Worum geht es? Flächen mit krummen Rändern brauchen fast immer π. Fast immer! Vor rund 2400 Jahren hat Hippokrates von Chios krumme Flächen gefunden, deren Inhalt man ganz ohne π angeben kann: die Möndchen. Probiere die vier Stationen der Reihe nach aus. Die Merksätze sind zugeklappt – erst schauen und nachdenken, dann aufdecken.
Farben: Kathete a · Kathete b · Hypotenuse c · Radius r · Möndchen violett · Dreieck grün
1 Pythagoras mit Halbkreisen
Über jeder Seite des rechtwinkligen Dreiecks liegt ein Halbkreis. Sind die beiden kleinen Halbkreise zusammen größer, kleiner oder genau so groß wie der große?
Schätze zuerst:
… oder den Punkt C direkt in der Grafik ziehen.
Das steckt dahinter
Ein Halbkreis über einer Seite der Länge s hat den Radius s/2:H = ½ · π · (s/2)² = π/8 · s²
Jede Halbkreisfläche ist also „π/8 mal das Quadrat über der Seite“. Weil a² + b² = c² (Pythagoras), gilt auch π/8·a² + π/8·b² = π/8·c² → Ha + Hb = Hc.
Das klappt mit allen ähnlichen Figuren über den drei Seiten (Halbkreise, gleichseitige Dreiecke, Sechsecke …): Ihre Fläche ist immer „fester Faktor · Seite²“.
2 Das Möndchen-Wunder
Jetzt klappt der große Halbkreis über das Dreieck. Was ist dann größer: die zwei Möndchen, die überstehen, oder das Dreieck?
Schätze zuerst:
Auch während der Animation kannst du C ziehen.
Das steckt dahinter
Die ganze Figur kannst du auf zwei Arten zusammensetzen:kleine Halbkreise + Dreieck = Möndchen + grau + Dreieck
großer Halbkreis = grau + Dreieck
Weil Ha + Hb = Hc (Station 1), fällt alles Krumme weg: M₁ + M₂ = ADreieck = ½ · a · b
Krumm begrenzt – und trotzdem ohne π! Das hat Hippokrates von Chios um 430 v. Chr. entdeckt.
3 Hippokrates am Quadrat
Das violette Möndchen liegt zwischen zwei Kreisbögen. Wie groß ist es – und warum passt es genau auf ein Quadrat?
Karoraster: 1 Kästchen = 1 cm².
Das steckt dahinter
Ähnlichkeitssatz: Die Flächen entsprechender Sektoren oder Segmente zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate der Radien: A₁ : A₂ = r₁² : r₂²Hier: a₁ : a₄ = r² : (√2·r)² = 1 : 2, also a₄ = a₁ + a₂.
Möndchen = a₁ + a₂ + a₃ = a₄ + a₃ = Dreieck ABD = r²
4 Kann man den Kreis quadrieren?
Die alten Griechen stellten sich eine Aufgabe: Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal ein Quadrat, das genau so groß ist wie ein gegebener Kreis. Das nennt man die Quadratur des Kreises.
um 430 v. Chr.Hippokrates findet die Möndchen: krumme Flächen, die genau so groß sind wie ein Dreieck oder Quadrat. Große Hoffnung: Vielleicht geht das auch mit dem ganzen Kreis!
um 250 v. Chr.Archimedes schließt π zwischen 3 10/71 und 3 1/7 ein – sehr genau, aber nicht exakt (Kapitel „π nach Archimedes“).
2000 Jahre langViele versuchen es, niemand schafft es.
1882Ferdinand von Lindemann beweist: π ist transzendent. Daraus folgt: Mit Zirkel und Lineal kann man die Strecke √π nicht konstruieren. Die Quadratur des Kreises ist unmöglich.
Probiere es selbst: Stelle die Seite s des Quadrats so ein, dass es so groß ist wie der Einheitskreis (Radius 1 dm).
Ausrechnen ja – konstruieren nein
s² = π · 1² | √ s = √π ≈ 1,7725 dmAusrechnen kannst du √π so genau du willst. Aber mit Zirkel und Lineal entstehen nur Strecken, die man aus 1 mit +, −, ·, : und Quadratwurzeln bauen kann. π gehört nicht dazu (Lindemann 1882). Die Möndchen sind die seltenen Ausnahmen, bei denen sich das π herauskürzt.
Bonus: Archimedes' Schustermesser
Archimedes (287–212 v. Chr.) fand eine weitere Überraschung: Über dem Durchmesser AB liegt ein großer Halbkreis, aus dem zwei kleine Halbkreise über AC und CB herausgeschnitten sind (das „Schustermesser“, griechisch Arbelos). Der Kreis über der Strecke CD ist genau so groß wie das Schustermesser – egal, wo C liegt.
Das steckt dahinter
Mit r₁ = AC/2, r₂ = CB/2 und R = r₁ + r₂:Schustermesser = ½π(R² − r₁² − r₂²) = ½π · 2r₁r₂ = π · r₁ · r₂
Dreieck ABD ist rechtwinklig (Thales). Höhensatz: CD² = AC · CB = 4 r₁ r₂, also hat der Kreis über CD die Fläche π · (CD/2)² = π · r₁ · r₂. Beide gleich!
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel – du trägst nur noch Zahlen und Einheiten ein) und erst zum Schluss Hilfe 3 (kompletter Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen – die Lösung rechnet sich automatisch mit. Rechne mit der π-Taste und runde am Ende auf 2 Stellen. Das Zeichen ohne TR bzw. TR erlaubt zeigt dir, ob du den Taschenrechner brauchst.
Formeln – Möndchen und Ähnlichkeit
Halbkreis über einer Seite sH = ½·π·(s/2)² = π/8 · s²
Pythagoras für Halbkreisea² + b² = c² ⇒ Ha + Hb = Hc
Möndchen über den KathetenM₁ + M₂ = Ha + Hb + AΔ − Hc = ½·a·b
Sektor und SegmentSektor = φ/360° · π · r²
Segment = Sektor − Dreieck (Mittelpunkt + Sehne)
Segment = Sektor − Dreieck (Mittelpunkt + Sehne)
Ähnlichkeitssatzgleicher Winkel, Radius · k ⇒ Fläche · k²
A₁ : A₂ = r₁² : r₂²
A₁ : A₂ = r₁² : r₂²
Hippokrates am QuadratMöndchen = Dreieck ABD = r²
Knorz – eine Denkfigur ohne TR
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3
Figur 1 · leicht
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Was verrät dir das Winkelzeichen oben? Welche Länge fehlt dir noch, damit du alle drei Seiten kennst?
Hilfe 2 – Der Schlüsselschritt
Rechne die fehlende Kathete aus. Dann sieh die ganze Figur auf zwei Arten: zwei kleine Halbkreise + Dreieck = beide Möndchen + großer Halbkreis über 13.Hilfe 3 – Lösung
Fehlende Kathete: √(13² − 5²) = √144 = 12.Die kleinen Halbkreise sind zusammen so groß wie der große, denn 5² + 12² = 13². Sie heben sich weg – übrig bleibt das Dreieck:
F = ½ · 5 · 12 = 30
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt?
Vorschlag aufdecken
Die Figur auf zwei Arten zusammensetzen. Dann fallen alle krummen Teile heraus, nur das Dreieck bleibt.Figur 2 · mittel
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Q heißt: vier gleiche Seiten, vier rechte Winkel. Um welche Punkte sind die beiden Bögen gezogen – und wie lang ist ihr Radius?
Hilfe 2 – Der Schlüsselschritt
Jeder Bogen gehört zu einem Viertelkreis mit Radius 10. Leg beide Viertelkreise ins Quadrat: Zusammen bedecken sie das ganze Quadrat – und die Linse zweimal.Hilfe 3 – Lösung
Zwei Viertelkreise: 2 · ¼ · π · 10² = 50π.Das ist das Quadrat plus die Linse ein zweites Mal:
F = 50π − 100 (etwa 57)
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt?
Vorschlag aufdecken
Was doppelt bedeckt ist, wird genau einmal zu viel gezählt – also einmal das Quadrat abziehen.Figur 3 · knifflig
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?M ist der Mittelpunkt, 5 der Radius, und alle Ecken von Q liegen auf dem Kreis. Wie lang ist dann eine Diagonale von Q – und was verrät sie dir über Q?
Hilfe 2 – Der Schlüsselschritt
Die Diagonale von Q ist ein Durchmesser, also 10. Rechne dann: vier Halbkreise + Q − großer Kreis. Achte darauf, was mit π passiert.Hilfe 3 – Lösung
Q: Diagonale 10, Fläche 10 · 10 : 2 = 50. Für jede Seite s gilt s² = 50.Vier Halbkreise: 4 · π/8 · 50 = 25π – genau so viel wie der große Kreis π · 5² = 25π.
F = 25π + 50 − 25π = 50
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt?