So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Kathete a mit Quadrat a² (orange-hell) · Kathete b mit Quadrat b² (blau-hell) · Hypotenuse c mit Quadrat c² (rot-hell) · Höhe h
Station 1Nur bei 90°
Über jeder Seite des Dreiecks steht ein Quadrat. Sind die beiden kleinen Quadrate zusammen genauso groß wie das große? Was meinst du?
Zieh am Punkt C. Bei 90° rastet er ein.
Winkel bei C–ändert sich
Kathetenquadrate (Kästchen)–ändern sich
Hypotenusenquadrat c²25 KästchenA und B bleiben fest
Vergleich–
Satz des Pythagoras
Nur wenn bei C ein rechter Winkel ist, gilt: a² + b² = c²Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten (a, b). Die Seite gegenüber heißt Hypotenuse (c) – sie ist die längste.
Ist der Winkel bei C größer als 90° (stumpf), ist c² größer als a² + b². Ist er kleiner (spitz), ist c² kleiner. Alle Punkte C mit rechtem Winkel liegen auf dem Halbkreis über AB (Thaleskreis).
Station 2Umlegen statt rechnen
Vier gleiche Dreiecke liegen in einem großen Quadrat. In der Mitte bleibt ein schräges Quadrat frei. Jetzt legen wir die Dreiecke um. Bleibt danach mehr, weniger oder gleich viel frei?
großes Quadrat (a + b)²–bleibt gleich
4 Dreiecke 4 · a · b : 2–bleiben gleich
frei vorher: c²–Kästchen
frei nachher: a² + b²–Kästchen
Gleich viel Platz bleibt frei
Das große Quadrat ist immer gleich groß, und die vier Dreiecke nehmen immer gleich viel Platz weg. Also ist auch der freie Rest gleich groß:vorher frei: c² = nachher frei: a² + b²
Das ist schon ein vollständiger Beweis – ganz ohne Rechnen.
Station 3Euklids Beweis in 4 Schritten
Wie kann aus dem Quadrat b² ein Rechteck im großen Quadrat werden – ohne dass sich seine Fläche ändert?
Schritt 0/4
blaues Stück–Fläche bleibt b²
oranges Stück–Fläche bleibt a²
c² = c · q + c · p–Kästchen
Scheren und Drehen ändern die Fläche nicht
Beim Scheren bleiben Grundseite und Höhe gleich, also bleibt die Fläche gleich. Beim Drehen ändert sich die Form gar nicht.So wird b² zum Rechteck c · q und a² zum Rechteck c · p. Beide zusammen füllen genau das Quadrat über der Hypotenuse:
a² + b² = c·p + c·q = c·(p + q) = c²
(Die Teilstücke p und q entstehen, wenn du von C das Lot auf c fällst. Mehr dazu im Kapitel „Höhensatz und Kathetensatz“.)
Station 4Die Tripel-Fabrik
3² + 4² = 5² geht glatt auf. Gibt es noch mehr ganze Zahlen, die so gut zusammenpassen?
n²–Kästchen
k = (n² − 1) : 2–Kästchen pro Seite
Haken 2k + 1 = n²–Kästchen
Tripel–rechtwinklig
Jede ungerade Quadratzahl liefert ein Tripel
Ein Quadrat mit k Kästchen pro Seite wird um einen Winkelhaken größer: (k + 1)² = k² + 2k + 1.Hat der Haken genau n² Kästchen (n ungerade), dann ist er selbst ein Quadrat:
n² + k² = (k + 1)² mit k = (n² − 1) : 2
n = 3 → 3-4-5 · n = 5 → 5-12-13 · n = 7 → 7-24-25 · n = 9 → 9-40-41 · n = 11 → 11-60-61 … Es gibt also unendlich viele. Vielfache wie 6-8-10 passen auch.
Station 5Wie tief ist der See?
Ein Schilfhalm ragt 80 cm aus dem Wasser. Neigt man ihn zur Seite, berührt seine Spitze 2,4 m weiter die Wasseroberfläche. Der Fuß bleibt am Grund fest. Wie tief ist der See?
Deine Schätzung: cm
Halmlänge x + 80–bleibt gleich
Spitze über dem Wasser–ändert sich
Abstand der Spitze–ändert sich
Das x² fällt weg
Nenne die Tiefe x. Der Halm ist dann x + Überstand lang und wird zur Hypotenuse des Dreiecks aus Tiefe x und Abstand e: x² + e² = (x + u)²Rechts steht nach der binomischen Formel x² + 2ux + u². Auf beiden Seiten steht x² – es fällt weg. Übrig bleibt eine ganz einfache Gleichung.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Satz des Pythagoras – nur im rechtwinkligen Dreieck
Satza² + b² = c²
Katheten a, b liegen am rechten Winkel. Die Hypotenuse c liegt ihm gegenüber und ist die längste Seite.
Katheten a, b liegen am rechten Winkel. Die Hypotenuse c liegt ihm gegenüber und ist die längste Seite.
Hypotenuse gesuchtc² = a² + b² | √
c = √(a² + b²)
c = √(a² + b²)
Kathete gesuchtb² = c² − a² | √
b = √(c² − a²)
b = √(c² − a²)
Glatte Zahlen (Tripel)3-4-5 · 6-8-10 · 5-12-13 · 8-15-17 · 7-24-25 · 20-21-29
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Pythagoras vorwärts und rückwärts
UmkehrungGilt a² + b² = c² (c längste Seite), dann ist das Dreieck rechtwinklig.
a² + b² > c²: spitzwinklig · a² + b² < c²: stumpfwinklig
a² + b² > c²: spitzwinklig · a² + b² < c²: stumpfwinklig
Gleichschenkliges DreieckDie Höhe halbiert die Grundseite:
h² = s² − (g : 2)²
h² = s² − (g : 2)²
Tripel aus ungeraden Zahlenn, (n² − 1) : 2, (n² + 1) : 2
z. B. 9 – 40 – 41
z. B. 9 – 40 – 41
Winkelhaken(k + 1)² − k² = 2k + 1
So arbeitest du: Hier musst du selbst eine Gleichung aufstellen oder etwas begründen. Mach immer zuerst eine Skizze und markiere den rechten Winkel.
Werkzeuge für Experten
Binomische Formel(x + d)² = x² + 2·d·x + d²
Unbekannte in zwei Seitenx² + e² = (x + d)²
→ x² fällt weg: e² = 2dx + d²
→ x² fällt weg: e² = 2dx + d²
KongruenzDreiecke mit gleicher Seite und den beiden anliegenden Winkeln sind deckungsgleich (WSW). Drei gleiche Seiten: SSS.
Umkehrung begründenVergleichsdreieck mit rechtem Winkel bauen → gleiche Seiten → kongruent → gleicher Winkel.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? An jeder Ecke ist ein rechter Winkel. Welches Dreieck schneidet die rote Linie aus dem Rechteck heraus?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die rote Diagonale ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 24 und x. Halbiere alle bekannten Zahlen – erkennst du ein Tripel?Hilfe 3 – Lösung
x² = 26² − 24² = 676 − 576 = 100, also x = 10.Schneller: 24 und 26 sind das Doppelte von 12 und 13. Das Tripel 5-12-13 verdoppelt gibt 10-24-26.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die beiden kleinen Striche auf den Schenkeln? Welche Strecke kennst du dadurch, obwohl keine Zahl dransteht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Striche heißen: CB ist auch 12 lang. Rechne zuerst CP = 12 − 7 aus. Dann ist x die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ACP.Hilfe 3 – Lösung
CB = CA = 12, also CP = 12 − 7 = 5.x² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, also x = 13 (Tripel 5-12-13).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Der kleine Kreis berührt drei Linien: den großen Bogen, den Halbkreis und die senkrechte Seite. Was heißt „berühren“ für den Abstand zwischen zwei Mittelpunkten? Wo liegen die Mittelpunkte überhaupt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Nenne die Mitte des kleinen Kreises K. Zieh die Hilfslinien von der Ecke zu K (Länge 16 − x) und von M zu K (Länge 8 + x) und fälle das Lot von K auf die untere Seite. Die Höhe dieses Lots kannst du nun zweimal mit Pythagoras ausdrücken.Hilfe 3 – Lösung
Das Lot von K trifft die untere Seite im Abstand x von der Ecke, also im Abstand 8 − x von M. Für die Lot-Höhe h gilt zweimal Pythagoras:h² = (16 − x)² − x² = 256 − 32x
h² = (8 + x)² − (8 − x)² = 32x
Also 256 − 32x = 32x, 64x = 256, x = 4.
Probe: Beide Hilfslinien sind dann 12 lang.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.