So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: messen, ziehen, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben (vom Winkel α aus gesehen): Gegenkathete (liegt α gegenüber) · Ankathete (liegt an α an) · Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel)
Station 1Der Messtisch: deine eigene Tabelle
Die Ankathete ist immer 100 mm lang. Du stellst den Winkel α ein und misst die Gegenkathete mit dem Lineal. Bei α = 35°: Ist die Gegenkathete kürzer als 100 mm, genau 100 mm oder länger?
Zieh die rote Messmarke am Lineal genau auf die Spitze und lies ab. Kleine Messfehler sind erlaubt – auch die Forscher früher hatten sie.
Ankathete100 mmbleibt gleich
Winkel α–ändert sich
abgelesen–ändert sich
Verhältnis–gehört zu α
Drei Verhältnisse mit Namen
Ändert sich die Größe des Dreiecks, aber nicht der Winkel, bleiben die Verhältnisse gleich (Strahlensatz!). Zu jedem Winkel gehört also ein fester Wert. Diese Werte haben Namen:tan α = Gegenkathete : Ankathete
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse
cos α = Ankathete : Hypotenuse
Mit Ankathete 100 mm (bzw. Radius 100 mm) liest du den Wert direkt ab: 72 mm → 0,72. Der Taschenrechner kennt die genauen Werte – deine Tabelle liegt meist nur ein, zwei Hundertstel daneben.
Station 2Das Dreieck klappt auf
Die Hypotenuse ist 1 lang und dreht sich von 0° bis 90° nach oben. Was macht der Tangens, also Gegenkathete : Ankathete?
sin α (Gegenkathete)–ändert sich
cos α (Ankathete)–ändert sich
tan α = sin α : cos α–ändert sich
sin² α + cos² α–bleibt gleich
Besondere Werte und zwei Regeln
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | ½ | ½√2 | ½√3 | 1 |
| cos α | 1 | ½√3 | ½√2 | ½ | 0 |
| tan α | 0 | ⅓√3 | 1 | √3 | – |
Weil die Hypotenuse 1 ist, gilt nach Pythagoras immer sin² α + cos² α = 1, und tan α = sin α : cos α.
Nahe 90° wird die Ankathete winzig, also wird der Tangens riesig – bei 90° gibt es ihn nicht.
Station 3sin α = cos(90° − α)
Links steht die Sinus-Tabelle von oben nach unten, rechts die Kosinus-Tabelle von unten nach oben. Warum stehen in jeder Zeile dieselben Zahlen? Spiegle das Dreieck und schau, wohin die orange Seite wandert.
α + β90°bleibt gleich
sin α–ändert sich mit α
cos β = cos(90° − α)–immer gleich wie sin α
Die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β
Im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu 90°: β = 90° − α. Dieselbe Seite liegt α gegenüber und an β an. Darum gilt:sin α = cos(90° − α) und cos α = sin(90° − α)
Daher kommt auch der Name: Kosinus ist der Sinus des Komplementwinkels (des Ergänzungswinkels zu 90°). Und für den Tangens gilt: tan α · tan(90° − α) = 1.
Station 4Der Leuchtturm am Horizont
Ein Segler peilt einen 56 m hohen Leuchtturm an. Die Spitze erscheint nur 0,15° über der Wasserlinie – ein winziger Winkel. Wie weit ist der Leuchtturm entfernt?
Höhe des Turms56 mbleibt gleich
tan α–ändert sich
Entfernung d = 56 m : tan α–ändert sich
nur 0,01° mehr gemessen–Unterschied
Rechnen mit der eigenen Tabelle
Turmhöhe und Entfernung sind Gegenkathete und Ankathete: tan α = 56 m : d → d = 56 m : tan αMit tan 0,15° ≈ 0,0026 ergibt sich d ≈ 56 : 0,0026 ≈ 21 500 m, genauer (tan 0,15° = 0,002618) etwa 21,4 km.
Bei so kleinen Winkeln macht schon ein Hundertstelgrad Messfehler über einen Kilometer aus. Darum arbeiten Seeleute mit sehr genauen Instrumenten. (Wir rechnen hier, als wäre die Erde flach. Auf über 20 km verdeckt die Erdkrümmung schon den Fuß des Turms – Seefahrer berücksichtigen das mit eigenen Tabellen.)
Station 5Bonus: Eine Tafel ohne Taschenrechner
Früher gab es keinen Taschenrechner. Von 60° kennst du cos 60° = 0,5 und sin 60° = ½√3. Kann man daraus die Werte für 30°, 15°, 7,5° … berechnen – nur durch Halbieren?
Zeilen in deiner Tafel1wächst
Winkel60°wird halbiert
sin² + cos²–Kontrolle: bleibt 1
Halbwinkel-Regeln
cos(A : 2) = √((1 + cos A) : 2) und sin(A : 2) = sin A : (2 · cos(A : 2))Mit diesen zwei Regeln entsteht aus einer bekannten Zeile die nächste. So wurden Tafeln über Jahrhunderte von Hand gebaut. Die Tafelwerte stimmen mit dem Taschenrechner auf drei bis vier Stellen überein.
Und schau auf das Bild: Der Sinus ist die halbe Sehne zum doppelten Winkel.
Von der Sehne zum Sinus belegt
Âryabhata, Indien, ca. 476 bis ca. 550 n. Chr.; Übersetzungen ins Lateinische im 12. Jahrhundert
Griechische Astronomen rechneten mit Tafeln für ganze Sehnen im Kreis. In Indien schrieb Âryabhata mit 23 Jahren ein Lehrbuch in Versen – und rechnete stattdessen mit der halben Sehne. Das ist genau unser Sinus. Das indische Wort für Sehne wanderte ins Arabische, wo man es nur mit Konsonanten schrieb. Ein Übersetzer las es als ein ähnliches Wort, das „Bucht“ bedeutet, und schrieb auf Lateinisch sinus, „Bucht“. Der Name, den du heute lernst, ist also ein Lesefehler.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du auf dem Taschenrechner „sin“ drückst, steckt darin eine 1500 Jahre alte Idee – und ein Übersetzungsfehler.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Achte auf das Abzeichen „ohne TR“ / „TR erlaubt“. Stell den Taschenrechner auf DEG (Grad)!
Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Sinussin α = Gegenkathete : Hypotenuse
Kosinuscos α = Ankathete : Hypotenuse
Tangenstan α = Gegenkathete : Ankathete
Besondere Wertesin 30° = cos 60° = ½ · tan 45° = 1
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Hier suchst du auch Winkel: Dafür brauchst du die Umkehrtasten des Taschenrechners (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).
Seiten und Winkel
Seite gesuchtGegenkathete = Hypotenuse · sin α
Ankathete = Hypotenuse · cos α
Gegenkathete = Ankathete · tan α
Ankathete = Hypotenuse · cos α
Gegenkathete = Ankathete · tan α
Hypotenuse gesuchtHypotenuse = Gegenkathete : sin α
Winkel gesuchttan α = 0,75 → α = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,9°
Pythagoras hilftsin² α + cos² α = 1
So arbeitest du: Hier kombinierst du mehrere Schritte. Mach immer eine Skizze, markiere den rechten Winkel und schreib an jede Seite, ob sie Gegenkathete, Ankathete oder Hypotenuse ist – vom gesuchten Winkel aus.
Werkzeuge für Experten
Ergänzungswinkelsin α = cos(90° − α)
tan α · tan(90° − α) = 1
tan α · tan(90° − α) = 1
Halbwinkelcos(A : 2) = √((1 + cos A) : 2)
sin(A : 2) = sin A : (2 cos(A : 2))
sin(A : 2) = sin A : (2 cos(A : 2))
Gleichschenkliges DreieckDie Höhe teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.
SchrankenKleinster und größter möglicher Messwert einsetzen → das Ergebnis liegt dazwischen.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Wie groß ist der dritte Winkel oben rechts? Was entsteht, wenn du das Dreieck nach unten an der langen Kathete spiegelst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Dreieck und Spiegelbild zusammen haben drei 60°-Winkel: ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 14. Die Seite x ist genau die Hälfte einer seiner Seiten.Hilfe 3 – Lösung
x = 14 : 2 = 7.Mit dem Sinus: x = 14 · sin 30° = 14 · ½ = 7.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Wie groß ist der Winkel oben, wenn unten links 45° und rechts 90° sind? Was heißt das für die beiden Katheten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zwei 45°-Winkel: Das Dreieck ist gleichschenklig, die senkrechte Seite ist auch 12 lang. Die rote Strecke x ist die Hypotenuse im kleinen rechtwinkligen Dreieck rechts.Hilfe 3 – Lösung
Senkrechte Seite = 12 (tan 45° = 1). Kleines Dreieck: Katheten 5 und 12.x² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, also x = 13 (Tripel 5-12-13).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Schau auf das schmale Dreieck zwischen den beiden schrägen Linien. Wie groß ist sein Winkel oben an der Turmspitze?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Außenwinkel 60° ist so groß wie die beiden Innenwinkel gegenüber zusammen: 30° + Winkel oben. Oben sind es also auch 30° – das schmale Dreieck ist gleichschenklig. Wie lang ist dann die rechte schräge Linie?Hilfe 3 – Lösung
Die rechte schräge Linie ist 10 lang (gleichschenkliges Dreieck). Im rechtwinkligen Dreieck rechts ist sie die Hypotenuse, x liegt am 60°-Winkel an:x = 10 · cos 60° = 10 · ½ = 5. (Oder: Das rechte Dreieck ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seite 10.)
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.