So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Höhe = Sinus · waagrechter Abstand = Kosinus · Tangens · Radius und Bogen · Einheitskreis: Radius 1
Station 1Abwickeln: Der Kreis wird zur Welle
Ein Punkt läuft auf einem Kreis mit Radius 1. Rechts wird seine Höhe aufgetragen – Grad für Grad. Welche Form entsteht?
Winkel φ–ändert sich
sin φ (Höhe)–ändert sich
cos φ (waagrecht)–ändert sich
sin² φ + cos² φ1bleibt immer 1 (Pythagoras!)
Drück auf „Abwickeln“ oder schieb den Regler.
Sinus und Kosinus für jeden Winkel
Am Kreis mit Radius 1 hat der Punkt beim Winkel φ die Koordinaten P = (cos φ | sin φ).Für spitze Winkel ist das dasselbe wie Gegenkathete : Hypotenuse – aber jetzt gilt es für jeden Winkel. Die Höhe wächst bis 1 (bei 90°), fällt auf 0 (180°), wird negativ bis −1 (270°) und kommt nach 360° zurück: die Sinuskurve.
Die Kosinuskurve ist dieselbe Welle, nur um 90° verschoben. Der Tangens ist die Höhe auf der Tangente rechts am Kreis – er springt bei 90° und 270° ins Unendliche (so zeichnete ihn schon Abu'l-Wafa um 980 in Bagdad).
Station 2Der Zeiger hat eine Geschichte
Der Zeiger steht bei 60°. Jetzt dreht er eine ganze Runde weiter: 420°. Hat sich am Sinus etwas geändert? Und wo gibt es noch einen Winkel mit genau derselben Höhe?
Zieh den Zeiger im Kreis – auch über mehrere Runden und rückwärts unter 0°.
Winkel mit Geschichte–
Stellung im Kreis–nach ganzen Runden gleich
sin–nach ganzen Runden gleich
Spiegelpartner–gleiche Höhe
Periode und Symmetrie
Eine ganze Runde ändert nichts an der Stellung: sin(φ + 360°) = sin φ – der Sinus ist periodisch mit der Periode 360°.Der an der y-Achse gespiegelte Punkt hat dieselbe Höhe: sin(180° − φ) = sin φ. Deshalb gehören zu jedem Sinuswert zwischen −1 und 1 zwei Winkel in einer Runde – der Taschenrechner nennt dir nur einen!
Vorzeichen: sin ist oben (I. und II. Viertel) positiv, unten negativ; cos ist rechts (I. und IV.) positiv, links negativ.
Station 3Bogenmaß: Wie oft passt der Radius um den Kreis?
Du nimmst den Radius als Stück Schnur und legst ihn außen um den Kreis – einmal, zweimal, … Wie oft passt er ganz herum?
Der rote Radius wird gleich um 90° gedreht und dann um den Kreis gebogen.
angelegte Radien0ändert sich
Winkel dazu0°ändert sich
1 Radius als Bogen1 rad ≈ 57,3°bleibt gleich
Das Bogenmaß
Ein Bogen so lang wie der Radius gehört zum Winkel 1 rad (Radiant) ≈ 57,3°. Der ganze Umfang ist 2π · r, also passt der Radius 2π ≈ 6,28-mal herum:360° = 2π rad · 180° = π rad · x = φ · π : 180°
Im Bogenmaß misst man einen Winkel als Länge – auf dem Kreis mit Radius 1 ist die Bogenlänge genau die Zahl x. Deshalb rechnen Taschenrechner und Computer intern im Bogenmaß (Modus RAD).
Station 4Wellen bauen: y = a · sin(b · x) + d
Die graue Welle ist y = sin x. Was passiert, wenn du b verdoppelst?
Amplitude |a|–Ausschlag nach oben und unten
Periode 360° : b–Länge einer Welle
Mittellinie y = d–Höhe der Achse
Drei Regler für jede Welle
y = a · sin(b · x) + da streckt in die Höhe (Amplitude). b staucht in die Breite: Die Periode ist 360° : b – doppeltes b heißt doppelt so viele Wellen auf derselben Strecke. d hebt die Mittellinie.
So beschreibt man das Riesenrad (Höhe der Gondel), Ebbe und Flut und jeden reinen Ton: Ein hoher Ton hat ein großes b (viele Schwingungen pro Sekunde), ein lauter Ton ein großes a.
BonusSinus selbstgemacht: Bürgis Kunstweg
Um 1590 brauchte man Sinustafeln – ohne Taschenrechner. Jost Bürgi fand einen Trick, der nur Halbieren und Addieren braucht. Du startest mit fast beliebigen Zahlen für 0° bis 90°. Was kommt nach ein paar Runden heraus?
Runde0ändert sich
größte Abweichung vom Sinus–wird kleiner
Wert bei 30° : Wert bei 90°–echter Sinus: 0,5
Die Spalte vergisst ihren Anfang
Die Rechenregel einer Runde: 1. die Zahl bei 90° halbieren, 2. von unten nach oben aufsummieren (Zwischensummen), 3. die Zwischensummen von oben nach unten aufsummieren (neue Spalte). Teilt man durch den Wert bei 90°, bekommt man die Sinuswerte – nach jeder Runde etwa 30-mal genauer.Warum? Zweimal aufsummieren macht aus einer Spalte ungefähr „Höhe mal Krümmung“. Die Sinuskurve ist die einzige Form, die dabei ihre Gestalt behält: Ihre Krümmung ist genau proportional zu ihrer Höhe. Alles andere wird Runde für Runde „herausgefiltert“.
Fourier: Jede Kurve ist ein Chor aus Sinuswellen belegt
Joseph Fourier · ca. 1768 – 1830 · Frankreich
Fourier wollte verstehen, wie sich Wärme in einem Metallstab ausbreitet. Dabei kam er 1807 auf eine kühne Behauptung: Jede noch so eckige, sich wiederholende Kurve lässt sich aus lauter Sinuswellen zusammensetzen – mit passenden a und b. Berühmte Kollegen wie Lagrange hielten das für falsch, und sein großes Buch erschien erst 1822. Heute weiß man: Er hatte (fast immer) recht. Die Pointe: Jedes Handy, das Musik abspielt, zerlegt Klänge in Sinuswellen – nach Fouriers Idee.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du an Station 4 die Regler a und b schiebst, baust du eine einzelne Stimme aus Fouriers Chor.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Punkt auf dem Kreis (r = 1)P = (cos φ | sin φ)
sin = Höhe, cos = waagrechter Abstand
sin = Höhe, cos = waagrechter Abstand
Merkwertesin 30° = cos 60° = 0,5
sin 45° = cos 45° = ½√2 ≈ 0,707
sin 60° = cos 30° = ½√3 ≈ 0,866
sin 45° = cos 45° = ½√2 ≈ 0,707
sin 60° = cos 30° = ½√3 ≈ 0,866
Symmetriensin(180° − φ) = sin φ
sin(180° + φ) = −sin φ · sin(360° − φ) = −sin φ
sin(φ ± 360°) = sin φ (ebenso cos)
sin(180° + φ) = −sin φ · sin(360° − φ) = −sin φ
sin(φ ± 360°) = sin φ (ebenso cos)
Bogenmaßx = φ · π : 180° · φ = x · 180° : π
180° = π · 90° = π/2 · 360° = 2π
180° = π · 90° = π/2 · 360° = 2π
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Sinusfunktionen und Sinusgleichungen
y = a · sin(b · x)Amplitude |a| · Periode 360° : b
erster Hochpunkt bei x = 90° : b
erste Nullstelle nach 0 bei x = 180° : b
erster Hochpunkt bei x = 90° : b
erste Nullstelle nach 0 bei x = 180° : b
sin x = c (−1 < c < 1)x₁ = sin⁻¹(c) (TR)
x₂ = 180° − x₁
negative Werte + 360°
x₂ = 180° − x₁
negative Werte + 360°
Modell mit Mittellinieh(t) = d + a · sin(360° : T · t)
T = Periode (Dauer einer Schwingung)
T = Periode (Dauer einer Schwingung)
Bogenlängeb = r · x (x im Bogenmaß)
= 2π r · φ : 360°
= 2π r · φ : 360°
So arbeitest du: Hier verbindest du mehrere Schritte. Mach eine Skizze der Kurve und markiere, was gegeben ist und was gesucht ist.
Werkzeuge für Experten
Sinus ohne Tafelsin x ≈ x − x³ : 6 + x⁵ : 120
(x im Bogenmaß, gut für kleine x)
(x im Bogenmaß, gut für kleine x)
Riesenrad (Start unten)h(t) = H − r · cos(360° · t : T)
Bürgis Rundeunten halbieren → nach oben aufsummieren → nach unten aufsummieren → durch den Endwert teilen
tan x = cx₁ = tan⁻¹(c), x₂ = x₁ + 180°
(Periode des Tangens: 180°)
(Periode des Tangens: 180°)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Welcher Teil der Welle liegt zwischen den beiden markierten Nullstellen – ein ganzer Berg, ein halber, eine ganze Welle?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zwischen zwei benachbarten Nullstellen liegt genau ein Bogen (eine halbe Welle). Von Gipfel zu Gipfel ist es eine ganze Welle.Hilfe 3 – Lösung
Halbe Periode = 5, also Periode = x = 10. (Bei y = sin x: Nullstellen 180° auseinander, Gipfel 360°.)Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Hilfsdreieck suchen Wo versteckt sich ein rechtwinkliges Dreieck? Welche Seite darin ist der Radius, welche ist x?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
x ist die Gegenkathete zum 30°-Winkel, der Radius 14 die Hypotenuse. Also x = 14 · sin 30°. Oder: Spiegle das Dreieck nach unten – es entsteht ein gleichseitiges Dreieck.Hilfe 3 – Lösung
x = 14 · sin 30° = 14 · 0,5 = 7.Ohne Sinus: Das gespiegelte Dreieck ist gleichseitig mit Seite 14, und x ist die halbe Seite.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Erst ein Teil Welche Teilstrecke kannst du sicher ausrechnen? Wie weit liegt die Gondel unter der Nabe?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Fälle das Lot von der Gondel auf den senkrechten Radius. Im entstehenden Dreieck ist der Radius 20 die Hypotenuse, und der Abstand unter der Nabe ist die Ankathete zum 60°-Winkel.Hilfe 3 – Lösung
Unter der Nabe: 20 · cos 60° = 20 · 0,5 = 10.x = 25 − 10 = 15.
Probe: Ganz unten wäre die Gondel bei 25 − 20 = 5, auf Nabenhöhe bei 25. 15 liegt dazwischen ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.