So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst auf eine Vermutung fest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: waagerechte Strecke (Abstand e) · Höhe h · Sichtlinie (schräg) · Winkel am Auge: Höhenwinkel α
Station 1Der Turm, an den du nicht heranreichst
Ein Turm ist 54 m hoch. Du stehst irgendwo davor und siehst seine Spitze unter einem Winkel von 25° über der Waagerechten. Wie weit bist du ungefähr vom Turm entfernt?
Zieh den Beobachter am Boden nach links oder rechts.
Turm 54 m · Auge 1,6 mh = 52,4 mbleibt gleich
Abstand e–ändert sich
Höhenwinkel α–ändert sich
Verhältnis h : e–ändert sich – genau wie …
tan α (Taschenrechner)–… dieser Wert!
e · tan α + 1,6 m–immer die Turmhöhe
Höhe aus Abstand und Winkel
Sichtlinie, Waagerechte in Augenhöhe und Turm bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel α legt seine Form fest – und damit das Verhältnis Gegenkathete : Ankathete:tan α = h : e ⇒ h = e · tan α oder e = h : tan α
Bei 25° ist e = 52,4 m : tan 25° ≈ 52,4 m : 0,466 ≈ 112,4 m. Vergiss die Augenhöhe nicht: Das Dreieck beginnt erst in 1,6 m Höhe.
Station 2Der Berg, dessen Fuß du nicht erreichst
Den Fußpunkt unter dem Gipfel erreicht niemand – er liegt mitten im Berg. Du kannst nur von zwei Punkten U und G aus messen, die 1150 m auseinanderliegen. Wie kommst du trotzdem an die Höhe? Denk rückwärts: Worin steckt h?
Schritt 0/4
Standlinie d1150 mgemessen
Winkel α (bei U) · β (bei G)–gemessen
Höhe h über U und G?erst in Schritt 4
Gipfel über dem Meer?980 m + h
Zwei Dreiecke, eine Höhe
Die Höhe h steckt in zwei rechtwinkligen Dreiecken. Beide Male ist die waagerechte Seite h : tan (Winkel). Der Unterschied der beiden waagerechten Seiten ist genau die Standlinie d:h : tan α − h : tan β = d ⇒ h = d : (1 : tan α − 1 : tan β)
Die unbekannte Strecke e fällt dabei heraus. Aber Vorsicht: Schon ein halbes Grad Messfehler verschiebt die Höhe um viele Meter – probiere den Regler!
Station 3Was heißt 12 % auf dem Schild?
Auf Bergstraßen stehen Schilder wie „12 %“. Wie steil ist eine Straße mit 100 % Steigung?
Steigung–ändert sich
waagerecht100 mbleibt gleich
Höhengewinn–ändert sich
Steigungswinkel α–ändert sich
Prozent sind ein Tangens
„12 %“ heißt: Auf 100 m waagerecht geht es 12 m nach oben. Das ist das Verhältnis Gegenkathete : Ankathete, also der Tangens:tan α = Höhe : waagerecht = p : 100 ⇒ α = tan⁻¹(p : 100)
12 % → α = tan⁻¹(0,12) ≈ 6,84°. 100 % heißt Höhe = waagerecht, also 45° – nicht senkrecht! Eine senkrechte Wand hätte unendlich viel Prozent.
Station 4Ein Schatten misst die ganze Erde
In der Stadt S fällt die Mittagssonne senkrecht in einen Brunnen – kein Schatten. Am selben Mittag wirft ein Stab in der Stadt A, 800 km weiter nördlich, einen Schatten: Sonnenstrahl und Stab bilden 7,2°. Wie groß ist der Erdumfang?
Stab 2 m · Schatten–ändert sich mit dem Abstand
Winkel am Stab–tan⁻¹(Schatten : 2 m)
Winkel im Erdmittelpunkt–genauso groß
Erdumfang = d · 360° : Winkel–kommt immer heraus
Den Winkel dort messen, wo du hinkommst
Die Sonne ist so weit weg, dass ihre Strahlen parallel ankommen. Dann ist der Winkel zwischen Stab und Sonnenstrahl genauso groß wie der Winkel zwischen den beiden Erdradien im Mittelpunkt (Winkel an Parallelen). Der Bogen von S nach A ist also derselbe Bruchteil des ganzen Kreises:Umfang : d = 360° : φ ⇒ Umfang = d · 360° : φ
7,2° ist ein Fünfzigstel von 360°, also Umfang ≈ 50 · 800 km = 40.000 km. Und der Winkel selbst kommt aus dem Schatten: tan φ = Schatten : Stablänge.
Mit dem Kästchen siehst du: Schon 1 cm Messfehler beim Schatten verschiebt den Umfang um weit über 1000 km.
Eratosthenes: ein Brunnen, ein Stab, die ganze Erde überliefert
Eratosthenes von Kyrene, ca. 276 – ca. 194 v. Chr., Alexandria
Eratosthenes leitete die berühmte Bibliothek von Alexandria, und Archimedes schickte ihm Briefe über seine Entdeckungen. Er hörte, dass in Syene am längsten Tag des Jahres die Mittagssonne bis auf den Grund eines Brunnens schien. In Alexandria warf ein Stab zur selben Zeit einen Schatten – etwa ein Fünfzigstel eines Vollkreises. Er musste also nur den Abstand der beiden Städte mit 50 malnehmen. Die Pointe: Um die ganze Erde zu vermessen, musste er sie nicht umrunden – ein Schatten genügte.
Was das mit dir zu tun hat: Mit einem Stab, einem Zollstock und einer Freundin oder einem Freund in einer anderen Stadt kannst du das selbst nachmachen. (Wie lang seine Längeneinheit „Stadion“ genau war, weiß man nicht sicher – „rund 40.000 km“ ist eine heutige Umrechnung.)
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Stell den Taschenrechner auf DEG (Grad)!
Rechtwinkliges Dreieck: Winkel und Seiten
Tangenstan α = Gegenkathete : Ankathete
Höhe = Abstand · tan α
Höhe = Abstand · tan α
Sinus und Kosinussin α = Gegenkathete : Hypotenuse
cos α = Ankathete : Hypotenuse
cos α = Ankathete : Hypotenuse
Winkel zurückrechnenα = tan⁻¹(…) bzw. sin⁻¹(…), cos⁻¹(…)
Taste SHIFT bzw. 2nd + tan
Taste SHIFT bzw. 2nd + tan
Ohne Taschenrechnersin 30° = 0,5 · tan 45° = 1
Steigung p % ⇒ tan α = p : 100
Steigung p % ⇒ tan α = p : 100
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Mach zu jeder Sachaufgabe zuerst eine Skizze und markiere den rechten Winkel.
Messen im Gelände
Höhenwinkelvon unten nach oben, gemessen gegen die Waagerechte
Tiefenwinkelvon oben nach unten, gegen die Waagerechte. Er ist genauso groß wie der Höhenwinkel, unter dem man von unten hinaufsieht (Wechselwinkel).
Sonnenhöhe zur Mittagszeit90° − Breite + 23,4° (21. Juni)
90° − Breite − 23,4° (21. Dezember)
90° − Breite − 23,4° (21. Dezember)
Schräg oder waagerecht?Strecke auf der Straße = Hypotenuse → sin
Strecke auf der Karte = waagerecht → tan
Strecke auf der Karte = waagerecht → tan
So arbeitest du: Hier musst du zwei Dreiecke verbinden oder eine Messung kritisch prüfen. Frag dich immer zuerst: Worin steckt die gesuchte Größe – und was fehlt mir dort noch?
Werkzeuge für Experten
Zwei Standpunkteh = d : (1 : tan α − 1 : tan β)
α am fernen, β am nahen Standpunkt
α am fernen, β am nahen Standpunkt
ErdumfangU = d · 360° : φ
φ = Winkelunterschied der Sonnenstrahlen
φ = Winkelunterschied der Sonnenstrahlen
Kosinuscos α = Ankathete : Hypotenuse
⇒ Hypotenuse = Ankathete : cos α
⇒ Hypotenuse = Ankathete : cos α
EmpfindlichkeitÄndere einen Messwert um 1° und rechne neu. Wie stark ändert sich das Ergebnis?
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Klapp das Dreieck in Gedanken an der senkrechten Seite nach unten um. Was für ein Dreieck entsteht aus beiden Hälften?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Oben ist ein Winkel von 60°. Zusammen mit dem Spiegelbild entsteht ein Dreieck mit drei 60°-Winkeln – also mit drei gleich langen Seiten. Die senkrechte Seite x ist die Hälfte einer dieser Seiten.Hilfe 3 – Lösung
Das gespiegelte Dreieck ist gleichseitig mit der Seitenlänge 14. Die senkrechte Seite ist die Hälfte davon: x = 7.Kurz: sin 30° = 0,5, also x = 14 · 0,5 = 7.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Schau dir das schräge Dreieck zwischen A, B und der Turmspitze an. Wie groß ist sein Winkel oben an der Spitze?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Im Dreieck A–B–Spitze ist der Winkel bei B 180° − 60° = 120°, also bleibt oben 180° − 30° − 120° = 30°. Zwei gleiche Winkel – das Dreieck ist gleichschenklig. Wie lang ist dann die Linie von B zur Spitze?Hilfe 3 – Lösung
Das Dreieck A–B–Spitze hat zweimal 30°, also ist die Sichtlinie von B zur Spitze so lang wie AB = 20.Im rechtwinkligen Dreieck rechts liegt bei B der Winkel 60°, oben also 30°. Es ist ein halbes gleichseitiges Dreieck: x = 20 : 2 = 10.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Der Abstand der Masten ist nicht angegeben. Vielleicht spielt er gar keine Rolle? Probier es mit einem Abstand deiner Wahl aus.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Fußpunkt unter der Kreuzung teilt den Boden in zwei Stücke. Jedes Seil bildet mit x und einem Mast zwei ähnliche Dreiecke. Schreib x : 6 und x : 3 als Anteile des Bodens – zusammen müssen die Anteile den ganzen Boden ergeben.Hilfe 3 – Lösung
Nenne den Boden zwischen den Masten w, das linke Stück u, das rechte v. Ähnliche Dreiecke: x : 6 = v : w und x : 3 = u : w.Addieren: x : 6 + x : 3 = (u + v) : w = 1, also x · (1/6 + 2/6) = 1, x · 1/2 = 1, x = 2.
Kurz: x = 6 · 3 : (6 + 3) = 2 – ganz gleich, wie weit die Masten auseinanderstehen.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.