Worum geht es? Krumme Figuren rechnest du genauso wie eckige: zerlegen, ergänzen, abziehen. Neu sind nur die Bausteine: Viertelkreis, Halbkreis, Sektor, Segment und Ring. Probiere die vier Stationen aus. Erst schauen und denken – dann den Merksatz aufdecken.
Farben: Radius r, Kästchenlänge a, Bogen · Teilfläche wird addiert · Teilfläche wird abgezogen · Sehne, Hypotenuse · Kacheln: grün = bleibt gleich, rot = ändert sich
Station 1 · Ein Stück vom Kreis
Ein Tortenstück hat 60°. Welcher Teil der ganzen Torte ist das?
Zieh den orangen Punkt B am Rand. So stellst du den Mittelpunktswinkel α ein.
Das steckt dahinter
Ein Sektor (Kreisausschnitt) ist der Bruchteil α/360° des ganzen Kreises – für die Fläche und für den Bogen:ASektor = α/360° · πr² b = α/360° · 2πr
Ein Segment (Kreisabschnitt) ist ein Sektor ohne das Dreieck MAB: Segment = Sektor − Dreieck
Bei 90° ist das Dreieck ein halbes Quadrat: ½r². Bei 60° ist es gleichseitig: ¼·√3·r².
Station 2 · Figuren-Baukasten
Wie berechnest du eine Fläche mit krummen Rändern? Aus welchen Bausteinen ist sie gebaut?
Schritt 0/0
Das steckt dahinter
Fläche: Schreib die Figur als Term aus Bausteinen: + dazu, − weg. Überlappt etwas doppelt, ziehst du es einmal ab. Erst in a und π rechnen, ganz am Schluss Zahlen einsetzen.Umfang: Nur die Randlinien zählen. Jeder Bogen ist ein Bruchteil von 2πr – Viertelbogen ¼·2πr, Halbbogen ½·2πr. Innere Hilfslinien zählen nicht.
Beispiel Linse: A = ¼π(2a)² + ¼π(2a)² − (2a)² = 2πa² − 4a²
Station 3 · Der Teppich im Opernhaus
Um einen runden Saal führt ein ringförmiger Gang. Man kennt nur eine Zahl: An der Saalwand vorbei misst man von Wand zu Wand 100 m. Reicht das für die Teppichfläche?
Zieh den Regler: Der Saal wird größer oder kleiner. Die Sehne bleibt 100 m lang und berührt die Saalwand.
Das steckt dahinter
Im rechtwinkligen Dreieck aus r, der halben Sehne (50 m) und R gilt Pythagoras: R² = r² + 50² ⇒ R² − r² = 50²Der Ring hat die Fläche π(R² − r²) = π · 50² ≈ 3,14 · 2500 = 7850 m² – egal wie groß der Saal ist!
Station 4 · Pythagoras im Kreis
Links ein Ring, rechts eine Scheibe. Wie groß muss die Scheibe sein, damit sie genauso viel Fläche hat wie der Ring?
Die Scheibe passt sich automatisch an. Ihr Radius s ist die halbe Sehne, die den Innenkreis berührt – wie im Opernhaus.
Das steckt dahinter
Im rechtwinkligen Dreieck gilt s² + t² = r², also πs² = π(r² − t²): Scheibe = Ring.Bei t = ⅘ r wird s = ⅗ r, denn (⅗)² + (⅘)² = 9/25 + 16/25 = 1. Die Scheibe mit Radius ⅗ r ist so groß wie der Ring zwischen ⅘ r und r.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3