So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst auf eine Vermutung fest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Jede Seite hat die Farbe des Winkels, der ihr gegenüberliegt – ein „Pärchen“: a und α · b und β · c und γ · Höhe h
Station 1Zwei Messtrupps, zwei Ergebnisse
Ein Leuchtturm steht genau in der Mitte einer runden Plattform (12 m Durchmesser). Trupp I misst 30 m vor der Plattform den Höhenwinkel 53,5°, Trupp II misst auf der anderen Seite 45 m vor der Plattform 38,2°. Trupp I erhält 48,7 m, Trupp II 40,1 m. Trupp I ist sich sicher, Trupp II hat seine Strecke sicher richtig gemessen. Kann man Trupp II nachweisen, dass sein Winkel falsch ist?
Trupp I: 36 m · tan 53,5°–sicher
Trupp II: 51 m · tan β–hängt vom Winkel ab
Unterschied–ändert sich
Vom rechten Winkel zum schiefen Dreieck
Beide Trupps rechnen im rechtwinkligen Dreieck bis zur Turmmitte (36 m bzw. 51 m waagerecht). Mit Trupp Is sicherer Höhe gilt für Trupp II: tan β = 48,65 : 51, also β ≈ 43,6°. Trupp II hat sich um rund 5,4° vermessen.Aber: Beide brauchten den Fußpunkt unter der Spitze. Kennt man nur die Standlinie I–II (87 m) und die beiden Winkel, steckt die Spitze in einem schiefen Dreieck ohne rechten Winkel. Wie rechnet man dort? Die nächste Station zeigt den Trick: über die Höhe gehen.
Station 2Über die Höhe gehen
Im schiefen Dreieck gibt es keinen rechten Winkel. Kannst du dir einen bauen? Zeichne die Höhe ein – und zieh dann an den Ecken. Welche Kachel bleibt immer gleich?
Zieh an A, B oder C.
Höhe h über b–b · sin α
Höhe h über a–a · sin β
a : sin α–bleibt gleich …
b : sin β–… wie dieser Wert …
c : sin γ–… und dieser!
Umkreis-Durchmesser 2r–einschalten
Der Sinussatz
Die Höhe h zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Im linken ist h = b · sin α, im rechten h = a · sin β. Dieselbe Größe zweimal – also gleichsetzen und umstellen:b · sin α = a · sin β ⇒ a : sin α = b : sin β = c : sin γ
In jedem Dreieck ist das Verhältnis „Seite : Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ gleich – und zwar gleich dem Durchmesser 2r des Umkreises. Ist ein Winkel stumpf, liegt der Fußpunkt der Höhe außerhalb; die Rechnung klappt trotzdem, weil sin(180° − x) = sin x.
Regiomontanus ordnet die Dreiecksrechnung belegt
Johannes Müller aus Königsberg in Franken, genannt Regiomontanus, 1436 – 1476
Schon mit elf Jahren ging er zum Studium nach Leipzig. Um 1464 schrieb er „Fünf Bücher über Dreiecke aller Art“ – das erste Lehrbuch in Europa, das die Dreiecksrechnung als eigenes Fach ordnete, mit dem Satz, den wir heute Sinussatz nennen. In Nürnberg richtete er eine eigene Druckerei für wissenschaftliche Bücher ein. Dann wurde er nach Rom gerufen, um bei der Kalenderreform zu helfen, und starb dort mit 40 Jahren. Die Pointe: Ausgerechnet sein Dreiecksbuch hat er nie gedruckt – es erschien erst 1533, 57 Jahre nach seinem Tod.
Was das mit dir zu tun hat: Die Regel „a : sin α = b : sin β“, die du gerade entdeckt hast, steht in diesem Buch – du bist nur gut 560 Jahre später dran.
Station 3Wann reicht der Sinussatz? Such das Pärchen
Ein Dreieck ist durch drei Angaben festgelegt. Bei welchen drei Angaben kommst du mit dem Sinussatz weiter? Wähle eine Karte (S = Seite, W = Winkel).
Gegeben–grün markiert
Pärchen vorhanden?–Seite + Gegenwinkel
Werkzeug–
Ohne Pärchen kein Sinussatz
Der Sinussatz verbindet immer zwei Pärchen (Seite und gegenüberliegender Winkel). Von einem Pärchen musst du beide Teile kennen, vom anderen einen – dann rechnest du den vierten aus.SSW, SWW: Ein Pärchen ist sofort da. WSW: Erst den dritten Winkel mit 180° ausrechnen – dann ist das Pärchen da. SWS, SSS: Kein Pärchen, auch nicht über die Winkelsumme. Hier braucht es einen neuen Satz (Station 5). WWW: Die Form steht fest, die Größe nicht – unendlich viele ähnliche Dreiecke.
Station 4Der Zirkelarm: null, ein oder zwei Dreiecke?
Gegeben sind c = 7 cm, α = 35° und a = 5 cm (die Seite gegenüber von α). Wie viele verschiedene Dreiecke passen dazu?
c = 7 cm · α = 35°–Abstand von B zum Schenkel
a–ändert sich
Schnittpunkte = Dreiecke–ändert sich
sin γ = c · sin α : a–ändert sich
Zwei Winkel, gleicher Sinus
Der Kreis um B mit Radius a trifft den freien Schenkel von α keinmal (a kleiner als der Abstand c · sin α), einmal (a genau gleich dem Abstand oder a ≥ c) oder zweimal (dazwischen).Der Sinussatz liefert sin γ = c · sin α : a. Zu einem Sinuswert zwischen 0 und 1 gehören im Dreieck aber zwei Winkel: γ₁ = sin⁻¹(…) und γ₂ = 180° − γ₁
Der Taschenrechner nennt nur γ₁. Ob auch γ₂ passt, entscheidet die Skizze und die Winkelsumme. Mit a = 5 cm: sin γ ≈ 0,803, also γ₁ ≈ 53,4° und γ₂ ≈ 126,6° – zwei Dreiecke.
Station 5Hier klappt’s nicht mehr
Von Punkt A am Ufer sind die Inseln P und Q 300 m und 400 m entfernt, die beiden Peilstrahlen bilden 50°. Wie weit ist es von P nach Q? Versuch es mit dem Sinussatz: Rate den Winkel bei P.
Pärchen (PQ, 50°) mit AQ = 400 m–PQ = 400 · sin 50° : sin P
Pärchen (PQ, 50°) mit AP = 300 m–PQ = 300 · sin 50° : sin Q
Passen beide zusammen?–
Der Mangel treibt weiter
Gegeben sind zwei Seiten und der Winkel dazwischen (SWS). Jedes Pärchen hat hier eine Unbekannte zu viel: Zum Winkel 50° fehlt die Seite PQ, zu den Seiten 300 m und 400 m fehlen die Gegenwinkel. Der Sinussatz liefert nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten.Durch Probieren findest du P ≈ 82,0° und PQ ≈ 309,4 m – aber das ist mühsam und ungenau. Es fehlt ein Satz, der aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel direkt die dritte Seite liefert: der Kosinussatz. Mit ihm geht es in einer Zeile.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Taschenrechner auf DEG!
Der Sinussatz – in jedem Dreieck
Sinussatza : sin α = b : sin β = c : sin γ
PärchenSeite und gegenüberliegender Winkel. Du brauchst ein vollständiges Pärchen und einen Teil eines zweiten.
Seite gesuchtb = a · sin β : sin α
Winkel gesuchtsin β = b · sin α : a ⇒ β = sin⁻¹(…)
Winkelsumme: α + β + γ = 180°
Winkelsumme: α + β + γ = 180°
So arbeitest du: Hier gibt es Fallen: zwei mögliche Dreiecke, stumpfe Winkel, räumliche Lagen. Mach immer zuerst eine Skizze und frag dich: Wo ist mein Pärchen?
Werkzeuge für Experten
Zwei Winkel, gleicher Sinussin(180° − x) = sin x
sin⁻¹ liefert nur den spitzen Winkel!
sin⁻¹ liefert nur den spitzen Winkel!
SSW mit zwei Lösungenwenn die gegebene Seite gegenüber dem gegebenen Winkel die kürzere ist
Umkreisa : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2r
Höhe im schiefen Dreieckh = b · sin α = a · sin β
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Zwei Winkel sind eingetragen – wie groß ist der dritte?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Bei B liegen 180° − 30° − 120° = 30°. Zwei gleiche Winkel: Was weißt du dann über die Seiten, die ihnen gegenüberliegen?Hilfe 3 – Lösung
Die Winkel bei A und B sind beide 30°, das Dreieck ist gleichschenklig. Die Seite gegenüber von A (CB = 8) ist so lang wie die Seite gegenüber von B (CA = x): x = 8.Mit dem Sinussatz: x = 8 · sin 30° : sin 30° = 8.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Schau nur auf das schiefe Dreieck zwischen A, B und der Turmspitze. Welche Winkel hat es?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Bei B liegt im schiefen Dreieck 180° − 60° = 120°. Für die Spitze bleibt 180° − 30° − 120° = 30°. Welche zwei Seiten müssen dann gleich lang sein?Hilfe 3 – Lösung
Das Dreieck A–B–Spitze hat bei A und an der Spitze je 30°, ist also gleichschenklig: x = AB = 14.Mit dem Sinussatz: x : sin 30° = 14 : sin 30°, also x = 14.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der Punkt C liegt auf dem kleinen Bogen über AB. Unter welchem Winkel sieht man AB von einem Punkt auf dem großen Bogen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck ergänzen sich zu 180°: Vom großen Bogen aus sieht man AB unter 30°. Der Mittelpunktswinkel über AB ist doppelt so groß. Was für ein Dreieck ist dann ABM?Hilfe 3 – Lösung
Vom großen Bogen aus erscheint AB unter 180° − 150° = 30°, im Mittelpunkt also unter 60°. Das Dreieck ABM hat zwei Radien als Schenkel und den Winkel 60° dazwischen – es ist gleichseitig: x = 9.Mit dem Sinussatz: 2r = 9 : sin 150° = 9 : 0,5 = 18, also r = 9.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.