So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Seite a (gegenüber von A) · Seite b (gegenüber von B) · Seite c (gegenüber von C, meist gesucht) · Höhe h · Flächen · Winkel α bei A, β bei B, γ bei C
Station 1Hier versagt der Sinussatz
Zwischen den Stegen A und B liegt ein See. Vom Punkt C aus kannst du messen: CA = 300 m, CB = 800 m und den Winkel bei C: 60°. Wie weit ist es von A nach B? Schätz zuerst – dann versuch es mit dem Sinussatz.
Deine Schätzung: m
Klick einen Versuch an. Grün = bekannt, rot = unbekannt.
bekannta = 800 m · b = 300 m · γ = 60°bleibt gleich
vollständige Pärchen (Seite + Gegenwinkel)?noch nicht geprüft
Versuche mit dem Sinussatz0 von 3–
Der Sinussatz braucht immer ein Pärchen: eine Seite und den Winkel, der ihr gegenüberliegt.
Ohne Pärchen kein Sinussatz
In jeder Gleichung des Sinussatzes stecken hier zwei Unbekannte. Bei zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel (SWS) liegt keinem bekannten Winkel eine bekannte Seite gegenüber. Bei drei Seiten (SSS) ist es genauso.Nachmessen in einer Zeichnung geht – aber nur ungefähr. Wir brauchen eine Rechnung, die aus a, b und γ direkt c liefert. Die Idee kennst du schon: über die Höhe gehen. Weiter in Station 2.
Station 2Zweimal Pythagoras – und p² verschwindet
Die Höhe zerlegt jedes Dreieck in zwei rechtwinklige. Was fällt dir zu rechtwinkligen Dreiecken ein? Kann man damit a aus b, c und α berechnen?
Schritt 0/7
Seiten (Kästchen-Einheiten)–ändern sich beim Ziehen
Teilstück p–ändert sich
Probe: a² gegen b² + c² − 2bc · cos α–immer gleich
Zieh an C (nur in Schritt 0 und 1), dann spiel die Schritte noch einmal ab.
Der Kosinussatz
Aus zweimal Pythagoras und p = b · cos α folgt für jedes Dreieck:a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α
Genauso (Buchstaben im Kreis vertauscht): b² = a² + c² − 2ac · cos β und c² = a² + b² − 2ab · cos γ
Der Winkel in der Formel liegt immer zwischen den beiden Seiten rechts – und gegenüber der Seite links. Das ist der Satz für SWS und SSS.
Station 3Das Flächenbild: Wo bleibt der Rest?
Über jeder Seite steht ein Quadrat. Die Höhen zerschneiden jedes Quadrat in zwei Rechtecke. Rechtecke gleicher Farbe sind gleich groß. Was fehlt dem Quadrat c², damit es so groß ist wie a² + b²?
Zieh an C. Das Dreieck bleibt spitzwinklig.
Winkel γ–ändert sich
a² + b²–ändert sich
c² (c = 5 bleibt fest)–bleibt gleich
violettes Rechteck a · b · cos γ–
Pythagoras mit Korrektur
c² besteht aus einem grünen und einem gelben Rechteck. a² und b² haben dieselben Rechtecke – und dazu je ein violettes mit der Fläche a · b · cos γ. Also:c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ
Bei γ = 90° ist cos γ = 0: Die violetten Rechtecke verschwinden, und es bleibt der Satz des Pythagoras. Dieses Bild kannte schon Euklid (um 300 v. Chr.) – nur ohne das Wort „Kosinus“.
Station 4Das Gelenk: Wie lang wird c?
Zwei Stäbe, a = 5 cm und b = 8 cm, sind bei C mit einem Gelenk verbunden. Du öffnest das Gelenk. Bei welchem Winkel γ ist die dritte Seite genau c = 7 cm?
a² + b² (Pythagoras-Teil)25 + 64 = 89bleibt gleich
Korrektur − 2ab · cos γ–
c² und c–ändert sich
Das Korrekturglied hat ein Vorzeichen
c² = 89 − 80 · cos γγ spitz: cos γ > 0 → c ist kürzer als bei Pythagoras. γ = 90°: Korrektur 0. γ stumpf: cos γ < 0 → c ist länger.
Grenzfall-Probe: Bei γ = 0° liegen die Stäbe aufeinander: c = 8 − 5 = 3. Bei γ = 180° liegen sie gestreckt: c = 8 + 5 = 13. Die Formel liefert genau das: 89 − 80 = 9 = 3² und 89 + 80 = 169 = 13².
Und c = 7 bei γ = 60°, weil cos 60° = 0,5: 89 − 40 = 49.
Station 5Drei Stäbe – und ein Winkel, den niemand gemessen hat
Aus drei Stäben (3, 5 und 7 cm) baust du ein Dreieck. Wie groß ist der Winkel gegenüber dem längsten Stab?
cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab)–
Winkel γ (gegenüber c)–ändert sich
Dreieck möglich?–
Kosinussatz rückwärts: SSS
Stellt man den Kosinussatz nach cos γ um, bekommt man den Winkel aus drei Seiten:cos γ = (a² + b² − c²) : (2 · a · b)
Für 3, 5, 7: cos γ = (9 + 25 − 49) : 30 = −0,5, also γ = 120°.
Kommt eine Zahl größer als 1 oder kleiner als −1 heraus, gibt es kein Dreieck: Die Zirkelbögen treffen sich nicht. Die Formel prüft also nebenbei die Dreiecksungleichung.
Al-Kaschi rechnet für den Sternenhimmel belegt
Ghiyath ad-Din al-Kaschi · ca. 1380 – 1429 · Samarkand (heute Usbekistan)
Al-Kaschi arbeitete an der großen Sternwarte von Samarkand, die der Fürst Ulugh Beg bauen ließ. Für die Sternentafeln brauchte er Dreiecke, in denen kein Pärchen bekannt war. In seinem Rechenbuch von 1427 schrieb er den Satz so auf, dass man ihn mit Tabellen bequem ausrechnen konnte. Nebenbei berechnete er π auf 16 Stellen genau – ein Rekord, der rund 150 Jahre hielt. Und die Pointe: In Frankreich heißt der Kosinussatz bis heute théorème d'Al-Kashi.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du c² = a² + b² − 2ab · cos γ rechnest, benutzt du dieselbe Abkürzung, mit der vor 600 Jahren Sternörter berechnet wurden.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Kosinussatz – für SWS und SSS
Seite gesucht (SWS)c² = a² + b² − 2ab · cos γ
a² = b² + c² − 2bc · cos α
b² = a² + c² − 2ac · cos β
a² = b² + c² − 2bc · cos α
b² = a² + c² − 2ac · cos β
Winkel gesucht (SSS)cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab)
dann γ mit cos⁻¹ (TR: SHIFT cos)
dann γ mit cos⁻¹ (TR: SHIFT cos)
Merkwertecos 60° = 0,5 · cos 90° = 0 · cos 120° = −0,5
cos negativ ⇔ Winkel stumpf
cos negativ ⇔ Winkel stumpf
Wann welcher Satz?Pärchen (Seite + Gegenwinkel) bekannt → Sinussatz.
Kein Pärchen (SWS, SSS) → Kosinussatz.
Kein Pärchen (SWS, SSS) → Kosinussatz.
So arbeitest du: Hier brauchst du mehrere Schritte oder sogar eine quadratische Gleichung. Mach zuerst eine Skizze und markiere, was gegeben ist (grün) und was gesucht ist (rot).
Werkzeuge für Experten
Ganzes Dreieck aus SWS1. Kosinussatz → dritte Seite
2. Jetzt gibt es ein Pärchen → zweiter Winkel (Kosinussatz oder Sinussatz für den kleineren Winkel)
3. Winkelsumme 180°
2. Jetzt gibt es ein Pärchen → zweiter Winkel (Kosinussatz oder Sinussatz für den kleineren Winkel)
3. Winkelsumme 180°
Parallelogramme² = a² + b² − 2ab · cos α
f² = a² + b² + 2ab · cos α
(Nachbarwinkel: cos(180° − α) = −cos α)
f² = a² + b² + 2ab · cos α
(Nachbarwinkel: cos(180° − α) = −cos α)
UhrzeigerStundenzeiger: 30° pro Stunde, 0,5° pro Minute
Minutenzeiger: 6° pro Minute
Minutenzeiger: 6° pro Minute
Seite neben dem Winkel gesucht (SSW)Kosinussatz mit Unbekannter c → quadratische Gleichung
x² + px + q = 0 → x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
x² + px + q = 0 → x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Erst schätzen Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Wäre der Winkel 90°, wie lang wäre x dann ungefähr? Muss x bei einem stumpfen Winkel länger oder kürzer sein?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zwei Seiten und der Winkel dazwischen sind bekannt. Du brauchst nur noch cos 120° – und das ist eine glatte Zahl: −0,5.Hilfe 3 – Lösung
x² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 120° = 49 + 64 − 112 · (−0,5) = 113 + 56 = 169, also x = 13.Probe mit der Schätzung: Bei 90° wäre x = √113 ≈ 10,6. Der stumpfe Winkel macht x länger ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die kleinen Striche auf den Seiten? Welche Längen und welche Winkel kennst du dadurch, obwohl keine Zahl dransteht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das Dreieck ist gleichseitig: Jede Seite ist 5 + 16 = 21 lang, jeder Winkel 60°. Schau nur auf das linke Teildreieck: Es hat die Seiten 5 und 21 mit 60° dazwischen.Hilfe 3 – Lösung
x² = 21² + 5² − 2 · 21 · 5 · cos 60° = 441 + 25 − 105 = 361, also x = 19.Probe von rechts: 21² + 16² − 21 · 16 = 441 + 256 − 336 = 361 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Hilfsdreieck suchen x ist eine Seite in einem Dreieck, das gar nicht eingezeichnet ist. Welche dritte Ecke gehört dazu? Was weißt du dort über die Winkel auf der Geraden?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Nimm den Berührpunkt als dritte Ecke. Auf der Geraden liegen dort drei Winkel: 60° (kleines Dreieck), der gesuchte, 60° (großes Dreieck). Zusammen 180°.Hilfe 3 – Lösung
Am Berührpunkt: 180° − 60° − 60° = 60° zwischen den Seiten 3 und 8.x² = 3² + 8² − 2 · 3 · 8 · cos 60° = 9 + 64 − 24 = 49, also x = 7.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.