So arbeitest du: Jeder Punkt bekommt zwei Zahlen, jede Gerade eine Gleichung. Dann kann man Geometrie rechnen – und manchmal entdeckt man dabei etwas, das man mit bloßem Auge nie vermutet hätte. Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, dann probiere aus, dann decke auf.
Farben: Gerade g / Seitenhalbierende · Gerade h / Mittelsenkrechte · Höhen · besondere Linie · Fläche
Station 1Zwei Zahlen verraten die ganze Gerade
Die Gerade schneidet die x-Achse bei a und die y-Achse bei b. Zieh an den beiden Punkten und beobachte die Gleichung. Was passiert mit der Geraden, wenn a immer größer wird?
Achsenabschnitte–ändern sich beim Ziehen
Achsenabschnittsform–steht direkt da
Normalform–m = −b : a
Punkt P auf der Geraden–erfüllt die Gleichung
Achsenabschnittsform
Schneidet eine Gerade die Achsen bei (a | 0) und (0 | b), dann lautet ihre Gleichung x : a + y : b = 1 – die beiden Zahlen stehen einfach unter x und y. Umgeformt: y = −(b : a) · x + b.Wird a riesig, wird x : a fast 0: Übrig bleibt y = b, eine waagrechte Gerade. Mit b → ∞ entsteht genauso die senkrechte Gerade x = a.
Ersetzt man die 1 durch eine andere Zahl k, verschiebt sich die Gerade parallel; bei k = 0 geht sie durch den Ursprung.
Station 2Wo sind beide gleich hoch? – und wann stehen sie senkrecht?
Zwei Geraden g und h. Eine senkrechte Messlatte zeigt an, wie hoch beide an derselben Stelle x sind. Woran erkennst du an der Latte den Schnittpunkt? Danach drehst du h, bis sie senkrecht auf g steht.
Höhe auf g–ändert sich
Höhe auf h–ändert sich
Unterschied–ändert sich
Steigungen mg · mh–
Gleichsetzen und senkrecht stehen
Im Schnittpunkt haben beide Geraden dieselbe Höhe y – der Unterschied ist 0. Darum setzt man die rechten Seiten gleich: m₁x + b₁ = m₂x + b₂, löst nach x auf und setzt x in eine der Gleichungen ein.Dreht man das Steigungsdreieck von g (1 nach rechts, m nach oben) um 90°, wird daraus „m nach links, 1 nach oben“. Die neue Steigung ist −1 : m. Also: Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn m₁ · m₂ = −1.
Station 3Drei besondere Punkte – und ein Geheimnis
Im Dreieck schneiden sich die drei Höhen in H, die drei Mittelsenkrechten in M und die drei Seitenhalbierenden in S. Liegen diese drei Punkte irgendwie besonders zueinander?
Schritt 0/4
Höhenschnittpunkt H–ändert sich
Schwerpunkt S–ändert sich
Umkreismittelpunkt M–ändert sich
HS : SM–bleibt gleich, egal wie du ziehst
Die Euler-Gerade
In jedem Dreieck liegen H, S und M auf einer Geraden, der Euler-Geraden. S liegt immer zwischen H und M und teilt die Strecke im Verhältnis HS : SM = 2 : 1.In Koordinaten: S = ((x₁ + x₂ + x₃) : 3 | (y₁ + y₂ + y₃) : 3) und H = 3·S − 2·M (für x und y einzeln).
Sonderfälle: Im gleichseitigen Dreieck fallen alle drei Punkte zusammen. Im rechtwinkligen Dreieck ist H die Ecke am rechten Winkel und M die Mitte der Hypotenuse.
Descartes und Fermat: zwei Erfinder, ein Gedanke belegt
René Descartes · ca. 1596 – 1650 · Pierre de Fermat · ca. 1607 – 1665 · Frankreich · Koordinaten um 1637
Um 1637 hatten zwei Franzosen unabhängig voneinander dieselbe Idee: Jede Linie bekommt eine Gleichung, und Geometrie wird zur Rechnung. Descartes veröffentlichte sie als Anhang zu einem Buch über die richtige Methode des Denkens. Fermat, ein Jurist, der Mathematik nur in der Freizeit betrieb, schrieb seine Fassung in Briefen und Notizen – gedruckt wurde sie erst nach seinem Tod. Fermat war auf die Idee gekommen, als er ein verlorenes Buch des Apollonios wiederherstellen wollte. Die Pointe: Das rechtwinklige Achsenkreuz mit negativen Zahlen, das heute „kartesisch“ heißt, kommt bei Descartes so gar nicht vor. Und die Geschichte, eine Fliege an der Zimmerdecke habe ihn auf die Idee gebracht, ist eine Legende.
Was das mit dir zu tun hat: Jedes Mal, wenn du einen Schnittpunkt durch Gleichsetzen findest statt durch Zeichnen, rechnest du mit der Idee der beiden.
Station 4Oresmes Bild: Die Fläche ist der Weg
Ein Auto beschleunigt gleichmäßig. Oben fährt es, unten siehst du seine Geschwindigkeit über der Zeit. Um 1350 zeichnete Nicole Oresme solche Bilder als einer der Ersten. Wo im Bild steckt der Weg, den das Auto zurückgelegt hat?
Zeit t–läuft
Geschwindigkeit v–wächst gleichmäßig
Fläche unter dem Graphen = Weg–stimmen immer überein
Fläche = Weg, und die mittlere Geschwindigkeit
In einem kurzen Zeitstück ist der Weg „Geschwindigkeit · Zeit“ – ein schmaler Streifen unter dem Graphen. Alle Streifen zusammen: Die Fläche unter dem v-t-Graphen ist der Weg.Klappt man das obere Dreieck um, wird aus dem Trapez ein Rechteck mit der mittleren Geschwindigkeit: s = (v₀ + v₁) : 2 · t.
Startet das Auto aus dem Stand, wachsen die Wege in gleichen Zeitstreifen wie 1 : 3 : 5 : 7 – zusammen 1, 4, 9, 16: Der Weg wächst mit dem Quadrat der Zeit.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Punkte und Geraden
Steigung aus zwei Punktenm = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
„so viel hoch, wie man nach rechts geht“
„so viel hoch, wie man nach rechts geht“
Normalformy = m·x + b
b = y-Achsenabschnitt: b = y₁ − m·x₁
b = y-Achsenabschnitt: b = y₁ − m·x₁
Achsenabschnittsformx : a + y : b = 1
Schnitt mit den Achsen bei (a | 0) und (0 | b)
Schnitt mit den Achsen bei (a | 0) und (0 | b)
Mitte und LängeMitte: ((x₁ + x₂) : 2 | (y₁ + y₂) : 2)
Länge: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Länge: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Zeichne zu jeder Aufgabe ein Koordinatensystem – die Zeichnung ist deine Probe.
Schnitt, Lot, Schwerpunkt, Fläche
Schnittpunktm₁x + b₁ = m₂x + b₂ → x, dann y
Senkrechtm₁ · m₂ = −1, also m₂ = −1 : m₁
SchwerpunktS = ((x₁ + x₂ + x₃) : 3 | (y₁ + y₂ + y₃) : 3)
Dreiecksflächeumschließendes Rechteck minus drei rechtwinklige Dreiecke
Weg bei gleichmäßiger Beschleunigungs = (v₀ + v₁) : 2 · t
So arbeitest du: Hier verbindest du mehrere Schritte: Gleichungen aufstellen, ein Gleichungssystem lösen, Ergebnisse prüfen. Eine saubere Zeichnung zeigt dir, ob dein Ergebnis stimmen kann.
Werkzeuge für Experten
Gleich weit von A und B(x − x₁)² + (y − y₁)² = (x − x₂)² + (y − y₂)²
→ die Quadrate x², y² fallen weg: eine Geradengleichung (Mittelsenkrechte)
→ die Quadrate x², y² fallen weg: eine Geradengleichung (Mittelsenkrechte)
Höhe durch C senkrecht auf AB(x_B − x_A)·(x − x_C) + (y_B − y_A)·(y − y_C) = 0
Euler-GeradeH, S, M auf einer Geraden, HS : SM = 2 : 1
Schnittwinkeltan α = m (Steigungswinkel)
Schnittwinkel = Unterschied der Steigungswinkel
Schnittwinkel = Unterschied der Steigungswinkel
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir das Gitter, ohne dass es dasteht? Welches einfache Rechteck aus Kästchen umschließt das Dreieck genau?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das Rechteck von x = 1 bis 7 und von y = 1 bis 7 umschließt das Dreieck. Was übrig bleibt, sind drei rechtwinklige Dreiecke an den Rändern – zieh sie ab.Hilfe 3 – Lösung
Rechteck: 6 · 6 = 36.Randdreiecke: 6 · 2 : 2 = 6, 4 · 4 : 2 = 8, 2 · 6 : 2 = 6.
x = 36 − 6 − 8 − 6 = 16.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Vier rechte Winkel, und alle Seiten gleich lang. Wie kommst du von (1 | 2) nach (5 | 5) – wie viele Kästchen nach rechts, wie viele nach oben?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Von der ersten zur zweiten Ecke: 4 nach rechts, 3 nach oben. Die nächste Seite ist um 90° gedreht: Aus „4 rechts, 3 hoch“ wird „3 nach links, 4 nach oben“.Hilfe 3 – Lösung
Von (5 | 5) aus 3 nach links und 4 nach oben: (2 | 9). Also x = 9.Probe: Die Steigungen 3/4 und −4/3 ergeben multipliziert −1 – senkrecht ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Welche Linien treffen sich im grünen, im blauen und im orangen Punkt? Und wie liegen die drei Punkte zueinander?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Grün: Höhen (H), blau: Mittelsenkrechte (M), orange: Seitenhalbierende (S). S liegt auf der Strecke HM, doppelt so weit von H wie von M (Euler-Gerade, 2 : 1).Hilfe 3 – Lösung
Von H(3 | 6) nach M(15 | 3): 12 nach rechts, 3 nach unten. S liegt nach zwei Dritteln: 8 nach rechts, 2 nach unten → S(11 | 4). Also x = 11.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.