So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Die Stationen 1–3 gehören zu Klasse 9, die Stationen 4 und 5 (Kl. 10) kommen erst, wenn du das Harmonisieren sicher kannst.
Farben: Seite x · Quadrat x² und Flächen violett · Streifen (halbe Zahl vor x) blau · Ergänzung dunkelgelb · Lösungen rot
Station 1Hier klappt's nicht mehr
Ein Grundstück ist (2x + 8) m breit und (2x + 10) m lang. Es ist genau 630 m² groß. Welches x passt? Rate zuerst.
x–änderst du
Fläche (2x + 8)(2x + 10)–ändert sich
Ziel630 m²bleibt gleich
Abstand zum Ziel–ändert sich
Die Gleichung
Vieta probieren: zwei Klammern?
Für (x + m)(x + n) = 0 brauchst du zwei Zahlen mit m · n = −137,5 und m + n = 9. Probier ein paar „schöne“ Paare:
Klick ein Paar an.
Oder such mit dem Regler – n wird automatisch so gewählt, dass m · n = −137,5 bleibt:
m–änderst du
n = −137,5 : m–ändert sich mit
m · n−137,5bleibt gleich
m + n (Ziel 9)–ändert sich
Der Mangel treibt weiter
Aus der Fläche entsteht die Gleichung x² + 9x − 137,5 = 0. Mit zwei Klammern (Vieta) müsstest du zwei Zahlen mit Produkt −137,5 und Summe 9 erraten. Es gibt sie zwar – ungefähr 17,06 und −8,06 –, aber durch Probieren findet sie niemand. Die Lösung ist x ≈ 8,06, keine glatte Zahl.Vieta funktioniert nur, wenn die Zahlen „glatt“ aufgehen. Wir brauchen einen Weg, der ohne Raten auskommt. Den baust du in Station 2.
Station 2Das Quadrat schließen
Links steht x² + 8x: ein Quadrat und ein Rechteck. Welches Stück fehlt, damit daraus ein ganzes Quadrat wird?
Schritt 0/4
Fläche x² + px–bleibt beim Klappen gleich
Ergänzung (p : 2)²–hängt von p ab
rechte Seite (p : 2)² − q–ändert sich
Lösungen–ändern sich
Harmonisierung (quadratische Ergänzung)
Halbiere die Zahl vor x, klappe einen Streifen um und ergänze die fehlende Ecke – auf beiden Seiten der Gleichung. Dann steht links wieder eine binomische Formel: Die Gleichung ist „harmonisiert“.x² + px + q=0| − qx² + px=−q| + (p : 2)²(x + p : 2)²=(p : 2)² − q| √x + p : 2=± √((p : 2)² − q)
Al-Chwarizmi: Algebra heißt Auffüllen belegt
Bagdad, ca. 780 – ca. 850; sein Gleichungsbuch entstand um ca. 820
Muhammad al-Chwarizmi arbeitete in Bagdad und schrieb ein Buch darüber, wie man Gleichungen löst. Er hatte keine Buchstaben für Zahlen und keine negativen Zahlen. Eine Aufgabe wie „ein Quadrat und zehn seiner Seiten sind 39“ (x² + 10x = 39) löste er mit einer Figur: Quadrat, Streifen, und dann die fehlende Ecke ergänzen – so kam er auf x = 3. Das arabische Wort für dieses Ergänzen, al-dschabr, steht im Titel seines Buches. Daraus wurde unser Wort „Algebra“. Und aus seinem Namen, auf Latein „Algorismi“, wurde später das Wort „Algorithmus“.
Was das mit dir zu tun hat: Jedes Mal, wenn du die Ecke (p : 2)² ergänzt, betreibst du Algebra im ursprünglichen Wortsinn: Du füllst auf.
Station 3Zwei, eine oder keine Lösung?
Nach dem Harmonisieren steht da: (x + p : 2)² = R. Was passiert, wenn du q immer größer machst?
R = (p : 2)² − q–ändert sich
Anzahl der Lösungen–
tiefster Punkt der Kurve–ändert sich
Höhe des tiefsten Punktsimmer −Rbleibt so
Was unter der Wurzel steht, entscheidet
Die Zahl D = (p : 2)² − q heißt Diskriminante („die Unterscheidende“). Sie ist die Fläche des Quadrats (x + p : 2)².D > 0: zwei Lösungen x = −p : 2 ± √D · D = 0: genau eine Lösung x = −p : 2 · D < 0: keine Lösung – kein Quadrat hat eine negative Fläche.
Am Bild der Kurve y = x² + px + q siehst du dasselbe: Die Lösungen sind die Stellen, an denen die Kurve die x-Achse trifft. Ihr tiefster Punkt liegt genau D unter der Achse. Ist D negativ, schwebt die Kurve über der Achse.
Station 4Aus einem Beispiel wird eine Formel Kl. 10
Links harmonisierst du x² + 12x + 27 = 0. Rechts machst du genau dieselben Schritte mit p und q. Bevor es bei Schritt 2 weitergeht: Was musst du bei x² + px = −q auf beiden Seiten addieren?
Schritt 0/6
Teste die Formel an anderen Gleichungen x² + px + q = 0
Gleichung–x² + px + q = 0
x₁ = −p : 2 + √D–ändert sich
x₂ = −p : 2 − √D–ändert sich
Probe: x² + px + q–ergibt immer 0
Die pq-Formel
Für jede Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 gilt:x1,2 = −p : 2 ± √( (p : 2)² − q )
Die Formel ist nichts anderes als die Harmonisierung, einmal für alle Zahlen erledigt. Wenn du sie vergisst: harmonisiere einfach – die Formel steckt darin.Wichtig: Vor x² muss eine 1 stehen. Sonst teilst du zuerst die ganze Gleichung durch die Zahl vor x².
Station 5Drei Wege, ein Ergebnis: das Lösungsnetz Kl. 10
Löse x² + 22x + 120 = 0 zuerst auf deinem eigenen Weg im Heft. Welchen Weg nimmst du?
Wähle einen Weg und trag deine Lösungen ein.
Dein Weg–du entscheidest
Lösungen?auf jedem Weg dieselben
sichtbare Wege0 von 3werden mehr
Welcher Weg ist der beste?
Alle drei Wege führen zu denselben Lösungen – sie sind nur verschieden schnell.Vieta ist am schnellsten, wenn du ein glattes Zahlenpaar siehst (Produkt q, Summe p). Harmonisierung klappt immer und zeigt dir, warum. Die pq-Formel ist die Harmonisierung im Voraus erledigt – praktisch bei krummen Zahlen.
Profi-Tipp: Löse mit einem Weg und mach die Probe auf einem anderen, z. B. mit Vieta: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Hier brauchst du nur die Harmonisierung – keine Formel.
Harmonisierung in vier Schritten
1. Zahl ohne x nach rechtsx² + 8x + 15 = 0 | − 15
x² + 8x = −15
x² + 8x = −15
2. Ecke ergänzenHälfte von 8 ist 4, 4² = 16 | + 16
x² + 8x + 16 = 1
x² + 8x + 16 = 1
3. Binomische Formel(x + 4)² = 1 | √
x + 4 = 1 oder x + 4 = −1
x + 4 = 1 oder x + 4 = −1
4. Lösungenx₁ = −3, x₂ = −5
Probe: (−3)² + 8 · (−3) + 15 = 0 ✓
Probe: (−3)² + 8 · (−3) + 15 = 0 ✓
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Wenn die Wurzel nicht aufgeht, darfst du den Taschenrechner benutzen und rundest auf zwei Stellen.
Harmonisieren – auch wenn es krumm wird
Normalform zuerst3x² + 24x + 45 = 0 | : 3
x² + 8x + 15 = 0
x² + 8x + 15 = 0
Ergänzungx² + px + (p : 2)² = (x + p : 2)²
z. B. x² + 9x + 4,5² = (x + 4,5)²
z. B. x² + 9x + 4,5² = (x + 4,5)²
Wurzel(x + h)² = R → x + h = ± √R
R < 0: keine Lösung
R < 0: keine Lösung
SachaufgabenNegative Längen entfallen. Runden: ≈ mit zwei Stellen.
So arbeitest du: Kl. 10 Hier benutzt du die pq-Formel. Bring die Gleichung immer zuerst in die Normalform x² + px + q = 0 und schreib p und q mit Vorzeichen heraus. Prüfe mit einem zweiten Weg.
Die pq-Formel und ihre Kontrolle
pq-Formelx² + px + q = 0
x1,2 = −p : 2 ± √((p : 2)² − q)
x1,2 = −p : 2 ± √((p : 2)² − q)
DiskriminanteD = (p : 2)² − q
D > 0: zwei · D = 0: eine · D < 0: keine Lösung
D > 0: zwei · D = 0: eine · D < 0: keine Lösung
Probe mit Vietax₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q
x₁ · x₂ = q
Gleichung aus Lösungen(x − x₁)(x − x₂) = 0
ausmultiplizieren → x² + px + q = 0
ausmultiplizieren → x² + px + q = 0
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der linke Teil hat zwei gleiche Seiten x – was ist er also? Wie lang ist die ganze untere Seite?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die ganze Figur ist ein Rechteck mit den Seiten x und x + 4. Also x · (x + 4) = 45, das heißt x² + 4x = 45. Ergänze die Ecke: + 2².Hilfe 3 – Lösung
x² + 4x + 4 = 49, also (x + 2)² = 49, x + 2 = 7, x = 5. (x + 2 = −7 gibt x = −9 – keine Länge.)Probe: 5 · 9 = 45 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Aus welchen Teilen besteht das Kreuz? Und: Welche vier kleinen Stücke fehlen in den Ecken, damit ein großes Quadrat daraus wird?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das Kreuz ist x² + 4 · 3x = x² + 12x = 64. Ergänze die vier Eckquadrate 3 · 3: Dann ist das große Quadrat (x + 6)² = 64 + 36.Hilfe 3 – Lösung
x² + 12x + 36 = 100, also (x + 6)² = 100, x + 6 = 10, x = 4.Probe: 4² + 12 · 4 = 16 + 48 = 64 ✓ – genau so hat al-Chwarizmi gerechnet: mit vier Ecken statt einer.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
Violett zusammen: 60 · x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Was passiert mit den vier Beeten, wenn du die beiden Wege herausschneidest und die Beete zusammenschiebst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zusammengeschoben bilden die Beete ein Rechteck mit den Seiten 12 − x und 8 − x. Also (12 − x)(8 − x) = 60.Hilfe 3 – Lösung
96 − 20x + x² = 60, also x² − 20x + 36 = 0.Harmonisieren: x² − 20x + 100 = 64, (x − 10)² = 64, x − 10 = ± 8.
x = 18 ist unmöglich (breiter als das ganze Feld), also x = 2. Probe: 10 · 6 = 60 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.