So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann schickst du die Gleichung über das Fließband: Du tippst die Station an, die gerade dran ist, und siehst, wie sich die Zeile verwandelt. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: x-Glieder · Zahlglieder schwarz · Glieder, die gerade wandern · Vorzeichen, das kippt · Kommandostrich | − 7 dunkelgelb
Station 1OZI: Ordnen, Zusammenfassen, Isolieren
Links und rechts stehen x-Glieder und Zahlen durcheinander. Gibt es eine Reihenfolge, die immer zum Ziel führt? Rate zuerst: Welche Zahl ist x?
Deine Schätzung: x =
Glieder in der Zeile–werden weniger
Zeile–das Protokoll wächst
Lösung?dieselbe in jeder Zeile
OZI – drei Stationen in fester Reihenfolge
O – Ordnen: alle x-Glieder auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Ein Glied „wandert“ über das Gleichheitszeichen, indem du es auf beiden Seiten abziehst (oder addierst). Deshalb kippt sein Vorzeichen. Hinter dem Kommandostrich steht, was du auf beiden Seiten tust.Z – Zusammenfassen: gleichartige Glieder zusammenzählen. Links bleibt ein x-Glied, rechts eine Zahl.
I – Isolieren: durch die Zahl vor x teilen. Dann steht x allein.
Jede Zeile hat dieselbe Lösung wie die erste. Deshalb passt die Probe in jeder Zeile.
Station 2Kl: Klammern auf
Jetzt stecken x-Glieder in Klammern – OZI kommt nicht heran. Vor der zweiten Klammer steht ein Minus. Was wird aus − (x − 5), wenn die Klammer wegfällt?
Klammern in der Zeile–verschwinden
Vorzeichen, die kippen–beim Minus vor der Klammer
Lösung?dieselbe in jeder Zeile
KlOZI – erst die Klammern
Ein Faktor vor der Klammer trifft jedes Glied in der Klammer: 4 · (x − 2) = 4x − 8 (die Bögen zeigen es).Ein Minus vor der Klammer ist wie der Faktor (−1): Es dreht jedes Vorzeichen in der Klammer um: − (x − 5) = − x + 5.
Ein Plus vor der Klammer ändert nichts: + (x − 5) = x − 5.
Danach ist die Gleichung klammerfrei, und OZI übernimmt: Kl → O → Z → I.
Station 3Ne: Nenner weg
Brüche in einer Gleichung sind lästig. Mit einer einzigen Multiplikation verschwinden alle Nenner auf einmal. Mit welcher Zahl multiplizierst du hier am besten?
Nenner in der Zeile–verschwinden
Hauptnenner–kleinste gemeinsame Vielfache
Lösung?dieselbe in jeder Zeile
NeKlOZI – der ganze Fahrplan
Ne – Nenner weg: beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren (der kleinsten Zahl, durch die alle Nenner teilbar sind). Jeder Bruch kürzt sich, und du musst nie mit Brüchen rechnen.Achtung: Der Bruchstrich ist eine Klammer. Aus − 3x + 414 · 14 wird − (3x + 4) – nicht − 3x + 4.
Dann weiter wie immer: Ne → Kl → O → Z → I. Eine Station, bei der nichts zu tun ist, überspringst du.
Merkwort: NeKlOZI. Die feste Reihenfolge stammt von Ernst Bindel und macht das Lösen verlässlich.
Station 4Klammer-Fehlerjäger
In dieser Rechnung hat sich ein typischer Vorzeichenfehler eingeschlichen. In welcher Zeile steckt er? Tipp zuerst auf die Zeile, die du verdächtigst.
Jede Zeile hat eine kleine Waage: links minus rechts. Steht sie gerade, ist die Zeile für dieses x im Gleichgewicht.
eingesetzt–ändert sich
Waagen im Gleichgewicht–Zeilen
Lösung der Startzeile?muss in jeder Zeile passen
Die Lösung muss durch alle Zeilen passen
Eine richtige Umformung ändert die Lösung nicht. Setzt du die Lösung der Startzeile ein, steht in jeder richtigen Zeile die Waage gerade.Ab der Zeile mit dem Fehler kippt sie. Dort suchst du – nicht am Ende!
Die häufigsten Fehler: Minus vor der Klammer vergessen · Faktor nur mit dem ersten Glied multipliziert · Vorzeichen beim Hinüberbringen nicht gedreht · Bruchstrich nicht als Klammer gelesen · durch eine negative Zahl geteilt und das Minus verloren.
Station 5Dein Protokoll: richtig bis Zeile k
Jetzt rechnest du selbst, Zeile für Zeile. Die Seite sagt dir nicht „falsch“, sondern bis zu welcher Zeile alles stimmt. Den Fehler suchst du selbst. Wie kann die Seite das prüfen, ohne deine Rechnung zu verstehen?
Zeilen geprüft–deine Zeilen
richtig bis Zeile–dieselbe Lösung wie die Start-Zeile
fertig?–x steht allein
Testzahlen statt Lehrer-Blick
Die Seite setzt in jede Zeile heimlich ein paar Testzahlen für x ein und rechnet „links minus rechts“ aus.Bei einer richtigen Umformung ändert sich dieser Unterschied für alle Testzahlen um denselben Faktor (zum Beispiel · 14 beim Nenner-weg-Schritt, : 5 beim Isolieren) – oder gar nicht. Dann hat die Zeile genau dieselbe Lösung wie die Startzeile.
Passt der Faktor bei einer Testzahl nicht, ist in dieser Zeile etwas passiert. Das ist dieselbe Idee wie die Probe: Einsetzen verrät, ob eine Gleichung noch dieselbe ist.
Adam Ries: Rechnen für alle – mit Probe belegt
Staffelstein und Annaberg (Erzgebirge), ca. 1492 – 1559
Zu Adam Ries’ Zeit rechneten Gelehrte auf Latein, und Kaufleute verließen sich auf Rechenmeister. Ries schrieb seine Rechenbücher auf Deutsch, so dass jeder Handwerkslehrling sie lesen konnte – 1522 erschien „Rechenung auff der linihen und federn“. Zu jeder Aufgabe verlangte er eine Probe, damit niemand einem Rechenfehler aufsitzt. Er schrieb auch ein Buch über die „Coß“, die Gleichungslehre seiner Zeit – doch das blieb als Handschrift liegen und wurde erst über 450 Jahre später gedruckt. Die Pointe: Gedruckt wurde zu seinen Lebzeiten nur das Einfache, und trotzdem sagt man bis heute „nach Adam Riese“, wenn etwas sicher stimmt.
Was das mit dir zu tun hat: Die Probe am Ende jeder Gleichung – und der Testzahl-Check in Station 5 – sind genau seine Idee: Erst wenn das Einsetzen stimmt, stimmt die Rechnung.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „✎ Rechenweg prüfen“ kannst du deine Zeilen eintippen – die Seite sagt dir, bis wohin alles stimmt.
KlOZI – Klammern auf, dann ordnen
FahrplanKl Klammern auf → O Ordnen → Z Zusammenfassen → I Isolieren
Faktor vor der Klammer3(2x − 4) = 3·2x − 3·4 = 6x − 12
Der Faktor trifft jedes Glied.
Der Faktor trifft jedes Glied.
Minus vor der Klammer− (2x − 5) = − 2x + 5
Jedes Vorzeichen kippt. Plus vor der Klammer: nichts ändert sich.
Jedes Vorzeichen kippt. Plus vor der Klammer: nichts ändert sich.
Kommandostrich5x + 7 = 2x + 19 | − 2x − 7
Was hinter dem Strich steht, geschieht auf beiden Seiten.
Was hinter dem Strich steht, geschieht auf beiden Seiten.
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Rechenwege kannst du mit „✎ Rechenweg prüfen“ Zeile für Zeile testen.
NeKlOZI – Nenner weg
Hauptnennerkleinste Zahl, durch die alle Nenner teilbar sind: Nenner 4 und 6 → 12
Mal Hauptnennerx/4 + x/6 = 5 | · 12
3x + 2x = 60
3x + 2x = 60
Bruchstrich = Klammer− (3x + 4)/14 | · 14
→ − (3x + 4) = − 3x − 4
→ − (3x + 4) = − 3x − 4
Ergebnis als Bruch5x = 8 | : 5 → x = 8/5 = 1,6
So arbeitest du: Hier musst du die Gleichung oft selbst aufstellen. Mach eine Skizze, gib der gesuchten Größe einen Namen und schreib sie in den Ansatz. Manchmal tauchen x² auf – und verschwinden wieder.
Werkzeuge für Experten
Klammer mal Klammer(x + 3)(x − 5) = x² − 5x + 3x − 15
Jedes Glied mit jedem.
Jedes Glied mit jedem.
Binomische Formeln(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
x² fällt wegSteht auf beiden Seiten x², hilft | − x². Übrig bleibt eine lineare Gleichung.
Dieselbe Größe zweimalEine Größe auf zwei Wegen ausdrücken und gleichsetzen – so entsteht die Gleichung.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die drei Stücke liegen lückenlos hintereinander. Was ergeben sie zusammen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Schreib die drei Stücke als eine Summe und setz sie gleich 50. Dann x-Glieder und Zahlen zusammenfassen.Hilfe 3 – Lösung
x + (x + 5) + (2x − 3) = 504x + 2 = 50 | − 2
4x = 48 | : 4
x = 12. Probe: 12 + 17 + 21 = 50.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Beide Rechtecke sind gleich gefärbt und durch ein Gleichheitszeichen verbunden. Was ist bei ihnen gleich – der Umfang oder die Fläche? Wie schreibst du jede Fläche mit x?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Fläche = Länge · Breite: 6 · (x + 1) = (x + 5) · 4. Dann Klammern auf und OZI.Hilfe 3 – Lösung
6x + 6 = 4x + 20 | − 4x − 62x = 14 | : 2
x = 7. Probe: 6 · 8 = 48 und 12 · 4 = 48.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was ist an den beiden Figuren gleich? Die rechte Figur hat oben und unten verschieden lange Seiten – wie berechnest du ihre Fläche? Welcher Buchstabe steckt dann in beiden Flächen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Quadrat: x · x. Trapez: (7 + 11 − x) : 2 · x. Gleichsetzen. Auf beiden Seiten steckt der Faktor x – du darfst durch x teilen, denn x ist nicht 0.Hilfe 3 – Lösung
x · x = (18 − x) : 2 · x | : xx = (18 − x) : 2 | · 2
2x = 18 − x | + x
3x = 18, also x = 6. Probe: Quadrat 36, Trapez (7 + 5) : 2 · 6 = 36.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.