So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, tippen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: mit dem Maßband gemessen · gepeilt (gemessene Winkel) · berechnet · Flächen
Station 1Zwei Inseln, eine Standlinie
Im See liegen zwei Inseln P und Q. Hinüber kommst du nicht. Am Ufer darfst du messen: die Strecke AB = 364,7 m und Winkel. Wie weit liegen die Inseln auseinander? Schätz zuerst mit der Standlinie als Maßstab.
Deine Schätzung: m
Zieh die vier Peilstrahlen an ihren Punkten, bis jeder eine Insel trifft. Dann rastet der Winkel ein.
Schritt 0/3
mit dem Maßband gemessenAB = 364,7 mbleibt gleich
gepeilte Winkel0 von 4noch keiner
berechnet–erst peilen, dann rechnen
Vorwärtseinschneiden
Von den Enden einer bekannten Standlinie aus peilt man einen fernen Punkt an. Die beiden Peilstrahlen „schneiden“ den Punkt ein. Dann rechnet man in drei Schritten:1. Im Dreieck ABP sind eine Seite und zwei Winkel bekannt (WSW): AP = AB · sin β₁ : sin(180° − α₁ − β₁) (Sinussatz).
2. Genauso im Dreieck ABQ: AQ.
3. Im Dreieck APQ kennst du AP, AQ und den Winkel dazwischen δ = α₁ − α₂ (SWS): PQ² = AP² + AQ² − 2 · AP · AQ · cos δ (Kosinussatz).
Gemessen wurde eine einzige Länge. Alle anderen Längen hat die Trigonometrie geliefert.
Station 2Eine Länge – und eine ganze Karte
Ein Tal soll vermessen werden. Zwischen zehn Kirchtürmen und Bergspitzen gibt es 17 Strecken. Mit dem Maßband misst du nur eine. Winkel darfst du peilen, so viele du willst. Wie viele der 17 Strecken kannst du so herausbekommen?
mit dem Maßband gemessene Längen1bleibt 1
gepeilte Winkel0wächst
berechnete Größen0Seiten und Winkel
bekannte Strecken1 von 170 von 8 Dreiecken
Triangulation
Man überzieht das Land mit einem Netz aus Dreiecken. Im ersten Dreieck ist die Standlinie bekannt. Zwei Winkel werden gepeilt, der dritte folgt aus der Winkelsumme 180°. Mit dem Sinussatz bekommst du die zwei anderen Seiten (berechnet).Jede neue Seite ist die Standlinie für das Nachbardreieck. So wandert die Rechnung durch das ganze Netz.
Bilanz für 8 Dreiecke: 1 Länge + 16 Winkel gemessen (17 Messungen) – daraus folgen 16 Seiten + 8 Winkel (24 Größen). Insgesamt sind 41 Größen bekannt. Winkel lassen sich mit einem Fernrohr viel leichter und genauer messen als lange Strecken über Berg und Tal.
Station 3Wenn sich die Peilstrahlen kaum schneiden
Zwei Beobachter stehen nur 16 m auseinander und peilen ein fernes Ziel Z an: 86° und 88°. Später zeigt sich: Beide Winkel waren um 1° zu klein, richtig wären 87° und 89°. Wie stark ändert sich die berechnete Entfernung?
Zieh am Ziel Z. Der rote Fleck zeigt, wo Z liegen kann, wenn jeder Winkel um bis zu ± δ falsch ist.
Schnittwinkel γ bei Z–
berechnete Entfernung AZ–ändert sich
Spielraum für AZ–
Schleifende Schnitte vermeiden
Im Sinussatz steht der Schnittwinkel im Nenner: AZ = s · sin β : sin γ. Ist γ winzig, ist auch sin γ winzig – und jeder kleine Messfehler wird riesig vergrößert. Bei 86° und 88° ist γ = 6°, bei 87° und 89° nur 4°: Die Entfernung springt von etwa 153 m auf etwa 229 m, also um rund 50 %.Regeln der Vermesser: Die Standlinie lang machen und die Punkte so wählen, dass sich die Strahlen möglichst steil schneiden (γ zwischen etwa 30° und 150°, am besten um 90°). Ein „schleifender Schnitt“ ist unbrauchbar.
Station 4Einmal rundherum – passt es?
Um den Punkt Z liegen sechs Dreiecke. Gemessen sind die Strecke ZP₁ und alle 18 Winkel – jeder auf ± 0,5° genau. Du rechnest von Dreieck zu Dreieck einmal im Kreis herum. Kommst du am Ende wieder genau bei P₁ an?
gemessene Länge ZP₁2400 mbleibt gleich
Winkel um Z (soll 360°)–
Dreieckssummen (soll 180°)–
Lücke bei P₁ (Schlussfehler)–
Proben im Netz – und Ausgleichen
Ein geschlossenes Netz enthält Proben: Die Winkel um Z müssen 360° ergeben, jedes Dreieck 180°, und der Rundweg muss genau bei P₁ enden. Mit echten Messwerten klappt das nie ganz – die Lücke verrät die Messfehler.Beim Ausgleichen verbessert man jeden Winkel um ein winziges Stück, so dass alle Proben stimmen. Die Verbesserungen sind kleiner als die Messgenauigkeit. Carl Friedrich Gauß hat dafür um 1800 die Methode der kleinsten Quadrate entwickelt: Die Summe der Quadrate aller Verbesserungen soll so klein wie möglich sein. Damit hat er später das Königreich Hannover vermessen.
Snellius vermisst Holland mit Dreiecken belegt
Willebrord Snel van Royen, genannt Snellius · 1580 – 1626 · Leiden (Niederlande) · Messungen ca. 1615
Snellius wollte wissen, wie groß die Erde ist. Statt über hundert Kilometer mit Messketten abzuschreiten, maß er nur eine kurze Grundlinie bei Leiden genau aus. Alles andere waren Winkel: Von Kirchtürmen aus peilte er die nächsten Türme an und spannte so ein Netz aus über 30 Dreiecken von Alkmaar bis Bergen op Zoom. Daraus berechnete er, wie lang ein Grad auf dem Meridian ist – sein Wert lag nur etwa 3 % unter dem heutigen. Und die Pointe: Sein Buch von 1617 nannte er „Eratosthenes Batavus“, der holländische Eratosthenes.
Was das mit dir zu tun hat: In Station 2 machst du genau das – eine Länge messen, Winkel peilen, den Rest rechnen. So entstanden bis vor wenigen Jahrzehnten alle Landkarten.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Werkzeuge der Landvermessung
Winkelsummeα + β + γ = 180°
Zwei Winkel gepeilt → der dritte ist bekannt.
Zwei Winkel gepeilt → der dritte ist bekannt.
Sinussatz (WSW, SSW)a : sin α = b : sin β = c : sin γ
Gesuchte Seite = bekannte Seite · sin(Gegenwinkel der gesuchten) : sin(Gegenwinkel der bekannten)
Gesuchte Seite = bekannte Seite · sin(Gegenwinkel der gesuchten) : sin(Gegenwinkel der bekannten)
Kosinussatz (SWS, SSS)c² = a² + b² − 2ab · cos γ
DreiecksflächeA = ½ · a · b · sin γ
(γ liegt zwischen a und b)
(γ liegt zwischen a und b)
So arbeitest du: Hier stecken mehrere Dreiecke in einer Aufgabe. Mach immer zuerst eine Skizze, markiere, was gemessen ist, und überlege rückwärts: Welche Strecke brauchst du, um die gesuchte zu berechnen?
Werkzeuge für Experten
Vorwärtseinschneiden1. AP aus Dreieck ABP (Sinussatz)
2. AQ aus Dreieck ABQ (Sinussatz)
3. PQ aus Dreieck APQ (Kosinussatz)
2. AQ aus Dreieck ABQ (Sinussatz)
3. PQ aus Dreieck APQ (Kosinussatz)
PolygonzugJede berechnete Seite ist die Standlinie für das nächste Dreieck. Rechne mit ungerundeten Zwischenwerten weiter.
SchnittwinkelJe kleiner γ, desto stärker wirken Messfehler: AZ = s · sin β : sin γ
Besondere Wertesin 30° = cos 60° = 0,5 · sin 90° = 1 · cos 90° = 0
Winkel 30° – 30° – 120° oder 45° – 45° – 90°: gleichschenklig!
Winkel 30° – 30° – 120° oder 45° – 45° – 90°: gleichschenklig!
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der 60°-Winkel liegt außen. Wie groß ist dann der Winkel innen bei B – und welcher Winkel bleibt bei P übrig?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Innen bei B: 180° − 60° = 120°. Bei P: 180° − 30° − 120° = 30°. Zwei gleiche Winkel – was heißt das für die Seiten gegenüber?Hilfe 3 – Lösung
Bei A und bei P liegen je 30°. Das Dreieck ABP ist gleichschenklig, die Seiten gegenüber den gleichen Winkeln sind gleich lang: x = BP = AB = 50.Probe mit dem Sinussatz: BP = 50 · sin 30° : sin 30° = 50 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Bei P steht kein Winkel. Kannst du ihn trotzdem angeben? Was für ein Dreieck ist das dann?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Bei P: 180° − 30° − 60° = 90°. Ein Dreieck mit 30°, 60° und 90° ist ein halbes gleichseitiges Dreieck. Welche Seite ist darin halb so lang wie die längste?Hilfe 3 – Lösung
Der rechte Winkel liegt bei P, also ist AB = 50 die längste Seite. Die Seite gegenüber dem 30°-Winkel ist halb so lang: x = 25.Mit dem Sinussatz: x = 50 · sin 30° : sin 90° = 50 · 0,5 = 25 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Dieselbe Größe zweimal x ist ein Stück der langen Strecke BP. Kannst du BP ganz ausrechnen – und das Stück BQ auch? Was sagt dir die Figur über den Winkel bei Q?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Im Dreieck ABP: 90° bei A und 60° bei B, also ist BP doppelt so lang wie AB. Im Dreieck ABQ: 30° bei A und 60° bei B, also liegt bei Q ein rechter Winkel – BQ ist die Hälfte von AB.Hilfe 3 – Lösung
BP = 2 · 40 = 80 (cos 60° = 40 : BP).Bei Q: 180° − 30° − 60° = 90°, also BQ = 40 · cos 60° = 20.
x = BP − BQ = 80 − 20 = 60.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.