So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Strecken auf dem 1. Strahl (z. B. Schatten) · Strecken auf dem 2. Strahl (z. B. Sonnenstrahl) · Parallelen (z. B. Stab und Pyramidenhöhe)
Station 1Der Schatten der Pyramide
Ein Wanderstab ist 1,2 m lang und wirft einen Schatten von 1,6 m. Zur selben Zeit reicht der Schatten der großen Pyramide 80 m über ihre Grundkante hinaus. Die Grundkante ist 230 m lang. Wie hoch ist die Pyramide? Auf die Spitze klettern darfst du nicht.
Deine Schätzung: m
Stabschatten s–ändert sich
Pyramidenschatten S (bis zur Mitte)–ändert sich
Stab : Schatten–gleich wie Pyramide : Schatten
Höhe H der Pyramide?bleibt gleich
Gleiche Sonne – gleiche Form
Die Sonnenstrahlen fallen parallel ein. Darum haben das Stab-Dreieck und das Pyramiden-Dreieck dieselben Winkel: Sie sind ähnlich, das große ist eine Vergrößerung des kleinen. In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse der Seiten gleich:H : S = Stab : s
Der Kniff: Der Pyramidenschatten zählt bis unter die Spitze, also bis zur Mitte: S = 115 m + 80 m = 195 m.
H = 195 m · 1,2 : 1,6 = 146,25 m
Im Augenblick „Schatten = Stab“ ist es noch einfacher: Dann ist auch die Pyramide so hoch wie ihr Schatten.
Thales und der Schatten der Pyramide überliefert
Thales von Milet, ca. 624 bis ca. 546 v. Chr.
Thales war Kaufmann, Sternkundiger und einer der ersten Griechen, die fragten, warum eine Rechenregel stimmt. Erzählt wird, dass er in Ägypten die Höhe der großen Pyramide bestimmt hat – ohne hinaufzuklettern. Er wartete, bis sein eigener Schatten genau so lang war wie er groß. In diesem Augenblick, so die Überlieferung, musste auch die Pyramide so hoch sein wie ihr Schatten lang. Ob es genau so war, weiß niemand – aufgeschrieben wurde die Geschichte erst Jahrhunderte später.
Was das mit dir zu tun hat: Mit einem Stab und einem Maßband kannst du heute auf dem Schulhof jeden Baum und jedes Haus vermessen – genau wie Thales.
Station 2Der Strahlensatz-Detektiv
Zwei Strahlen gehen von einem Punkt Z aus. Zwei parallele Linien schneiden sie. Zieh an den Punkten. Die Längen ändern sich ständig – aber drei der sechs Verhältnisse unten zeigen immer denselben Wert. Welche? Tippe sie an und prüfe dann.
Ziehpunkte: A, B, A' und das Ende des blauen Strahls.
Die Strahlensätze
Werden zwei Strahlen aus Z von zwei Parallelen geschnitten, dann gilt – in der V-Figur und in der X-Figur:1. Strahlensatz: Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen: ZA' : ZA = ZB' : ZB (in der V-Figur auch AA' : ZA = BB' : ZB)
2. Strahlensatz: Die Parallelenstücke verhalten sich wie die zugehörigen Strahlstücke ab Z: A'B' : AB = ZA' : ZA
Vorsicht: A'B' : AB ist nicht gleich AA' : ZA. Beim 2. Strahlensatz musst du immer von Z aus messen.
Station 3Der Pantograph
Ein Pantograph ist ein Zeichengerät aus vier Stäben. Du führst den blauen Taststift über eine kleine Zeichnung, der rote Zeichenstift malt sie groß nach. Bei Buchse 1 : 3 wird alles 3-mal so breit. Wievielmal so groß wird die Fläche?
Du kannst den blauen Taststift auch selbst ziehen und frei zeichnen.
ZQ : ZP–bleibt gleich
Hausbreite: klein → groß–Faktor k
Hausfläche: klein → groß–Faktor ?
Zentrische Streckung
Die Stäbe bilden immer ein Parallelogramm. Darum liegen Z, der Taststift P und der Zeichenstift Q stets auf einer Geraden, und nach dem Strahlensatz gilt immer ZQ = k · ZP.Jeder Punkt wird von Z aus mit dem Faktor k weggeschoben. Das heißt zentrische Streckung. Die Bildfigur ist der Urfigur ähnlich: gleiche Winkel, alle Längen mal k.
Flächen wachsen schneller: Länge und Breite werden mal k genommen, also die Fläche mal k². Bei 1 : 3 wird die Fläche 9-mal so groß.
Station 4Der Daumensprung
Streck den Arm aus und halte den Daumen hoch. Schließ abwechselnd das linke und das rechte Auge: Der Daumen springt vor dem Hintergrund hin und her. Er springt um 3 Hausbreiten, ein Haus ist 8 m breit. Wie weit ist das Haus ungefähr weg?
Arm : Augenabstand60 cm : 6 cm = 10bleibt gleich
Sprung im Hintergrund–ändert sich
Entfernung–ändert sich
Entfernung : Sprung–bleibt gleich
Faktor 10 steckt in deinem Körper
Die Blicklinien von beiden Augen kreuzen sich am Daumen – das ist eine X-Figur. Augenabstand und Sprung sind die parallelen Stücke. Nach dem 2. Strahlensatz gilt:Sprung : Augenabstand = Entfernung : Armlänge
Bei den meisten Menschen ist der Arm etwa 10-mal so lang wie der Augenabstand. Also gilt die Faustregel: Entfernung ≈ 10 · Sprung. Hier: 3 · 8 m = 24 m Sprung, also etwa 240 m. (Genau gemessen wird ab dem Daumen, doch die 60 cm Arm fallen bei 240 m kaum ins Gewicht.)
Station 5Bonus: Der Schattenstab zeigt Mittag und Norden
Ein Stab steht senkrecht im Sand. Die Spitze seines Schattens wandert über den Tag. Wie findest du allein mit dem Schatten heraus, wann Mittag ist und wo Norden liegt?
Schattenlänge–ändert sich
Sonnenhöhe–ändert sich
kürzester Schatten heute–um 12 Uhr Sonnenzeit
Die Mittagslinie
Vormittags und nachmittags gibt es je einen Moment, in dem die Schattenspitze den Kreis trifft – dann ist der Schatten gleich lang und die Sonne gleich hoch. Genau in der Mitte zwischen beiden Richtungen liegt die Mittagslinie: Um 12 Uhr Sonnenzeit ist der Schatten am kürzesten und zeigt bei uns genau nach Norden.Im Sommer ist der Mittagsschatten kurz, im Winter lang. An den Tagundnachtgleichen (März, September) läuft die Spitze auf einer geraden Linie.
Und zur selben Uhrzeit gilt für alle Stäbe dasselbe Verhältnis Stab : Schatten – darauf beruht die Messung von Station 1.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Alle Aufgaben gehen ohne Taschenrechner.
Ähnliche Dreiecke und Strahlensätze
Schatten-RegelZur selben Zeit gilt für alle senkrechten Dinge:
Höhe : Schatten ist überall gleich.
Höhe : Schatten ist überall gleich.
1. StrahlensatzZA' : ZA = ZB' : ZB
auch: AA' : ZA = BB' : ZB
auch: AA' : ZA = BB' : ZB
2. StrahlensatzA'B' : AB = ZA' : ZA
Immer ab Z messen!
Immer ab Z messen!
Verhältnisgleichung lösenx : 12 = 1,2 : 1,6 | · 12
x = 12 · 1,2 : 1,6 = 9
x = 12 · 1,2 : 1,6 = 9
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Achte auf das Abzeichen: Bei „TR erlaubt“ darfst du den Taschenrechner benutzen.
Strahlensätze in V- und X-Figur
X-FigurZ liegt zwischen den Parallelen. Die Sätze gelten genauso, alle Strecken werden ab Z gemessen.
Ganze Strecke ab ZIst nur ein Abschnitt AA' gegeben, rechne zuerst ZA' = ZA + AA'.
Unbekanntes Stück ab Zx : (x + d) = p : q
→ x · q = (x + d) · p
→ x · q = (x + d) · p
DaumensprungEntfernung ≈ 10 · Sprung
(Arm : Augenabstand ≈ 10)
(Arm : Augenabstand ≈ 10)
So arbeitest du: Hier musst du die ähnlichen Dreiecke selbst finden. Mach immer zuerst eine Skizze und markiere, welche Linien parallel sind.
Werkzeuge für Experten
Ähnliche FigurenAlle Längen mal k → Flächen mal k², Rauminhalte mal k³.
Zwei Dreiecke, eine UnbekannteStell die Unbekannte zweimal mit dem Strahlensatz dar und setze gleich.
Brüche addierenh/a + h/b = 1 → h = a·b : (a + b)
Schatten der PyramideSchatten bis zur Mitte = halbe Grundkante + sichtbarer Schatten
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Was bedeuten die kleinen Pfeile auf den beiden steilen Linien? Wie lang ist die untere Linie vom Spitzenpunkt bis zur roten Linie insgesamt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die beiden steilen Linien sind parallel. Die rote Linie ist so oft länger als die grüne, wie ihr Abstand von der Spitze länger ist: Vergleiche 4 mit 4 + 6.Hilfe 3 – Lösung
2. Strahlensatz: x : 6 = (4 + 6) : 4 = 10 : 4.x = 6 · 10 : 4 = 15.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Drei senkrechte Linien – was haben sie miteinander zu tun? Und: Steht der Abstand der Masten irgendwo? Brauchst du ihn vielleicht gar nicht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die rote Linie ist parallel zu beiden Masten. Vom linken Fuß aus gesehen ist x : 12 so groß wie der Anteil des Weges bis unter den Kreuzungspunkt. Vom rechten Fuß aus ist x : 6 der Rest des Weges. Beide Anteile zusammen ergeben den ganzen Weg: x : 12 + x : 6 = 1.Hilfe 3 – Lösung
x/12 + x/6 = 1 → x/12 + 2x/12 = 1 → 3x = 12 → x = 4.Der Abstand der Masten spielt keine Rolle! Allgemein: x = 6 · 12 : (6 + 12) = 4.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Drei Linien sind parallel. Die Diagonalen kreuzen sich – siehst du eine X-Figur? In welchem Verhältnis teilt der Kreuzungspunkt die Höhe?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Diagonalen bilden mit den parallelen Seiten eine X-Figur mit 6 : 12 = 1 : 2. Der Kreuzungspunkt liegt also bei einem Drittel der Höhe (von oben). Rechne das linke und das rechte Stück der roten Linie einzeln aus – jedes in einer V-Figur.Hilfe 3 – Lösung
Linkes Stück: V-Figur mit Spitze unten links, es ist 2/3 der oberen Seite: 2/3 · 6 = 4.Rechtes Stück: V-Figur mit Spitze unten rechts, ebenfalls 2/3 · 6 = 4.
x = 4 + 4 = 8. (Allgemein: x = 2 · 6 · 12 : (6 + 12) = 8.)
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.