer RichtungAuge im Ursprung, Bild bei z = d, Richtung (u|v|w):
F = (d·u/w | d·v/w)
F = (d·u/w | d·v/w)
Zwei FluchtpunkteZueinander senkrechte Kanten: Das Auge sieht F₁ und F₂ unter 90°, also HF₁ · HF₂ = d² (Höhensatz).
Kehrwert-RegelGleich breite Fliesenreihen: 1/y wächst in gleichen Schritten.
Gekippte KameraHorizont d·tan β unter, F₃ d : tan β über der Bildmitte.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die beiden senkrechten Strecken stehen parallel zwischen denselben zwei Strahlen.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die nahe Strecke ist 3 vom Punkt entfernt, die ferne 12 – also viermal so weit. Wie verhalten sich dann die Längen?Hilfe 3 – Lösung
Strahlensatz: x : 8 = 3 : 12, also x = 8 · 3 : 12 = 2.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wo sind rechte Winkel – oben und unten? Wie viele rechtwinklige Dreiecke siehst du?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Strecke x ist die Höhe im großen rechtwinkligen Dreieck; 4 und 9 sind die beiden Abschnitte darunter. Kennst du einen Satz über Höhe und Abschnitte?Hilfe 3 – Lösung
Höhensatz: x² = 4 · 9 = 36, also x = 6.Bei der Zweipunktperspektive ist das genau die Rechnung „Wo stand der Maler?“: Das Auge sieht die beiden Fluchtpunkte unter einem rechten Winkel.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Diagonale läuft genau durch die Ecken: Die Fliesen sind in Wirklichkeit gleich große Quadrate. Die Reihen liegen also in gleichen Schritten hintereinander.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Abstand zum Horizont ist umgekehrt proportional zur Entfernung. Liegt die vordere Kante in Entfernung D, liegen die Linien bei D + s und D + 2s. Die Zahlen 12 und 6 verraten dir: D + s = 2 · D.Hilfe 3 – Lösung
12 → 6 heißt: doppelte Entfernung, also s = D. Die nächste Linie ist dreimal so weit weg wie die vordere Kante: x = 12 : 3 = 4.Mit Kehrwerten: 1/12, 1/6 = 2/12, also kommt 3/12 = 1/4 → x = 4.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.