So arbeitest du: Zwei Geraden, die nicht parallel sind, schneiden sich in genau einem Punkt. Und parallele? „Nie“, hast du gelernt. Hier verfolgst du Schnittpunkte, die immer weiter weglaufen – bis sie scheinbar verschwinden. Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, dann probierst du aus und deckst erst danach auf, was dahintersteckt.
Farben: bewegte Gerade · wandernder Punkt · Bild / Kurve · bleibt gleich · Fernpunkt ∞
Station 1Die drehende Gerade
Eine Gerade dreht sich um den Punkt P. P liegt 1 Einheit über der festen Geraden g. Der Schnittpunkt S rutscht nach rechts, immer schneller. Was passiert mit S, wenn die Gerade parallel zu g wird – und sich dann noch ein Stück weiterdreht?
Steigung m der Geraden–ändert sich
Schnittpunkt S–ändert sich
Punkt Q auf dem kleinen Kreis–läuft ohne Sprung
Abstand von P zu g1bleibt gleich
Der unendlich ferne Punkt einer Geraden
Die Gerade durch P mit Steigung m trifft g bei x = −1 : m. Bei m = −0,1 ist das x = 10, bei m = −0,01 schon x = 100, bei m = −0,001 sogar x = 1000. Bei m = 0 gibt es keine Zahl mehr. Und bei m = +0,001 ist S plötzlich bei x = −1000, also ganz links.Alle anderen Geraden durch P haben genau einen Schnittpunkt mit g. Nur die Parallele hat keinen. Diese Lücke schließen wir in Gedanken: Die Parallele schneidet g im unendlich fernen Punkt von g (kurz: Fernpunkt). „Ganz rechts“ und „ganz links“ sind dabei derselbe Punkt. Das zeigt dir der kleine Kreis: Q läuft ohne Sprung einmal herum, und der Fernpunkt ist sein höchster Punkt.
Parallele Geraden haben denselben Fernpunkt. Mit dieser Abmachung gilt ohne Ausnahme: Zwei verschiedene Geraden einer Ebene schneiden sich in genau einem Punkt.
Station 2Das wachsende Dreieck
An einer Wand steht ein Dreieck ABC. Seine Spitze C wächst nach oben. Von einem Lichtpunkt Z aus wird das Dreieck auf den Boden projiziert. Oben siehst du alles von der Seite, unten von oben. Was wird aus dem Bild C′ der Spitze, wenn C höher steigt als Z?
Höhe von C–ändert sich
Höhe von Z2bleibt gleich
C′ vor der Wand–ändert sich
A und Bfestliegen auf dem Boden
Ein ganzer Punkt fällt ins Unendliche
Z steht a = 2 vor der Wand und h = 2 hoch. Liegt C in der Höhe c, so landet sein Bild nach dem Strahlensatz bei d = a · c : (h − c) vor der Wand.Für c < h ist d positiv und wächst über alle Grenzen, wenn c sich h nähert. Bei c = h ist der Strahl ZC parallel zum Boden: C′ ist der Fernpunkt der Richtung ZC. Für c > h wird d negativ und sogar kleiner als −a: Die Gerade ZC trifft den Boden hinter Z.
Das Bild des Dreiecks „reißt auf“: Es besteht aus zwei Keilen, die im Unendlichen zusammenhängen. Alle Punkte der Wand in der Höhe h werden auf unendlich ferne Punkte des Bodens abgebildet.
Poncelet: Geometrie im Gefangenenlager belegt
Jean-Victor Poncelet · 1788 – 1867 · Frankreich, Gefangenschaft in Saratow an der Wolga ca. 1812 – 1814
Stell dir vor, du bist 24, Offizier in Napoleons Armee, und im russischen Winter 1812 bleibst du verwundet auf dem Schlachtfeld liegen. Poncelet wurde gefangen genommen und musste zu Fuß bis nach Saratow an der Wolga marschieren. Bis 1814 blieb er dort gefangen – ohne Bücher. Also baute er die Geometrie aus dem Gedächtnis neu auf und fragte: Was bleibt erhalten, wenn man eine Figur von einem Punkt aus projiziert? Dabei rechnete er ganz selbstverständlich mit unendlich fernen Punkten. Die Pointe: Aus Notizheften eines Kriegsgefangenen wurde 1822 das Gründungsbuch der projektiven Geometrie.
Was das mit dir zu tun hat: In Station 1 und 2 hast du genau den Schritt gemacht, den Poncelet mutig ausgesprochen hat: Parallelen schneiden sich – im unendlich fernen Punkt.
Station 3Der wachsende Kegel
Ein Kegel steht mit der Spitze nach oben über dem Boden und schneidet ihn in einem Kreis. Jetzt öffnet sich der Kegel immer weiter. Was wird aus dem Kreis, wenn der Kegel ganz flach ist (Öffnungswinkel 180°)?
Öffnungswinkel α–ändert sich
Radius r des Kreises–ändert sich
Krümmung 1 : r–ändert sich
Höhe der Spitze1bleibt gleich
Die unendlich ferne Gerade
Der Radius des Schnittkreises ist r = h · tan(α : 2). Wenn α gegen 180° geht, wächst r über alle Grenzen, und die Krümmung 1 : r geht gegen 0. Der Kreis wird immer gerader.Bei α = 180° ist der Kegel eine Ebene, die parallel zum Boden liegt. Zwei Ebenen haben immer eine Gerade gemeinsam – parallele Ebenen die unendlich ferne Gerade (Ferngerade). Auf ihr liegen alle Fernpunkte der Ebene, zu jeder Richtung genau einer. Zwei gegenüberliegende Punkte des Kreises landen dabei im selben Fernpunkt.
Im perspektivischen Bild siehst du die Ferngerade wirklich: Es ist der Horizont.
Station 4Zwei Tangenten werden parallel
Von P aus legst du die beiden Tangenten an den Kreis. Die Berührpunkte verbindet die Sehne. Jetzt steigt P immer höher. Was passiert mit den Tangenten – und mit der Sehne?
Höhe p von P über M–ändert sich
Höhe k der Sehne–ändert sich
p · k–bleibt gleich (Radius 1)
Tangenten–
p · k = r² – auch für p = ∞
Das Dreieck aus M, Berührpunkt und P hat beim Berührpunkt einen rechten Winkel. Nach dem Kathetensatz gilt r² = p · k, also k = r² : p. Mit r = 1: p = 2 → k = ½, p = 3 → k = ⅓, p = 4 → k = ¼ …Wächst p über alle Grenzen, geht k gegen 0: Die Sehne wird zum waagerechten Durchmesser, und die Tangenten werden parallel. Sie schneiden sich im Fernpunkt der senkrechten Achse. Weil oben und unten derselbe Fernpunkt ist, geht die Bewegung ohne Sprung weiter: P kommt von unten zurück, k wird negativ.
Die Spur der vielen Tangenten umhüllt den Kreis. Der Kreis ist also nicht nur eine Menge von Punkten, sondern auch die Hülle seiner Tangenten.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Werkzeuge: Schnittpunkte, die weglaufen
Nullstelle einer Geradeny = m · x + h → x = −h : m
Bei m = 0 kein Schnittpunkt: der Fernpunkt.
Bei m = 0 kein Schnittpunkt: der Fernpunkt.
Zwei Geraden schneidenm₁x + b₁ = m₂x + b₂
x = (b₁ − b₂) : (m₂ − m₁)
x = (b₁ − b₂) : (m₂ − m₁)
Projektion (Strahlensatz)Licht in Höhe h, Abstand a zur Wand, Punkt in Höhe c:
d = a · c : (h − c)
d = a · c : (h − c)
Tangenten und SehneKreis mit Radius r, P im Abstand p von M:
Sehne im Abstand k = r² : p (Kathetensatz)
Sehne im Abstand k = r² : p (Kathetensatz)
So arbeitest du: Hier rechnest du mit Grenzwerten, mit dem Tangens und mit einer neuen Schreibweise für Punkte, in der das Unendliche ganz normal vorkommt. Mach immer zuerst eine Skizze.
Werkzeuge für Experten
Kegel und Schnittkreisr = h · tan(α : 2)
α → 180° ⇒ r → ∞, 1 : r → 0
α → 180° ⇒ r → ∞, 1 : r → 0
Wie krumm ist ein großer Kreis?Pfeilhöhe auf der Strecke a:
y = R − √(R² − a²) ≈ a² : (2R)
y = R − √(R² − a²) ≈ a² : (2R)
Homogene KoordinatenPunkt (x | y) ↦ (x : y : 1), Vielfache sind derselbe Punkt.
Fernpunkt der Richtung (u, v): (u : v : 0)
Fernpunkt der Richtung (u, v): (u : v : 0)
Schnittpunkt per KreuzproduktGerade ax + by + c = 0 ↦ [a : b : c]
[a₁ : b₁ : c₁] × [a₂ : b₂ : c₂] = (b₁c₂ − b₂c₁ : c₁a₂ − c₂a₁ : a₁b₂ − a₂b₁)
[a₁ : b₁ : c₁] × [a₂ : b₂ : c₂] = (b₁c₂ − b₂c₁ : c₁a₂ − c₂a₁ : a₁b₂ − a₂b₁)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Das kleine Dreieck an der schrägen Linie sagt dir etwas, das überall auf der Linie gilt. Was?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Auf je 4 nach rechts geht die Linie 1 nach unten. Wie oft musst du „4 nach rechts, 1 nach unten“ gehen, bis du die 3 Höhe verbraucht hast?Hilfe 3 – Lösung
3 Höhe sind 3 · 1 nach unten, also 3 · 4 = 12 nach rechts: x = 12.Mit Steigung: m = −1 : 4, die Gerade y = −¼ x + 3 hat die Nullstelle x = 3 : ¼ = 12. Je flacher die Linie, desto weiter weg liegt der Schnittpunkt.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wo sind rechte Winkel versteckt? Am Berührpunkt steht der Radius auf der Tangente – und die Sehne steht senkrecht auf der Achse.Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Das große Dreieck M–Berührpunkt–P ist rechtwinklig. Die Sehne ist darin die Höhe. Kennst du einen Satz, der die Kathete 6 mit ihrem Abschnitt 4 und der Hypotenuse x verbindet?Hilfe 3 – Lösung
Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck: 6² = 4 · x, also 36 = 4x und x = 9.Ohne Satz: Die Dreiecke M-F-T und M-T-P sind ähnlich (gemeinsamer Winkel bei M, je ein rechter Winkel), also 4 : 6 = 6 : x.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Beide Linien steigen. Welche steigt schneller? Was passiert mit dem Abstand zwischen ihnen, wenn du nach rechts gehst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Unten steigt die Linie auf jede Einheit nach rechts um ⅓, oben nur um ⅕. Der Vorsprung von 2 schrumpft also auf jeder Einheit um ⅓ − ⅕. Wann ist er aufgebraucht?Hilfe 3 – Lösung
⅓ − ⅕ = 5/15 − 3/15 = 2/15. Der Vorsprung 2 ist nach 2 : (2/15) = x = 15 aufgebraucht.Probe: unten 15 : 3 = 5 hoch, oben 2 + 15 : 5 = 5 hoch ✓. Wären beide Steigungen gleich, wäre der Vorsprung nie aufgebraucht – die Linien träfen sich im Fernpunkt.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.