So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Parabel navy · Nullstellen und Lösungen rot · Scheitel und Symmetrieachse dunkelgelb · Höhen grün · waagrechte Schritte blau · Ziehpunkte sind dicke Kreise
Station 1Die Kanonenkugel im Blitzlicht
Eine Kugel fliegt durch die Luft. In gleichen Zeitabständen blitzt ein Licht und hält ihre Lage fest. Wie wachsen die Abstände nach unten, wenn du vom höchsten Punkt aus zählst?
Du kannst das Koordinatenkreuz auch selbst ziehen. In der Nähe des höchsten Punkts rastet es ein.
waagrecht je Blitz–immer gleich viel
Fall unter dem Scheitel–nach 1, 2, 3 … Blitzen
Wurfweite–ändert sich
Gipfelhöhe–ändert sich
Die Wurfbahn ist eine Parabel
Waagrecht kommt die Kugel in jedem Zeitschritt gleich weit. Senkrecht fällt sie vom Scheitel aus um 1, 4, 9, 16 … kleine Einheiten – wie die Quadratzahlen.Legst du den Ursprung in den Scheitel, heißt das: Nach k Schritten ist x = k · Schritt und y = −k² · Einheit. Also ist y immer dieselbe Zahl mal x²: y = −a · x² (a hängt von Wurfgeschwindigkeit und Winkel ab).
Probier auch die Winkel aus: Ohne Luftwiderstand fliegt die Kugel bei 45° am weitesten. Das hat schon Niccolò Tartaglia im 16. Jahrhundert durch Probieren herausgefunden.
Station 2Die Parabel verschieben – die Gleichung wandert mit
Die Normalparabel y = x² wird um 3 nach rechts geschoben. Welche Gleichung hat sie dann?
Zieh am Scheitel (navy) oder am Punkt einen Schritt rechts daneben (grün).
Scheitel S–ändert sich
Scheitelform–ändert sich
Normalform–ausmultipliziert
1 Schritt vom Scheitel weg–geht es immer um a hoch
Scheitelform y = a(x − d)² + e
Der Scheitel liegt bei S(d | e). Achtung, Falle: Nach rechts verschoben heißt minus in der Klammer – bei x = d wird die Klammer null.a sagt, wie die Parabel geöffnet ist: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten; |a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter als die Normalparabel. Ein Schritt vom Scheitel weg geht es um a nach oben (oder unten), zwei Schritte um 4a, drei um 9a.
Ausmultipliziert entsteht die Normalform y = ax² + bx + c. Rückwärts kommst du mit der quadratischen Ergänzung (Harmonisierung) wieder zur Scheitelform.
Station 3Nullstellen sind Lösungen
Eine Parabel y = x² + px + q schneidet die x-Achse bei 1 und bei 5. Wo liegt ihr tiefster Punkt?
Zieh die beiden roten Nullstellen auf der x-Achse.
Gleichung x² + px + q = 0–ändert sich
Lösungen = Nullstellen–ziehst du
Scheitel: Mitte der Nullstellen–stimmt immer: x = −p : 2
y-Achsenabschnitt–stimmt immer: q = x₁ · x₂
Gleichung und Parabel erzählen dasselbe
Die Lösungen der Gleichung x² + px + q = 0 sind genau die Nullstellen der Parabel y = x² + px + q.Die Parabel ist symmetrisch: Der Scheitel liegt genau in der Mitte der Nullstellen, bei x = −p : 2. Der y-Achsenabschnitt ist q = x₁ · x₂ – das ist der Satz von Vieta, diesmal als Bild.
Kennst du die Nullstellen, kannst du die Parabel sofort hinschreiben: y = (x − x₁)(x − x₂) (Linearfaktorform).
Station 4Ein Punkt, eine Linie – und eine Spur
P soll immer gleich weit vom Punkt F und von der Linie L entfernt sein. Welche Spur hinterlässt P?
Zieh P (navy) nach links und rechts.
Abstand P zu F–ändert sich
Abstand P zu L–ändert sich
Unterschied0bleibt immer 0
P–wandert
Brennpunkt und Leitlinie
Alle Punkte, die von F und von L gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Parabel. Liegt der Scheitel im Ursprung, F bei (0 | f) und L bei y = −f, gilt √(x² + (y − f)²) = y + f → y = x² : (4f)Für die Normalparabel y = x² ist f = 1/4. Und die Lichtstrahlen zeigen, woher der Name Brennpunkt kommt: Ein Parabolspiegel lenkt alle senkrecht einfallenden Strahlen genau nach F. So funktionieren Satellitenschüsseln, Solarkocher und – umgekehrt – Scheinwerfer.
Apollonios gibt der Parabel ihren Namen belegt
Perge und Alexandria, ca. 262 – ca. 190 v. Chr.
Apollonios schnitt in Gedanken einen Kegel mit einer Ebene und untersuchte die Kurven, die dabei entstehen, in einem großen Werk über die Kegelschnitte. Er gab ihnen die Namen, die wir heute noch benutzen – und zwar nach einem Flächenvergleich: Bei der einen Kurve passt ein Quadrat genau an ein Rechteck an – griechisch parabolé, „Danebenlegen“. Bei den beiden anderen bleibt etwas übrig (hyperbolé, „Überschuss“) oder es fehlt etwas (élleipsis, „Mangel“). Die Pointe: Wer im Deutschunterricht maßlos übertreibt, benutzt eine „Hyperbel“ – dasselbe Wort.
Was das mit dir zu tun hat: y = x² ist eigentlich eine Aussage über Flächen – ein Quadrat mit Seite x, das genau so groß ist wie ein Rechteck mit den Seiten y und 1.
Station 5Drei Punkte, eine Parabel
Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Geht durch drei beliebige Punkte immer genau eine Parabel?
Zieh die drei Punkte. Sie rasten auf ganzen Zahlen ein.
a–ändert sich
b–ändert sich
c–ändert sich
Ergebnis–
Drei Punkte – drei Gleichungen
Jeder Punkt (x | y) liefert eine Gleichung a·x² + b·x + c = y. Drei Punkte geben drei Gleichungen für die drei Unbekannten a, b, c – ein lineares Gleichungssystem.Es gibt genau eine Parabel, wenn die drei x-Werte verschieden sind. Ausnahmen: Zwei Punkte liegen senkrecht übereinander (dann gibt es keine Funktion), oder alle drei liegen auf einer Geraden (dann wird a = 0 – keine Parabel mehr).
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Scheitelform und Normalparabel
Normalparabely = x², Scheitel S(0 | 0)
1 Schritt → 1 hoch, 2 → 4, 3 → 9
1 Schritt → 1 hoch, 2 → 4, 3 → 9
Scheitelformy = a(x − d)² + e
Scheitel S(d | e)
Scheitel S(d | e)
Öffnunga > 0 nach oben, a < 0 nach unten
|a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter
|a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter
Linearfaktorformy = (x − x₁)(x − x₂)
Nullstellen x₁, x₂, Scheitel in der Mitte
Nullstellen x₁, x₂, Scheitel in der Mitte
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Wenn eine Wurzel nicht aufgeht, darfst du den Taschenrechner benutzen.
Zwischen Normalform und Scheitelform
Ergänzeny = x² + bx + c
= x² + bx + (b : 2)² − (b : 2)² + c
= (x + b : 2)² + c − (b : 2)²
= x² + bx + (b : 2)² − (b : 2)² + c
= (x + b : 2)² + c − (b : 2)²
Nullstelleny = 0 setzen und lösen
(pq-Formel oder Harmonisierung)
(pq-Formel oder Harmonisierung)
a aus einem PunktS und P in y = a(x − d)² + e einsetzen, nach a auflösen
SchnittpunkteParabel = Gerade setzen,
alles auf eine Seite, lösen
alles auf eine Seite, lösen
So arbeitest du: Hier musst du selbst ein Koordinatensystem wählen oder ein Gleichungssystem aufstellen. Mach immer zuerst eine Skizze.
Werkzeuge für Experten
Drei Punktea·x² + b·x + c = y für jeden Punkt → 3 Gleichungen, c zuerst eliminieren
Brennpunkty = x² : (4f)
Brennweite f = x² : (4y) für einen Punkt (x | y)
Brennweite f = x² : (4y) für einen Punkt (x | y)
Größter WertDer Scheitel einer nach unten offenen Parabel ist der höchste Punkt.
Senkrechter Wurfh(t) = h₀ + v·t − 5t² (g ≈ 10 m/s²)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die gestrichelte Linie durch den tiefsten Punkt, ohne dass es dasteht? Was passiert, wenn du die Kurve an ihr spiegelst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Parabel ist symmetrisch zur gestrichelten Linie bei 5. Die linke Nullstelle liegt 3 links davon.Hilfe 3 – Lösung
5 − 2 = 3, also liegt die andere Nullstelle 3 rechts von 5: x = 8.Mit Vieta-Blick: Die Mitte der Nullstellen ist (2 + 8) : 2 = 5 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die rote Strecke liegt waagrecht und die Kurve ist symmetrisch zur y-Achse. Wie weit ist jeder Endpunkt von der y-Achse entfernt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jeder Endpunkt liegt 6 : 2 = 3 von der y-Achse entfernt, also bei x = 3 bzw. x = −3. Seine Höhe liefert y = x².Hilfe 3 – Lösung
y = 3² = 9, also x = 9 (die gesuchte Höhe).Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wo würdest du das Koordinatenkreuz hinlegen, damit die Gleichung des Bogens möglichst einfach wird? Wo liegen dann die Ecken des Rechtecks?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Ursprung in die Mitte am Boden: Der Bogen ist y = 8 − a·x² und geht durch (4 | 0). Daraus folgt a. Die oberen Rechteckecken liegen bei x = 2 auf dem Bogen.Hilfe 3 – Lösung
0 = 8 − a · 16, also a = 1/2 und y = 8 − x² : 2.Bei x = 2: y = 8 − 4 : 2 = 6, also x = 6.
Ohne Gleichung: Halb so weit von der Mitte heißt ¼ der Absenkung (Quadratzahlen!): 8 − 8 : 4 = 6.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.