Hier verwandelst du Flächen. Du schneidest, schiebst und drehst – aber es kommt nichts dazu und es geht nichts verloren. Zieh an den weißen Punkten ●, drück die Knöpfe und beobachte die Kacheln: grün = bleibt gleich, rot = ändert sich. Ein Kästchen ist 1 cm breit.
Farben: Grundseite g, Seiten a, c, Diagonale e · Höhe h · Diagonale f, Mittellinie m · Fläche A · Hilfslinien beim Verwandeln · was sich ändert
1Schieben ohne Verlust – das Parallelogramm
Schätze zuerst: Du schiebst die obere Seite des Parallelogramms zur Seite. Was passiert mit der Fläche?
Das steckt dahinter
Parallelogramm: A = g · hSchneide das überstehende Dreieck entlang der Höhe ab und lege es auf der anderen Seite wieder an. Es entsteht ein Rechteck mit derselben Grundseite und derselben Höhe.
Aber: Der Umfang bleibt nicht gleich. Je schiefer das Parallelogramm, desto länger die schrägen Seiten. Fläche und Umfang sind zwei verschiedene Dinge!
Später in 3D: Genauso kann man eine Pyramide schief schieben, ohne dass sich ihr Volumen ändert – Scherung der Pyramide.
2Das halbe Parallelogramm – das Dreieck
Schätze zuerst: Ein Dreieck und ein Parallelogramm haben dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe. Wie viel Fläche hat das Dreieck?
Das steckt dahinter
Dreieck: A = g · h : 2Zwei gleiche Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm mit der Fläche g · h. Ein Dreieck ist also genau die Hälfte.
Die Höhe ist immer der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundseite. Liegt sie außerhalb, verlängerst du die Grundseite – die Formel gilt trotzdem.
Alle Dreiecke mit derselben Grundseite, deren Spitze auf derselben Parallelen liegt, haben dieselbe Fläche.
3Trapez – drei Wege
Schätze zuerst: Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 8 cm und c = 4 cm. Ein Rechteck mit derselben Höhe hat dieselbe Fläche. Wie breit ist das Rechteck?
Das steckt dahinter
Trapez: A = (a + c) · h : 2 = m · h mit m = (a + c) : 2Weg 1: Zwei gleiche Trapeze ergeben ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c. Ein Trapez ist die Hälfte davon.
Weg 2: Die Mittellinie m liegt genau in halber Höhe. Klappst du die Ecken-Dreiecke um, entsteht ein Rechteck m · h.
Weg 3: Schneide das Trapez an der Mittellinie durch. Die obere Hälfte dreht sich um 180° um den Mittelpunkt eines Schenkels und legt sich unten an. Es entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c und der halben Höhe: A = (a + c) · (h : 2)
4Viereck mit Diagonale – Drachen, Raute, Quadrat
Schätze zuerst: Du ziehst die Ecke B auf ihrer gestrichelten Linie (parallel zur Diagonale e) weit nach rechts. Was passiert mit der Fläche?
Das steckt dahinter
Viereck: A = e · (h₁ + h₂) : 2Die Diagonale e teilt das Viereck in zwei Dreiecke mit derselben Grundseite e. Ihre Höhen sind h₁ und h₂. Darum ändert sich nichts, solange B und D auf ihren Parallelen bleiben.
Stehen die Diagonalen senkrecht (Drachen, Raute, Quadrat), dann ist h₁ + h₂ = f: A = e · f : 2 – die Figur ist genau die Hälfte des Rechtecks e · f.
So kann man jedes Vieleck aus Dreiecken zusammensetzen.
5Grundseite tauschen – ein Dreieck verwandeln
Schätze zuerst: Das Dreieck ABC hat die Grundseite g = 6 cm und die Höhe h = 6 cm. Ein neues Dreieck bekommt eine doppelt so lange Grundseite (12 cm). Kann es trotzdem genauso groß sein?
Schritt 0/5
Das steckt dahinter
Verwandeln durch Scherung: Teil weg, gleich großes Teil dran.Die zwei Tauschdreiecke B′BC und B′C′C haben dieselbe Grundseite B′C. Ihre Spitzen B und C′ liegen auf einer Parallelen zu B′C – also haben sie dieselbe Höhe und damit dieselbe Fläche. Was auf der einen Seite dazukommt, fällt auf der anderen Seite weg.
A = g · h : 2 = g′ · h′ : 2 also g · h = g′ · h′
Doppelte Grundseite → halbe Höhe. Dreifache Grundseite → ein Drittel der Höhe.
Ausblick: Dieselbe Figur steckt später im Strahlensatz. Die zwei Parallelen BC′ und B′C schneiden die Strahlen ab, die von A ausgehen – und es gilt AB : AB′ = AC′ : AC.
6Ergänzungsparallelogramme – zwei Teile, immer gleich
Schätze zuerst: Der Punkt P liegt auf der Diagonale. Durch P laufen zwei Parallelen zu den Seiten. Jetzt ziehst du P ganz nahe an die Ecke A. Welches violette Teil ist dann größer?
Erklärung 0/3
Das steckt dahinter
A₁ = A₂ – die zwei Ergänzungsparallelogramme sind immer gleich groß, egal wo P auf der Diagonale liegt.Die Diagonale halbiert das ganze Parallelogramm. Sie halbiert auch die zwei kleinen Parallelogramme, durch die sie läuft. Unten und oben nimmst du von gleich großen Hälften gleich viel weg. Was übrig bleibt, ist gleich groß: Gleiches minus Gleiches ist gleich.
Anwenden: So verwandelst du ein Rechteck in ein gleich großes Rechteck mit einer vorgegebenen Seite – ganz ohne Rechnung: 6 cm · 4 cm = 8 cm · 3 cm = 24 cm²
Ausblick: Mit genau dieser Figur beweist man später den Höhensatz h² = p · q – Satzgruppe des Pythagoras.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein – eine Frage, die dich auf die Spur bringt), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel – du trägst nur noch Zahlen und Einheiten ein) und erst zum Schluss Hilfe 3 (kompletter Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen – die Lösung rechnet sich mit.
Mittleres Niveau: Hier rechnest du auch rückwärts – die Fläche ist gegeben, eine Länge fehlt. Stelle die Formel um wie eine Gleichung. Einheiten rechnest du nebenbei um.
Expertenniveau: Kosten, flächengleiche Figuren, Koordinaten und Begründungen. Schreibe bei den Begründungen ganze Sätze: „Weil … gleich ist, ist auch … gleich.“
Knorz – eine Denkfigur ohne TR
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3