So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, drehen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Zur Erinnerung: Warum eine Pyramide genau ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst, hast du in „Warum ein Drittel?“ gesehen: V = ⅓ · G · h – für jede Pyramide und jeden Kegel. Hier geht es um die Flächen außen herum und um die versteckten Längen innen drin.
Zur Erinnerung: Warum eine Pyramide genau ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst, hast du in „Warum ein Drittel?“ gesehen: V = ⅓ · G · h – für jede Pyramide und jeden Kegel. Hier geht es um die Flächen außen herum und um die versteckten Längen innen drin.
Farben: Grundkante a, Radius r · Höhe h · Seitenhöhe hs · Seitenkante bzw. Mantellinie s · Flächen (G, M, O) · Körper drehen: Regler oder waagerecht über das Bild ziehen.
Station 1Die Pyramide klappt auf
Eine quadratische Pyramide wird aufgeklappt: Grundfläche in der Mitte, vier Dreiecke darum herum. Was ist größer – der Mantel (alle vier Dreiecke zusammen) oder die Grundfläche?
Seitenhöhe hs–Grundkante und Höhe bestimmen sie
Grundfläche G = a²–bleibt beim Klappen gleich
Mantel M = 4 · a · hs : 2–bleibt beim Klappen gleich
Oberfläche O = G + M–bleibt beim Klappen gleich
Vergleich M : G–
Mantel und Oberfläche der Pyramide
Der Mantel sind die Seitenflächen, die Oberfläche ist alles zusammen: O = G + MBei der quadratischen Pyramide besteht der Mantel aus vier gleichen Dreiecken mit Grundseite a und Höhe hs (Seitenhöhe): M = 4 · a · hs : 2 = 2 · a · hs
Warum ist der Mantel immer größer als G? Klapp die Dreiecke nach innen: Jedes Dreieck ist ein Viertel der Grundfläche – aber mit der Höhe hs statt a : 2. Weil die schräge Seitenhöhe immer länger ist als a : 2, ragen die Dreiecke über die Mitte hinaus. Nur bei einer ganz flachen Pyramide (h → 0) wird M fast so groß wie G.
Achtung: Die Seitenhöhe hs liegt schräg auf der Seitenfläche. Sie ist nicht die Körperhöhe h.
Station 2Das Schlüsseldreieck im Inneren
Die Grundkante ist 6 cm lang, die Pyramide ist 4 cm hoch. Wie lang ist die Seitenhöhe hs, die schräg über eine Seitenfläche läuft? Nachmessen geht nicht – sie liegt ja schräg im Raum.
Deine Schätzung: cm
Schritt 0/3
Seitenhöhe hs–hs² = h² + (a : 2)²
Seitenkante s (über hs)–s² = hs² + (a : 2)²
Seitenkante s (über die Diagonale)–s² = h² + (d : 2)²
Probe–beide Wege geben dasselbe s²
Rechne nie im Schrägbild – such das Dreieck
In der Pyramide stecken drei rechtwinklige Dreiecke. Jedes kannst du flach herausnehmen und mit Pythagoras rechnen: hs² = h² + (a : 2)² s² = hs² + (a : 2)² s² = h² + (d : 2)² mit d = a · √2Der Denk-Baustein dazu heißt Hilfsdreieck suchen: Welches rechtwinklige Dreieck enthält die gesuchte Strecke – und welche zwei Seiten davon kennst du? Im Schrägbild sehen rechte Winkel schief aus. Deshalb: Dreieck herausnehmen, flach zeichnen, dann rechnen.
Station 3Der Kegelmantel wird zum Kreisausschnitt
Der Mantel eines Kegels wird längs einer Mantellinie aufgeschnitten und flach ausgebreitet. Heraus kommt ein Stück aus einem Kreis. Wie groß ist sein Winkel bei r = 3 cm und h = 4 cm?
Mantellinie s = √(r² + h²)–wird zum Radius des Ausschnitts
Bogen = Umfang des Grundkreises–2 · π · r
Anteil am vollen Kreis–2πr : 2πs = r : s
Mittelpunktswinkel α–α = 360° · r : s
Mantel M = π · r · s–bleibt beim Abrollen gleich
Kreisausschnitt mit Radius s
Beim Abrollen werden alle Mantellinien zu Radien – der Ausschnitt hat den Radius s. Sein Bogen ist der Rand der Grundfläche, also so lang wie ihr Umfang 2 · π · r.Der volle Kreis mit Radius s hätte den Umfang 2 · π · s. Der Ausschnitt ist davon der Anteil r : s: α = 360° · r : s M = π · s² · r : s = π · r · s
Mit dem Grundkreis dazu: O = π · r² + π · r · s und wie immer V = ⅓ · π · r² · h
Die Mantellinie findest du wieder im Schlüsseldreieck: s² = r² + h².
Station 4Pyramiden- und Kegelstumpf
Eine Pyramide wird auf halber Höhe waagerecht durchgeschnitten und die Spitze abgehoben. Welcher Teil des Volumens steckt in der Spitze?
Streckfaktor k = (H − h) : H–Strahlensatz
ganzer Körper–V = ⅓ · G · H
Spitze–k³ · V
Stumpf = ganz − Spitze–große minus kleine
Rezept aus dem Papyrus–
Stumpf = große Pyramide minus kleine Pyramide
Die abgeschnittene Spitze ist eine verkleinerte Kopie der ganzen Pyramide. Nach dem Strahlensatz gilt für den Streckfaktor k = a₂ : a₁ = (H − h) : HAlle Längen schrumpfen mit k, Flächen mit k², das Volumen mit k³. Halbe Höhe heißt also: Die Spitze hat nur ½ · ½ · ½ = ⅛ des Volumens – der Stumpf behält ⅞.
Rechnest du „groß minus klein“ allgemein aus, fällt H heraus, und es bleibt eine Formel nur mit dem, was man am Stumpf messen kann: VPyramidenstumpf = h : 3 · (a₁² + a₁ · a₂ + a₂²) VKegelstumpf = π · h : 3 · (r₁² + r₁ · r₂ + r₂²)
Mantel: Pyramidenstumpf 4 Trapeze, M = 2 · (a₁ + a₂) · hs; Kegelstumpf M = π · s · (r₁ + r₂).
Der Moskauer Papyrus: ein Stumpf vor fast 4000 Jahren belegt
Ägypten · ca. 1850 v. Chr. · Schreiber unbekannt · heute im Puschkin-Museum in Moskau
Stell dir eine lange, schmale Papyrusrolle mit 25 Rechenaufgaben vor. In Aufgabe 14 steht ein Pyramidenstumpf: unten 4 Ellen breit, oben 2, und 6 hoch. Der Schreiber rechnet ohne ein einziges Formelzeichen: 4 mal 4 ist 16, 4 mal 2 ist 8, 2 mal 2 ist 4, zusammen 28; ein Drittel von 6 ist 2, und 2 mal 28 ergibt 56. Die Pointe: Das ist haargenau die Stumpf-Formel aus Station 4 – aber wie die Ägypter sie gefunden haben, steht nirgends auf der Rolle.
Was das mit dir zu tun hat: Mit „große Pyramide minus Spitze“ kannst du in Station 4 selbst nachprüfen, dass das fast 4000 Jahre alte Rezept stimmt – nicht nur für 4, 2 und 6, sondern für jeden Stumpf.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Pyramide und Kegel – die Grundformeln
Volumen (beide)V = ⅓ · G · h
Quadrat: G = a² · Kreis: G = π · r²
Quadrat: G = a² · Kreis: G = π · r²
Quadratische PyramideM = 4 · a · hs : 2 = 2 · a · hs
O = G + M
O = G + M
KegelM = π · r · s
O = π · r² + π · r · s
O = π · r² + π · r · s
Schlüsseldreieckehs² = h² + (a : 2)²
s² = h² + r² (Kegel)
s² = h² + r² (Kegel)
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“. Zeichne das passende rechtwinklige Dreieck immer flach heraus.
Schräge Strecken und Formeln rückwärts
Seitenkantes² = hs² + (a : 2)²
oder s² = h² + (d : 2)², d = a · √2
oder s² = h² + (d : 2)², d = a · √2
Kegel aus KreisausschnittRadius des Ausschnitts = s
α = 360° · r : s ⇔ r = s · α : 360°
α = 360° · r : s ⇔ r = s · α : 360°
Formel rückwärtsV = ⅓ · G · h | · 3 | : G
h = 3 · V : G
h = 3 · V : G
Rechteckige GrundflächeZwei verschiedene Seitenhöhen: über a liegt ha, über b liegt hb.
M = a · ha + b · hb
M = a · ha + b · hb
So arbeitest du: Hier musst du Körper ergänzen, Formeln rückwärts lesen oder mit Ähnlichkeit argumentieren. Mach immer zuerst eine Skizze – und such das flache Dreieck, in dem gerechnet wird.
Werkzeuge für Experten
StumpfV = Vgroß − VSpitze
Pyramide: V = h : 3 · (a₁² + a₁·a₂ + a₂²)
Kegel: V = π · h : 3 · (r₁² + r₁·r₂ + r₂²)
Pyramide: V = h : 3 · (a₁² + a₁·a₂ + a₂²)
Kegel: V = π · h : 3 · (r₁² + r₁·r₂ + r₂²)
StrahlensatzSpitze x über dem Stumpf:
x : (x + h) = a₂ : a₁
x : (x + h) = a₂ : a₁
Ähnliche KörperLängen · k → Flächen · k² → Volumen · k³
Kegelstumpf-Mantels² = h² + (r₁ − r₂)²
M = π · s · (r₁ + r₂)
M = π · s · (r₁ + r₂)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Was bedeuten die kleinen Striche auf den schrägen Seiten? Und wo trifft die gestrichelte Linie die Seite des Quadrats?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das Dreieck ist gleichschenklig. Die gestrichelte Höhe x trifft die Quadratseite genau in der Mitte – dort ist ein rechter Winkel. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 10 : 2, x und 13.Hilfe 3 – Lösung
x² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, also x = 12 (Tripel 5-12-13).Aufgefaltet ist x die Seitenhöhe hs der Pyramide.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die gestrichelten Linien laufen in einem Punkt zusammen. Welche zwei Figuren sind dann ähnlich – also gleich geformt, nur verschieden groß?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die kleine Spitze und der ganze Kegel sind ähnlich. Oben ist der Kegel 4 breit, unten 12 – also dreimal so breit. Dann ist auch die ganze Höhe x + 6 dreimal so groß wie x.Hilfe 3 – Lösung
x : (x + 6) = 4 : 12 = 1 : 3, also 3x = x + 6, 2x = 6, x = 3.Probe: Der ganze Kegel ist 9 hoch und 12 breit, die Spitze 3 hoch und 4 breit – beides Faktor 3.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Farben verraten es: Was wird aus der violetten Fläche, was aus dem orangen Bogen, was aus den roten Kanten, wenn man den Ausschnitt aufrollt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die roten Kanten werden zur Mantellinie: s = 10. Der Bogen wird zum Umfang des Grundkreises. 216° sind 216 : 360 = 3 : 5 des vollen Kreises – also ist auch r = 3 : 5 von 10. Danach brauchst du nur noch das Schlüsseldreieck aus r, x und s.Hilfe 3 – Lösung
r = 10 · 216 : 360 = 6.x² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, also x = 8 (Tripel 6-8-10).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.